Matematikk 1P vår 2024

$2$ promille betyr $2$ av $1000$, altså $0{,}002$. Lar vi $N$ være verdens befolkning, får vi $$0{,}002N=18\,000\,000.$$ Dermed er $$N=\frac{18\,000\,000}{0{,}002}=9\,000\,000\,000.$$ Verdens befolkning vil være 9 milliarder etter antakelsen i oppgaven.

$f(0)=20\,000$, så Ada setter inn 20 000 kroner i starten. Tallet $1{,}0485$ er den årlige vekstfaktoren. Siden $1{,}0485=1+0{,}0485$, øker beløpet med $4{,}85\,\%$ per år. Modellen forutsetter denne samme renten hvert år, med rentene stående på kontoen.

Programmet regner ut $$v=\frac{f(10)-f(0)}{10-0}.$$ Telleren er økningen i saldoen de første ti årene. Når vi deler på ti år, får vi den gjennomsnittlige økningen per år i denne perioden.

Programmet skriver ut omtrent $1211{,}55$. Saldoen øker altså med omtrent 1212 kroner per år i gjennomsnitt de første ti årene. Den faktiske økningen er ikke den samme hvert år, fordi rentebeløpet vokser når saldoen vokser.

Proporsjonale størrelser har sammenhengen $y=kx$. Grafen er en rett linje gjennom origo. Derfor viser $f$ proporsjonale størrelser. For eksempel gir punktet $(4,500)$ konstanten $k=500/4=125$. Grafen $g$ er også rett, men går gjennom $(0,300)$ og ikke origo. Derfor er $g$ ikke proporsjonal. De to andre grafene er ikke rette linjer.

Omvendt proporsjonale størrelser har konstant produkt $xy=k$, slik at $y=k/x$. På $p$ kan vi lese omtrent $(2,500)$, $(4,250)$ og $(10,100)$. Alle gir produktet $1000$, og kurven har formen til $y=1000/x$ for $x>0$. Derfor er $p$ den omvendt proporsjonale grafen.

$q$ har ikke konstant produkt: avlesninger ved $x=2$ og $x=4$ gir ulike produkter. Den går dessuten gjennom et punkt på $y$-aksen, mens en funksjon $k/x$ med $k\ne0$ ikke er definert ved $x=0$. Verken $q$, $f$ eller $g$ viser omvendt proporsjonale størrelser.

Farten deles på ti, så $x=70/10=7$. Da blir $$B=\frac{7^2}{2}=\frac{49}{2}=24{,}5\text{ m}.$$ Dette stemmer med den oppgitte bremselengden.

Vi løser $$40{,}5=\frac{x^2}{2}\quad\Rightarrow\quad x^2=81.$$ Siden farten er positiv, velger vi $x=9$. Farten er ti ganger $x$, altså $90$ km/h.

Vi setter alle de sju antallene inn i den oppgitte modellen og sammenligner med observasjonene.

Alle modellverdiene ligger nær de observerte verdiene. Det største avviket er $72{,}17$ kroner, og alle avvikene er mindre enn $1{,}8\,\%$ av det observerte overskuddet. Modellen passer derfor godt til disse sju ukene. Det betyr ikke at den nødvendigvis er like god langt utenfor dataintervallet.

Koeffisienten foran $x^2$ er negativ. Parabelen vender derfor nedover, og symmetrilinjen går gjennom toppunktet: $$x=\frac{-51{,}04}{2\cdot(-0{,}09)}\approx283{,}56.$$ Det er her modellen har sitt største overskudd for et reelt antall baguetter.

Baguetter må telles i hele antall. Vi sammenligner de to nærmeste heltallene: $$O(283)=4459{,}33,\qquad O(284)=4459{,}34.$$ Kantinen bør derfor ifølge modellen produsere og selge 284 baguetter. Overskuddet blir omtrent 4459 kroner per uke. Dette er et modellanslag utenfor de observerte 100–235 baguettene.

Vi får $O(100)=1427{,}02$ og $O(200)=3831{,}02$. Stigningstallet er $$\frac{3831{,}02-1427{,}02}{200-100}=24{,}04.$$ Når det ukentlige salget øker fra 100 til 200 baguetter, øker ukens overskudd i gjennomsnitt med 24,04 kroner per ekstra baguett.

Beregning: Vekstfaktoren er $1{,}0325$. Med dagens saldo tilnærmet lik 105 607 kroner får vi $$105\,607\cdot1{,}0325^5\approx123\,920{,}46.$$ Det vil stå omtrent 123 920 kroner på kontoen om fem år. Oppgaven oppgir dagens beløp som «litt over», så dette er et tilnærmet svar.

Grafisk: La $t$ være antall år fra i dag. Innskuddet ble gjort ved $t=-5$, så vi bruker $F(t)=105\,607\cdot1{,}0325^t$ for $t\ge-5$. Grafen nedenfor har år fra i dag på den vannrette aksen og saldo i kroner på den loddrette. Ved $t=5$ leser vi av omtrent 123 920 kroner. Kommandoene som gir funksjonen og punktene, er:

Beregning: Hvis innskuddet var $I$, er $$I\cdot1{,}0325^5\approx105\,607.$$ Vi deler på vekstfaktoren for hele perioden: $$I\approx\frac{105\,607}{1{,}0325^5}\approx89\,999{,}98.$$ Innskuddet var omtrent 90 000 kroner.

Grafisk: Innskuddstidspunktet er $t=-5$, fordi vi teller år fra i dag. Grafen nedenfor starter ved dette tidspunktet. Punktet $B=(-5,F(-5))$ har høyde omtrent 90 000 kroner. Beregningen og grafavlesningen bruker begge dagens omtrentlige saldo. Vi kan opprette funksjonen og avlesningspunktet slik:

Året 2023 hadde 365 døgn. Vi omregner først fat til liter og ganger med antall døgn: $$1{,}794\cdot10^6\cdot158{,}987\cdot365=104\,106\,277\,470.$$ Dette er omtrent $1{,}04\cdot10^{11}$ liter olje. På standardform står et tall mellom 1 og 10 foran tierpotensen.

Vi sammenligner med produksjonen i 2022: $$\frac{1{,}794-1{,}685}{1{,}685}\cdot100\,\%\approx6{,}47\,\%.$$ Produksjonen steg med omtrent 6,47 %. Begge årene hadde 365 døgn, så forholdet blir det samme om vi bruker døgnproduksjon eller årsproduksjon.

$1500$ meter tilsvarer $1500/400=3{,}75$ runder. Tiden er $3\cdot60+27{,}14=207{,}14$ sekunder. Gjennomsnittlig tid per 400 meter blir $$\frac{207{,}14}{3{,}75}\approx55{,}24\text{ s}.$$ Den gjennomsnittlige rundetiden var omtrent 55,24 sekunder.

Tiden var $3\cdot60+43{,}73=223{,}73$ sekunder. Farten i meter per sekund er $25{,}89/3{,}6$. Dermed blir lengden $$s=\frac{25{,}89}{3{,}6}\cdot223{,}73\approx1608{,}99\text{ m}.$$ Ut fra opplysningene er én engelsk mil omtrent 1609 meter.

Et mønster som passer, er å doble forrige ledd og legge til 1: $$2\cdot2+1=5,\quad2\cdot5+1=11,$$ $$2\cdot11+1=23,\quad2\cdot23+1=47.$$ Regelen lar oss fortsette tallfølgen uten en formel direkte for ledd nummer $n$.

For hvert heltall $a$ er $2a$ et partall, og $2a+1$ er et oddetall. Alle leddene som lages med regelen, blir derfor oddetall. Det første leddet, 2, er gitt på forhånd og er et partall. Påstanden gjelder når vi fortsetter med dette mønsteret; de fem oppgitte tallene alene bestemmer ikke en unik fortsettelse.

Vi bruker alle fem punktene i en potensregresjon. En potensmodell tilpasset punktene gir $$K(x)\approx7{,}562014238\cdot x^{0{,}3804172502}.$$ Vi kan skrive den kort som $K(x)\approx7{,}56x^{0{,}3804}$, men beholder de uavrundede koeffisientene i videre beregninger. Dette er en tilnærmet modell, ikke en kurve som treffer alle punktene nøyaktig. Tabellen dekker lufttrykk fra 40 til 1000 hPa.

Vi legger alle fem punktene inn i GeoGebra og lagrer potensregresjonen som $K$. Den lagrede funksjonen brukes videre, slik at de viste, avrundede koeffisientene ikke gir nye avrundingsfeil:

La $h$ være høyden i kilometer over havet. Vi bruker en annen variabel enn trykket $x$ i a), slik at størrelsene ikke blandes.

Ari bruker at 88 % av trykket er igjen etter hver kilometer: $$A(h)=1000\cdot0{,}88^h.$$ Lisa bruker en halvering for hver 5,5 km: $$L(h)=1000\cdot\left(0{,}5^{1/5{,}5}\right)^h.$$ Dette er også en eksponentialmodell. Vekstfaktoren per kilometer er omtrent $0{,}881591255$, men vi beholder uttrykket $0{,}5^{1/5{,}5}$ for å unngå avrundingsfeil. Begge modellene gir trykk i hPa og brukes for $h\ge0$.

Grensen i oppgaven er et kokepunkt på $85\,^{\circ}\mathrm{C}$. Med den lagrede potensmodellen løser vi $K(x)=85$ og får $$x\approx578{,}34\text{ hPa}.$$ Vi finner så hvilken høyde dette trykket svarer til i hver av de to modellene.

Vi finner først nullpunktet til $t(x)=K(x)-85$. Trykkgrensen $p$ hentes direkte fra dette punktet, og brukes i to nye numeriske nullpunktsberegninger. I de siste to kommandoene står $x$ for høyde i km, slik $h$ gjør i modellene fra b). Bruk den lagrede $K$ fra a):

Nullpunktenes første koordinater gir $U\approx(4{,}28368,0)$ og $V\approx(4{,}34509,0)$. Vi trenger bare disse numeriske nullpunktene; logaritmeuttrykkene som også vises i bildet, er en ekstra kontroll.

Løsning av $A(h)=578{,}337500\ldots$ gir $h\approx4{,}284$ km. Løsning av $L(h)=578{,}337500\ldots$ gir $h\approx4{,}345$ km. Begge anslagene tilsvarer omtrent 4,3 km over havet.

Trykket avtar med høyden, og lavere trykk gir lavere kokepunkt i modellen. Det er derfor mulig opp til denne høyden, inkludert selve grensen i oppgavens modell. Over grensen blir kokepunktet lavere enn 85 °C. Forskjellen mellom de to høydeanslagene kommer av de litt ulike trykkmodellene; de gir ikke en eksakt fysisk høydegrense.

Vi velger som prinsipp at begge får samme prosentvise rabatt på sine sko. Ordinær totalpris er $$800+1550+1350=3700\text{ kr}.$$ Det rimeligste paret, til 800 kroner, er gratis. Dere skal derfor betale $3700-800=2900$ kroner til sammen.

Den felles rabatten er $$\frac{800}{3700}\cdot100\,\%\approx21{,}62\,\%.$$ Begge betaler dermed samme andel, $2900/3700$, av sin ordinære pris. Din andel blir $$2350\cdot\frac{2900}{3700}\approx1841{,}89\text{ kr},$$ og vennens andel blir $$1350\cdot\frac{2900}{3700}\approx1058{,}11\text{ kr}.$$ Summen er 2900 kroner. Denne fordelingen gir lik rabattprosent til begge; andre fordelinger kan også forsvares hvis man velger et annet rettferdighetsprinsipp.