Konsept · Matematikk R1

Sinussetningen

Hva er sinussetningen?

Sinussetningen sier at i en vilkårlig trekant er forholdet mellom hver side og sinus til den motstående vinkelen konstant: $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$ . Du bruker den til å finne ukjente sider eller vinkler når du kjenner en side og dens motstående vinkel.

Les om Matematikk R1

Forklaring

Slik henger det sammen

Sinussetningen gjelder i alle trekanter, ikke bare rettvinklede, og knytter sammen sider og vinkler. Den sier at hver side delt på sinus til den motstående vinkelen gir samme tall for alle tre sidene i trekanten. Store bokstaver $A$ , $B$ og $C$ er vinklene, mens små bokstaver $a$ , $b$ og $c$ er sidene rett overfor.

Du bruker sinussetningen når du kjenner et par bestående av en side og dens motstående vinkel, og i tillegg én side eller én vinkel til. Da kan du sette opp en likning med to brøker og løse for det ukjente. Trenger du derimot to sider og vinkelen mellom dem, bruker du cosinussetningen i stedet.

For eksempel: kjenner du $A = 30^\circ$ , $a = 5$ og $B = 45^\circ$ , gir sinussetningen $b = \frac{5\sin 45^\circ}{\sin 30^\circ} = 5\sqrt{2} \approx 7{,}07$ . Husk at vinkelsummen alltid er $180^\circ$ , så den tredje vinkelen finner du ved subtraksjon.

Fremgangsmåte

Slik løser du det

Tegn trekanten og merk sidene med små bokstaver $a$ , $b$ , $c$ og de motstående vinklene med store bokstaver $A$ , $B$ , $C$ .
Sjekk at du kjenner et par bestående av en side og dens motstående vinkel, for eksempel $a$ og $A$ — det er nøkkelen til å bruke setningen.
Sett opp sinussetningen med den kjente brøken og brøken som inneholder det ukjente, f.eks. $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}$ .
Løs likningen for den ukjente ved å kryssmultiplisere: $b = \frac{a\,\sin B}{\sin A}$ .
Løser du for en vinkel, bruk invers sinus ( $\sin^{-1}$ ), og vurder om vinkelen kan være stump (det tvetydige tilfellet).
Kontroller at de tre vinklene til sammen blir $180^\circ$ .

Eksempel

Et gjennomregnet eksempel

Regneeksempel

I en trekant $ABC$ er $A = 30^\circ$ , siden $a = 5$ (motstående $A$ ) og $B = 45^\circ$ . Finn siden $b$ .

Vi bruker sinussetningen og setter opp brøkene for side $a$ og side $b$ : $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}$ . Vi løser for $b$ ved å multiplisere begge sider med $\sin B$ .

$b = \frac{a\,\sin B}{\sin A} = \frac{5\cdot \sin 45^\circ}{\sin 30^\circ} = \frac{5\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{1}{2}} = 5\sqrt{2}$

Siden $5\sqrt{2} \approx 7{,}07$ , blir $b \approx 7{,}07$ .

Vanlige spørsmål

Når bruker jeg sinussetningen i stedet for cosinussetningen?

Bruk sinussetningen når du kjenner en side sammen med dens motstående vinkel. Kjenner du to sider og vinkelen mellom dem, eller alle tre sidene, bruker du cosinussetningen.

Gjelder sinussetningen i alle trekanter?

Ja, den gjelder i alle trekanter, både spisse, rettvinklede og stumpe. Den er ikke begrenset til rettvinklede trekanter slik de vanlige sinus-, cosinus- og tangensforholdene er.

Hva er det tvetydige tilfellet?

Når du kjenner to sider og en vinkel som ikke ligger mellom dem, kan oppgaven ha to gyldige løsninger, fordi den ukjente vinkelen kan være enten spiss eller stump. Sjekk alltid om begge svarene gir en gyldig vinkelsum på 180 grader.

Fortsett i Matematikk R1

Her får du den korte forklaringen. I appen fortsetter du med videoer, oppgaver og eksamensrettet trening — sinussetningen forklart steg for steg.

Start Matematikk R1