Hopp til innhold
REALFAGSPORTALEN

Konsept · Matematikk R1

Cosinussetningen

Hva er cosinussetningen?

Cosinussetningen knytter de tre sidene i en trekant til en av vinklene: c2=a2+b2−2abcos⁡Cc^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C, der CC er vinkelen motstående side cc. Du bruker den når du kjenner to sider og vinkelen mellom dem (SVS), eller alle tre sidene og skal finne en vinkel. Den er en utvidelse av Pytagoras.

Les om Matematikk R1

Forklaring

Slik henger det sammen

Sinussetningen Trigonometri Enhetssirkelen ABC-formelen

Cosinussetningen gjelder i alle trekanter, ikke bare rettvinklede. Den sier at kvadratet av én side er lik summen av kvadratene av de to andre sidene minus det dobbelte produktet av dem ganget med cosinus til den mellomliggende vinkelen: c2=a2+b2−2abcos⁡Cc^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C. Hver side har sin egen versjon; du bytter bare om bokstavene.

Setningen er en generalisering av Pytagoras. Hvis C=90°C = 90°, blir cos⁡90°=0\cos 90° = 0, og formelen reduseres til c2=a2+b2c^2 = a^2 + b^2. Er vinkelen spiss, blir cos⁡C>0\cos C > 0 og siden cc kortere; ved en stump vinkel blir cos⁡C<0\cos C < 0, og cc blir lengre.

Eksempel: i en trekant med a=5a = 5, b=7b = 7 og C=60°C = 60° får du c2=25+49−70⋅0,5=39c^2 = 25 + 49 - 70 \cdot 0{,}5 = 39, altså c≈6,24c \approx 6{,}24. Snur du formelen, kan du i stedet finne en ukjent vinkel med cos⁡C=a2+b2−c22ab\cos C = \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}.

Fremgangsmåte

Slik løser du det

  1. Tegn trekanten og navngi sidene aa, bb, cc og vinklene AA, BB, CC slik at hver vinkel ligger motstående sin likelydende side.
  2. Skal du finne en side, bruk c2=a2+b2−2abcos⁡Cc^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C, der CC er den kjente vinkelen mellom de to kjente sidene.
  3. Sett inn verdiene for de to sidene og den mellomliggende vinkelen, og regn ut hele høyresiden.
  4. Ta kvadratroten av resultatet for å finne sidelengden cc.
  5. Skal du i stedet finne en vinkel, snu formelen til cos⁡C=a2+b2−c22ab\cos C = \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab} og bruk invers cosinus (cos⁡−1\cos^{-1}).

Eksempel

Et gjennomregnet eksempel

Regneeksempel

I en trekant er a=5a = 5, b=7b = 7 og den mellomliggende vinkelen C=60°C = 60°. Finn den tredje siden cc.

Vi bruker cosinussetningen med de to kjente sidene og vinkelen mellom dem. Sett inn a=5a = 5, b=7b = 7 og C=60°C = 60°, der cos⁡60°=0,5\cos 60° = 0{,}5: c2=52+72−2⋅5⋅7⋅cos⁡60°=25+49−35=39c^2 = 5^2 + 7^2 - 2\cdot 5\cdot 7\cdot\cos 60° = 25 + 49 - 35 = 39 Ta kvadratroten: c=39≈6,24c = \sqrt{39} \approx 6{,}24. Den tredje siden er altså c≈6,24c \approx 6{,}24.

Vanlige spørsmål

Når bruker jeg cosinussetningen og ikke sinussetningen?
Bruk cosinussetningen når du kjenner to sider og vinkelen mellom dem (SVS), eller alle tre sidene (SSS). Sinussetningen passer best når du kjenner en side og to vinkler, eller en vinkel sammen med dens motstående side.
Er cosinussetningen det samme som Pytagoras?
Pytagoras er et spesialtilfelle. Når vinkelen mellom de to sidene er 90 grader, blir cosinus til vinkelen lik 0, og cosinussetningen reduseres til a i andre pluss b i andre lik c i andre.
Hvordan finner jeg en vinkel med cosinussetningen?
Snu formelen slik at cosinus til vinkelen står alene: cos C er lik a i andre pluss b i andre minus c i andre, delt på 2ab. Bruk så invers cosinus på kalkulatoren for å finne selve vinkelen.

Fortsett i Matematikk R1

Her får du den korte forklaringen. I appen fortsetter du med videoer, oppgaver og eksamensrettet trening — cosinussetningen forklart steg for steg.

Start Matematikk R1