Konsept · Matematikk R1 · 2 900 søk/mnd

Enhetssirkelen

Hva er enhetssirkelen?

Enhetssirkelen er sirkelen med radius $1$ og sentrum i origo, med likning $x^2+y^2=1$ . For en vinkel $v$ målt fra positiv $x$ -akse har punktet på sirkelen koordinatene $(\cos v, \sin v)$ . Slik defineres sinus, cosinus og tangens for alle vinkler, ikke bare i rettvinklede trekanter.

Les om Matematikk R1

Forklaring

Slik henger det sammen

Enhetssirkelen er sirkelen med radius $1$ og sentrum i origo. Den knytter sammen geometri og trigonometri ved at hvert punkt på sirkelen svarer til en vinkel $v$ . Trekker du en radius som danner vinkelen $v$ med den positive $x$ -aksen, får endepunktet koordinatene $(\cos v, \sin v)$ . Fordi radien er nøyaktig $1$ , blir cosinus alltid lik $x$ -koordinaten og sinus alltid lik $y$ -koordinaten — vi slipper å dele på hypotenusen.

Et eksempel: for $v = 60^\circ$ er punktet $(\cos 60^\circ, \sin 60^\circ) = (\tfrac{1}{2}, \tfrac{\sqrt{3}}{2})$ . Siden punktet ligger på sirkelen, må $(\tfrac{1}{2})^2 + (\tfrac{\sqrt{3}}{2})^2 = \tfrac{1}{4} + \tfrac{3}{4} = 1$ holde. Dette er nettopp identiteten $\sin^2 v + \cos^2 v = 1$ , som gjelder for enhver vinkel.

For vinkler mellom $90^\circ$ og $360^\circ$ blir én eller begge koordinatene negative, slik at sinus og cosinus defineres for alle vinkler, ikke bare de spisse i en rettvinklet trekant. Tangens tilsvarer stigningstallet til radien og regnes ut som $\tan v = \tfrac{\sin v}{\cos v}$ . Slik blir enhetssirkelen et kraftig verktøy for å forstå trigonometriske funksjoner.

Fremgangsmåte

Slik løser du det

Tegn en sirkel med radius $1$ og sentrum i origo; den har likning $x^2+y^2=1$ .
Mål vinkelen $v$ mot klokka fra den positive $x$ -aksen.
Finn punktet der radien treffer sirkelen: $x$ -koordinaten er $\cos v$ og $y$ -koordinaten er $\sin v$ .
Bestem fortegnet til $\cos v$ og $\sin v$ ut fra hvilken kvadrant punktet ligger i.
Regn eventuelt ut tangens som stigningstallet $\tan v = \frac{\sin v}{\cos v}$ .

Eksempel

Et gjennomregnet eksempel

Regneeksempel

Bruk enhetssirkelen til å finne $\cos 120^\circ$ og $\sin 120^\circ$ .

Vinkelen $120^\circ$ ligger i andre kvadrant, der $x$ -koordinaten er negativ og $y$ -koordinaten positiv. Vi bruker referansevinkelen $180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$ , som gir $\cos 60^\circ = \tfrac{1}{2}$ og $\sin 60^\circ = \tfrac{\sqrt{3}}{2}$ . På enhetssirkelen blir punktet da $\left(\cos 120^\circ,\ \sin 120^\circ\right) = \left(-\tfrac{1}{2},\ \tfrac{\sqrt{3}}{2}\right).$ Altså er $\cos 120^\circ = -\tfrac{1}{2}$ og $\sin 120^\circ = \tfrac{\sqrt{3}}{2} \approx 0{,}87$ .

Vanlige spørsmål

Hvorfor har enhetssirkelen radius 1?

Fordi radien er 1, blir x-koordinaten til punktet lik cosinus og y-koordinaten lik sinus direkte. Med en annen radius måtte vi delt koordinatene på radien for å få funksjonsverdiene.

Hva er sammenhengen mellom enhetssirkelen og sinus og cosinus?

Cosinus til en vinkel er x-koordinaten til punktet på enhetssirkelen, og sinus er y-koordinaten. Slik utvides definisjonene til å gjelde alle vinkler, ikke bare spisse vinkler i rettvinklede trekanter.

Hvordan finner jeg fortegnet til sinus og cosinus?

Fortegnet bestemmes av kvadranten punktet ligger i. Cosinus er positiv til høyre for y-aksen og negativ til venstre, mens sinus er positiv over x-aksen og negativ under.

Fortsett i Matematikk R1

Her får du den korte forklaringen. I appen fortsetter du med videoer, oppgaver og eksamensrettet trening — enhetssirkelen forklart steg for steg.

Start Matematikk R1