Hopp til innhold
REALFAGSPORTALEN

Formel · Matematikk 1T

Cosinussetningen

Hva er cosinussetningen?

Cosinussetningen knytter sammen lengdene av alle tre sidene og én av trekantens vinkler. En variant er a2=b2+c2−2bc⋅cos⁡Aa^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cdot \cos A. Her er aa, bb og cc sidelengdene. Vinkelen AA ligger mellom sidene bb og cc, og side aa ligger rett overfor vinkel AA.

Sist oppdatert 2. september 2026 · Realfagsportalen

Prøv kurset gratis Les om Matematikk 1T

Forklaring

Slik henger det sammen

Sinussetningen Trigonometri Enhetssirkelen Tangens, sinus og cosinus

Cosinussetningen gjelder i alle trekanter og er en utvidelse av Pytagoras' setning. I formelen a2=b2+c2−2bc⋅cos⁡Aa^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cdot \cos A er AA vinkelen mellom sidene bb og cc. Setter vi A=90°A = 90°, blir cos⁡90°=0\cos 90° = 0. Det siste leddet forsvinner, og vi får a2=b2+c2a^2 = b^2 + c^2. Det er Pytagoras' setning.

Du bruker cosinussetningen i to situasjoner. Den første er når du kjenner to sider og vinkelen mellom dem. Da kan du finne den tredje siden. Den andre er når du kjenner alle tre sidene. Da kan du finne en av vinklene.

Hvis du kjenner en side og vinkelen rett overfor, er sinussetningen ofte enklere. Før du velger formel, bør du derfor merke sidene og vinklene i trekanten. Små bokstaver viser sider. Den tilsvarende store bokstaven viser vinkelen rett overfor siden.

Fremgangsmåte

Slik løser du det

  1. Finn ut hvilken situasjon du har: kjenner du to sider og vinkelen mellom dem, eller kjenner du alle tre sidene?
  2. Merk trekanten slik at side aa ligger rett overfor vinkel AA, side bb rett overfor BB og side cc rett overfor CC.
  3. Skal du finne en side, velger du varianten med denne siden på venstre side. For side cc bruker du c2=a2+b2−2ab⋅cos⁡Cc^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos C.
  4. Sett inn de to kjente sidene og vinkelen mellom dem. Regn ut høyre side, og ta kvadratroten til slutt.
  5. Skal du finne en vinkel, isolerer du cosinus først. For vinkel CC bruker du cos⁡C=a2+b2−c22ab\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} og deretter invers cosinus.
  6. Bruk gradmodus og kontroller svaret. En side må være positiv, og en vinkel i en trekant må ligge mellom 0°0° og 180°180°.

Eksempler

Gjennomregnede eksempler

Regneeksempel 1

I en trekant er a=5a = 5, b=7b = 7 og den mellomliggende vinkelen C=60°C = 60°. Finn den tredje siden cc.

Vi kjenner to sider og vinkelen mellom dem. Derfor bruker vi varianten med c2c^2 på venstre side:

c2=a2+b2−2ab⋅cos⁡Cc^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos C

Vi setter inn a=5a = 5, b=7b = 7 og C=60°C = 60°. Siden cos⁡60°=0,5\cos 60° = 0{,}5, får vi:

c2=52+72−2⋅5⋅7⋅0,5=39c^2 = 5^2 + 7^2 - 2 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 0{,}5 = 39

Til slutt tar vi kvadratroten:

c=39≈6,24c = \sqrt{39} \approx 6{,}24

Den tredje siden er omtrent 6,246{,}24.

Regneeksempel 2

En trekant har sidene a=5a = 5, b=7b = 7 og c=8c = 8. Finn vinkelen CC.

Vi kjenner alle tre sidene. Vi starter med varianten som inneholder vinkelen CC:

c2=a2+b2−2ab⋅cos⁡Cc^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos C

Vi isolerer cos⁡C\cos C:

cos⁡C=a2+b2−c22ab\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}

Så setter vi inn sidelengdene:

cos⁡C=52+72−822⋅5⋅7=17\cos C = \frac{5^2 + 7^2 - 8^2}{2 \cdot 5 \cdot 7} = \frac{1}{7}

Vi bruker invers cosinus og gradmodus:

C=cos⁡−1(17)≈81,8°C = \cos^{-1}\left(\frac{1}{7}\right) \approx 81{,}8°

Vinkelen CC er omtrent 81,8°81{,}8°.

Vanlige feil

Dette bør du passe på

  • Velger feil variant av formelen. Hvis side cc er ukjent, bruker du c2=a2+b2−2ab⋅cos⁡Cc^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos C. Den ukjente siden skal stå alene på venstre side.
  • Bruker feil vinkel. Vinkelen i formelen må ligge mellom de to sidene på høyre side og rett overfor siden på venstre side.
  • Glemmer å ta kvadratroten til slutt og oppgir c2c^2 som svar i stedet for cc.
  • Bruker cosinus i stedet for invers cosinus når en vinkel er ukjent, eller lar kalkulatoren stå i radianmodus. Bruk cos⁡−1\cos^{-1} og gradmodus.

Neste steg

Gå videre i Matematikk 1T

Pensum i Matematikk 1T

Se pensum →

Eksamensoppgaver i 1T

Se oppgavene →

Flere forklaringer i Matematikk 1T

Vanlige spørsmål

Hva er cosinussetningen?
Cosinussetningen er en formel som kobler alle tre sidene i en trekant til én av vinklene. Den finnes i tre varianter, én for hver side, og virker for alle trekanter — ikke bare rettvinklede. Formelen lar deg finne ukjente sider eller vinkler når du har nok informasjon om trekanten.
Når bruker jeg cosinussetningen og ikke sinussetningen?
Bruk cosinussetningen når du kjenner to sider og den mellomliggende vinkelen (side-vinkel-side), eller alle tre sidene (side-side-side). Kjenner du derimot en side og den motstående vinkelen, er sinussetningen enklere og mer direkte. Hva du vet, avgjør hvilken formel du velger.
Hva har cosinussetningen med Pytagoras å gjøre?
Cosinussetningen er en generalisering av Pytagoras' setning. Setter du inn en rett vinkel (90°) i formelen, blir cosinus-leddet null, og du sitter igjen med a² = b² + c² — akkurat Pytagoras. Cosinussetningen er altså Pytagoras utvidet til å gjelde alle typer trekanter.
Hvordan finner jeg en ukjent vinkel med cosinussetningen?
Sett inn alle tre sidene og isoler cosinus til vinkelen. For vinkel CC bruker du cos⁡C=a2+b2−c22ab\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}. Bruk deretter invers cosinus på kalkulatoren. Pass på at kalkulatoren står i gradmodus.

Fortsett i Matematikk 1T

Her får du den korte forklaringen. I appen fortsetter du med videoer, oppgaver og eksamensrettet trening — cosinussetningen forklart.

Kom i gang med kurset