Konsept · Matematikk R1

Vektorer

Hva er vektorer?

En vektor er en størrelse med både lengde og retning, og tegnes som en pil. I Matematikk R1 skrives den på koordinatform $\vec{v} = [v_1, v_2]$ , der lengden er $|\vec{v}| = \sqrt{v_1^2 + v_2^2}$ . Vektorer kan adderes, ganges med tall og brukes til å regne med retninger i planet.

Les om Matematikk R1

Forklaring

Slik henger det sammen

En vektor er en størrelse som har både lengde (størrelse) og retning, og tegnes som en pil. To piler som er like lange og peker samme vei, representerer samme vektor – uansett hvor i planet de står. Det skiller en vektor fra et punkt, som har en fast posisjon. I Matematikk R1 skriver vi vektorer på koordinatform, for eksempel $\vec{v} = [3, 4]$ , der det første tallet er bevegelse langs x-aksen og det andre langs y-aksen.

Vektoren mellom to punkter $A=(1,2)$ og $B=(4,6)$ finner du ved å trekke koordinatene fra hverandre: $\vec{AB} = [4-1,\ 6-2] = [3, 4]$ . Lengden regner du ut med Pytagoras: $|\vec{AB}| = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5$ .

Vektorer kan adderes og subtraheres komponentvis, og ganges med et tall. Med skalarproduktet $\vec{u} \cdot \vec{v} = u_1 v_1 + u_2 v_2$ kan du finne vinkelen mellom to vektorer, og to vektorer står vinkelrett på hverandre nøyaktig når skalarproduktet er $0$ . To vektorer er parallelle når den ene er den andre ganget med et tall.

Fremgangsmåte

Slik løser du det

Skriv vektoren på koordinatform $\vec{v} = [v_1, v_2]$ , der $v_1$ er bevegelse langs x-aksen og $v_2$ langs y-aksen.
Finn vektoren mellom to punkter $A$ og $B$ ved å trekke koordinatene fra hverandre: $\vec{AB} = [x_B - x_A,\ y_B - y_A]$ .
Regn ut lengden med Pytagoras: $|\vec{v}| = \sqrt{v_1^2 + v_2^2}$ .
Adder eller subtraher vektorer komponentvis, og gang med et tall slik: $t\vec{v} = [t v_1,\ t v_2]$ .
Bruk skalarproduktet $\vec{u} \cdot \vec{v} = u_1 v_1 + u_2 v_2$ til å finne vinkler; vektorene står vinkelrett når $\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$ .

Eksempel

Et gjennomregnet eksempel

Regneeksempel

Punktene $A = (1, 2)$ og $B = (4, 6)$ er gitt. Finn vektoren $\vec{AB}$ og lengden $|\vec{AB}|$ .

Du finner $\vec{AB}$ ved å trekke koordinatene til $A$ fra koordinatene til $B$ : $\vec{AB} = [4 - 1,\ 6 - 2] = [3, 4]$ . Lengden regner du ut med formelen for vektorlengde: $|\vec{AB}| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$ Vektoren er $\vec{AB} = [3, 4]$ , og lengden er $5$ .

Vanlige spørsmål

Hva er forskjellen på en vektor og et punkt?

Et punkt har en fast posisjon i planet, mens en vektor beskriver en forflytning med både lengde og retning. Den samme vektoren kan tegnes hvor som helst, så lenge lengden og retningen er like.

Hvordan vet jeg om to vektorer er parallelle?

To vektorer er parallelle når den ene er den andre ganget med et tall. Er tallet negativt, peker de motsatt vei, men de regnes fortsatt som parallelle.

Når står to vektorer vinkelrett på hverandre?

To vektorer står vinkelrett (ortogonalt) på hverandre når skalarproduktet deres er lik null.

Fortsett i Matematikk R1

Her får du den korte forklaringen. I appen fortsetter du med videoer, oppgaver og eksamensrettet trening — vektorer forklart steg for steg.

Start Matematikk R1