Matematikk 1P høst 2024

For A er økningen $180-120=60$ kroner, og den prosentvise økningen blir $$\frac{60}{120}\cdot100\,\%=50\,\%.$$ For B er økningen $26-16=10$ kroner: $$\frac{10}{16}\cdot100\,\%=62{,}5\,\%.$$ Prisen på B øker prosentvis mest, selv om økningen i kroner er mindre.

Én billiard er $10^3\cdot10^6\cdot10^6=10^{15}$. Dermed er $$20\text{ billiarder}=20\cdot10^{15}=2\cdot10^{16}.$$

Et rimelig overslag er 250 000 maur med masse 8 mg hver. Da blir samlet masse $$250\,000\cdot8=2\,000\,000\text{ mg}.$$ Ett kilogram er én million milligram, så dette tilsvarer omtrent 2 kg.

Opplysningene gir ikke én bestemt masse. Den minste mulige massen med de oppgitte grensene er $200\,000\cdot7$ mg, altså $1{,}4$ kg. Den største er $300\,000\cdot9$ mg, altså $2{,}7$ kg. Overslaget 2 kg ligger mellom disse grensene.

A: Omvendt proporsjonale størrelser. Hvis $n$ personer deler leien likt, er prisen per person $2200/n$. Produktet av antall personer og pris per person er alltid 2200 kroner.

B: Verken proporsjonale eller omvendt proporsjonale størrelser når vi kan kjøpe et vilkårlig antall flasker. Forutsetter vi at flaskene har samme ordinære pris $p$, koster én flaske $p$, mens tre flasker koster $2p$. Prisen per flaske er derfor ikke konstant. Produktet av antall flasker og totalpris er heller ikke konstant. Hvis vi bare sammenlignet hele trepakninger til samme tilbudspris, ville størrelsene vært proporsjonale på dette begrensede utvalget.

C: Proporsjonale størrelser, forutsatt at vi bruker samme oppskrift. Dobbelt så mange porsjoner krever dobbelt så mye mel, og mengden mel per porsjon er konstant.

I program 1 erstatter linje 7 månedssalget med $1{,}04$ ganger forrige månedssalg. Det betyr at modellen antar 4 % økning hver måned.

I program 2 legges det til 40. Denne modellen antar en økning på 40 solgte enheter hver måned.

Variabelen $m$ teller månedene fra 1 til og med 12. Før salget oppdateres til neste måned, legges den aktuelle månedens salg $e$ til totalen $t$. Begge programmene skriver derfor ut forventet samlet salg i hele 2025, fra januar til desember.

Program 1 skriver ut omtrent $15025{,}8055$, altså et anslag på omtrent 15 026 enheter med 4 % vekst per måned. Program 2 skriver ut 14 640 enheter med en økning på 40 enheter per måned. Modellen i program 1 kan gi desimaltall selv om faktiske solgte enheter må være hele tall. De siste desimalene i programutskriften skyldes også flyttallsregning.

La $C$ være temperaturen i celsius og $F$ temperaturen i fahrenheit. Stigningstallet er $$\frac{212-32}{100-0}=1{,}8.$$ Ved $C=0$ er $F=32$. Den lineære sammenhengen blir derfor $$F=1{,}8C+32.$$ Kontroll med det tredje punktet: $1{,}8\cdot(-40)+32=-40$, som stemmer.

Vi løser $$68=1{,}8C+32.$$ Da er $36=1{,}8C$, og dermed $C=20$. Temperaturen 68 °F svarer til 20 °C.

Beregning: I 2010 er $x=0$. Da er $$P(0)=3600\cdot0{,}85^0+600=4200.$$ Ifølge modellen var det 4200 abonnenter.

Grafisk metode: Tegn $P$ med år etter 2010 på den vannrette aksen og antall abonnenter på den loddrette. Året 2010 svarer til $x=0$. I grafen nedenfor er skjæringspunktet med $y$-aksen merket $(0,4200)$. Avlesningen gir dermed også 4200 abonnenter. Visningsintervallet $0\le x\le14$ dekker 2010–2024:

$P(4)=2479{,}2225$ og $P(14)\approx969{,}9708$. Stigningstallet er $$\frac{P(14)-P(4)}{14-4}\approx-150{,}925.$$ Modellen viser dermed at antall abonnenter på papirutgaven sank med omtrent 151 personer per år i gjennomsnitt fra 2014 til 2024. Dette er en gjennomsnittlig nedgang, ikke den samme nedgangen hvert år.

Vi bruker samme tidsakse som for $P$: $x$ år etter 2010. I 2019 er $x=9$, så modellen for digitale abonnenter blir $$D(x)=1000\cdot1{,}055^{x-9},\qquad9\le x\le14.$$ Papirmodellen avtar, mens den digitale modellen vokser. Likningen $$3600\cdot0{,}85^x+600=1000\cdot1{,}055^{x-9}$$ har derfor ett krysningspunkt i perioden. Numerisk løsning gir $x\approx11{,}58075$. Rundt denne verdien får vi:

Tolker vi $x=0$ som 1. januar 2010 og lar tiden variere kontinuerlig, blir det flere digitale abonnenter etter krysningspunktet i løpet av 2021. Svaret med denne tolkningen er altså 2021. Oppgaven sier ikke uttrykkelig at vi bare skal sammenligne ved hele årstall.

Ved hele årlige observasjoner er $D(11)\approx1113{,}03<P(11)\approx1202{,}44$, mens $D(12)\approx1174{,}24>P(12)\approx1112{,}07$. Da er 2022 det første hele årstallet med flere digitale abonnenter. Forskjellen mellom svarene skyldes tidspunktet vi sammenligner: kontinuerlig kryssing i 2021 eller første årlige målepunkt i 2022.

Døgnmengden pulver i oppgaven er $$75\cdot15=1125\text{ mg}.$$ Fordelt på tre doser blir det $1125/3=375$ mg per dose. Med 6 mg pulver per milliliter trenger hver dose $$\frac{375}{6}=62{,}5\text{ mL}.$$ Pasienten skal etter oppgavens blandingsforutsetning ha 62,5 mL i hver dose.

Lar vi opprinnelig pris være $p$, blir den nye prisen $$p\cdot1{,}10\cdot1{,}20\cdot0{,}70=0{,}924p.$$ Den nye prisen er 92,4 % av den opprinnelige, altså 7,6 % lavere. Varen koster mindre enn før. Prosentene kan ikke bare legges sammen, siden hver endring regnes av en ny pris.

Vi setter inn $s=18$, $v_1=58$ og $v_2=65$: $$t=\left(\frac1{58}-\frac1{65}\right)\cdot18\cdot60\approx2{,}0053\text{ min}.$$ Mandagsturen tok omtrent 2 minutter lengre tid enn fredagsturen.

Når farten dobles på samme strekning, halveres kjøretiden. La den raskeste turen ta $u$ minutter. Da tar den langsomste $2u$ minutter. Forskjellen er 20 minutter: $$2u-u=20\quad\Rightarrow\quad u=20.$$ Den raskeste turen tok 20 minutter, og den langsomste tok 40 minutter.

La $t$ være antall måneder etter tidspunktet for åtte måneder siden. Da er $t=0$ ved 290 000 følgere og $t=8$ i dag. Økningen per måned er $$\frac{340\,000-290\,000}{8}=6250.$$ Samme antall hver måned gir en lineær funksjon: $$f(t)=290\,000+6250t.$$ Den beskriver den oppgitte perioden $0\le t\le8$.

Vi bruker samme tidsvariabel $t$ som i a). Fast prosentvis vekst gir en eksponentialfunksjon $g(t)=290\,000\cdot b^t$. Etter åtte måneder må $$290\,000\cdot b^8=340\,000.$$ Dermed er $b=(34/29)^{1/8}\approx1{,}020082072$, og en modell er $$g(t)=290\,000\cdot\left(\frac{34}{29}\right)^{t/8}.$$ Dette tilsvarer omtrent 2,01 % vekst per måned. Den eksakte faktoren gjør at modellen treffer begge de oppgitte antallene. Vi bruker modellen på den oppgitte perioden $0\le t\le8$.

Vi ganger månedslønnen med 12 og legger til tre reisetillegg:

Bedrift C gir høyest årslønn ved tre reiseoppdrag.

La $n$ være antall reiseoppdrag, et heltall som er minst null. Årslønningene er $$A(n)=384\,000+20\,000n,$$ $$B(n)=756\,000+16\,000n,$$ $$C(n)=900\,000+8000n.$$ Vi sammenligner alle tre, ikke bare to om gangen.

$B(n)=C(n)$ gir $8000n=144\,000$, altså $n=18$. Under 18 oppdrag ligger C høyere enn B. Over 18 ligger B høyere. $A(n)=B(n)$ gir $4000n=372\,000$, altså $n=93$. Over 93 oppdrag ligger A høyere enn B. A og C møtes ved 43 oppdrag, men der ligger B over begge.

Hvis «best» betyr at bedriften kan dele førsteplassen, er C best for $0\le n\le18$, B for $18\le n\le93$, og A for $n\ge93$. Tabellen viser når førsteplassen er delt.

Andelen som ikke møtte fram, var $100-62{,}4=37{,}6\,\%$. Antallet blir dermed tilnærmet $$4\,341\,850\cdot0{,}376=1\,632\,535{,}6.$$ Det tilsvarer omtrent 1 632 536 personer, eller om lag 1,63 millioner. Fremmøteprosenten er avrundet, så vi kan ikke finne et helt nøyaktig antall fra disse opplysningene.

Høyre har størst framgang målt i prosentpoeng, men prosentvis framgang regnes i forhold til partiets tidligere oppslutning. For Høyre var den tidligere oppslutningen $25{,}9-5{,}8=20{,}1\,\%$. Relativ økning blir $$\frac{5{,}8}{20{,}1}\cdot100\,\%\approx28{,}9\,\%.$$ Vi gjør den samme beregningen for de øvrige som har økt:

Fremskrittspartiet har størst prosentvis framgang av partiene oppført hver for seg: $$\frac{3{,}1}{8{,}2}\cdot100\,\%\approx37{,}8\,\%.$$ Partier med null eller negativ endring kan ikke ha større framgang. «Andre» er en samlet gruppe; oversikten viser ikke utviklingen for hvert enkelt parti i den gruppen.

Kassens høyde blir 100 mm. Bunnens lengde blir $1200-2\cdot100=1000$ mm, og bredden blir $800-2\cdot100=600$ mm. Volumet blir $$1000\cdot600\cdot100=60\,000\,000\text{ mm}^3.$$ Siden $1\text{ L}=1\text{ dm}^3=1\,000\,000\text{ mm}^3$, er volumet 60 L.

La $x$ være sidelengden i hvert hjørnekvadrat, målt i mm. Høyden blir $x$, lengden $1200-2x$ og bredden $800-2x$. Vi ganger disse målene og deler på én million for å få liter. Først lager vi en oversikt med 25 mm mellom verdiene:

Volumet er størst i området rundt 150–175 mm i denne tabellen. Vi undersøker området mer detaljert:

Den finere tabellen tyder på at Sofie bør skjære omtrent 157 mm fra hvert hjørne. Volumet blir omtrent 67,60 L. Verdiene 0 og 400 mm i den grove tabellen er grensetilfeller med null volum, ikke brukbare kasser.

Med $x$ målt i mm og volumet målt i liter blir funksjonen $$V(x)=\frac{x(1200-2x)(800-2x)}{1\,000\,000}.$$ Grafen nedenfor viser hele intervallet $0\le x\le400$, med sidelengden i hjørnekvadratet på den vannrette aksen og volumet i liter på den loddrette. Endepunktene er tatt med for å vise grensene med null volum:

Grafen starter ved null, stiger til et toppunkt nær $(157,67{,}6)$ og faller tilbake til null ved 400 mm. De to endepunktene viser grensetilfellene; kassene har positivt volum mellom dem.

Med $V$ fra c) finner vi toppunktet i det fysiske området. Denne kommandoen er brukt i grafen nedenfor:

Finn toppunktet på grafen i området $0<x<400$. En numerisk bestemmelse gir omtrent $$x=156{,}95\text{ mm},\qquad V(x)=67{,}6036\text{ L}.$$ Dette stemmer med den finere tabellen. Sofie bør altså skjære bort fire kvadrater med sidelengde omtrent 157 mm. Da rommer kassen omtrent 67,6 L.

Hele det gyldige området må tas med: kurven stiger fram til dette toppunktet og faller deretter, mens volumet går mot null i begge ender. Toppunktet er derfor det største volumet for en kasse som kan lages av platen.

En kasse må ha positiv høyde, så $x>0$. Begge bunnmålene må også være positive: $$1200-2x>0\quad\text{og}\quad800-2x>0.$$ Det siste kravet er strengest og gir $x<400$. For brukbare kasser er derfor gyldighetsområdet $$0<x<400\text{ mm}.$$ Ved $x=0$ er høyden null, og ved $x=400$ er bunnbredden null. Vi kan ta disse endepunktene med i en graf for å vise grenseverdiene, men de gir ikke kasser med positivt volum. Modellen ser bort fra metallplatens tykkelse.