Matematikk 1P høst 2025

4 timer og 30 minutter er 4,5 timer. Strekningen er 80 · 4,5 = 360 km.

Prisen uten merverdiavgift er 200/1,25 = 160 kroner. Merverdiavgiften er 200 − 160 = 40 kroner.

0,000 000 005 g = 5 · 10⁻⁹ g. Antallet er 20/(5 · 10⁻⁹) = 4 · 10⁹. Det er omtrent 4 milliarder partikler.

Når sidelengden og høyden begge er x dm, er G = x² og V = x³/3. Da gir 9 = x³/3 at x³ = 27, så x = 3 dm. Pyramiden er 3 dm høy.

Påstanden er ikke riktig. Her er V = h³/3, så V/h = h²/3 varierer med høyden. Proporsjonale størrelser må ha et konstant forholdstall.

Den grønne linjen går gjennom omtrent (10, 2000), så Nora tjener 200 kr per time. Den blå linjen går gjennom omtrent (10, 1800), så Nils tjener 180 kr per time. Verdiene leses av grafen.

Forskjellen er 200 − 180 = 20 kroner per time. Siden Nora tjente 720 kroner mer, arbeidet hver av dem 720/20 = 36 timer.

Prisen per tur er $1200$ kroner delt på antall turer.

Sammenhengen er $y=\frac{1200}{x}$ for $x>0$. Bruk antall turer på den vannrette aksen og kroner per tur på den loddrette. Kurven går gjennom $(4,300)$, $(8,150)$, $(20,60)$ og $(30,40)$ og er avtakende. I praksis er antall turer et positivt heltall; en jevn kurve illustrerer modellen. Det er mulig å ta flere enn 30 turer i løpet av de 30 dagene.

Figuren nedenfor er laget i GeoGebra for å illustrere en håndtegnet løsning. På del 1 tegner du grafen for hånd uten digitale hjelpemidler.

Sammenlign de to totale kostnadene i samme koordinatsystem: enkeltbilletter gir $y=80x$, og 30-dagersbilletten gir $y=1200$. Bruk antall turer på den vannrette aksen og totalpris i kroner på den loddrette. Linjene møtes i $(15,1200)$. Til høyre for skjæringspunktet ligger $y=80x$ høyest. Ved 15 turer koster alternativene like mye; fra og med 16 turer innenfor de samme 30 dagene lønner 30-dagersbilletten seg.

Figuren nedenfor er laget i GeoGebra for å illustrere en håndtegnet løsning. På del 1 tegner du grafen for hånd uten digitale hjelpemidler.

Programmet skriver ut 1, 5, 12, 22, 35 og 51. Differansene mellom tallene er 4, 7, 10, 13 og 16; de øker med 3 hver gang. Dette er femkanttallene, med formel $P_n=\frac{3n^2-n}{2}$. Neste tall ville vært 70, men det skrives ikke ut fordi løkkebetingelsen er tall ≤ 60.

Potensregresjon på alle seks tabellpunktene gir $a\approx0{,}009656650328$ og $b\approx2{,}999583185$. Modellen kan skrives $$F(x)\approx0{,}009656650328\,x^{2{,}999583185}.$$ Behold de uavrundede regresjonskoeffisientene i beregningene i b)–d). Bruk lengde i cm på den vannrette aksen og vekt i gram på den loddrette. Grafen er voksende og krummer oppover; sammenlign kurven med alle seks punktene. Modellen gjelder positive lengder, og målingene dekker 50–130 cm.

I GeoGebra legger vi inn alle seks målepunktene som listen L og bruker potensregresjon. Slå på visningen av L for å se målepunktene sammen med kurven. Velg ti desimaler i visningen for å unngå at koeffisientene bare vises som 0,01 og 3. Beregningene bruker fortsatt den lagrede funksjonen F.

$11{,}5\text{ kg}=11\,500\text{ g}$. Med den uavrundede regresjonsmodellen løser vi $F(x)=11\,500$. Det gir $x\approx106{,}06495\text{ cm}$. Fisken er altså omtrent 106 cm lang ifølge modellen.

Den samme uavrundede modellen gir $F(75)\approx4067$ gram og $F(95)\approx8264$ gram. Bruk de uavrundede verdiene i brøken: $$\frac{F(95)-F(75)}{95-75}\approx209{,}85478\text{ g/cm}.$$ Fra 75 til 95 cm øker modellvekten i gjennomsnitt med omtrent 210 gram per ekstra centimeter.

Bruk den uavrundede eksponenten fra a). Vektfaktoren er $1{,}2^b$, og prosentøkningen blir $$\left(1{,}2^b-1\right)\cdot100\%\approx72{,}78687\%.$$ Vekten øker med omtrent 72,8 %. Resultatet er uavhengig av startlengden innenfor modellens bruksområde.

A passer med graf 4: et fast prosentvis fall gir en avtakende eksponentialkurve. B passer med graf 8: fast totalpris fordelt på flere personer gir pris per person som avtar omvendt proporsjonalt. C passer med graf 2: først tilnærmet eksponentiell vekst, deretter lineær vekst og til slutt et konstant nivå. D passer med graf 3: pakkeprisen er konstant innenfor hvert vektintervall og hopper opp ved intervallgrensene.

57 000 000 000 kroner / 229 963 personer ≈ 247 866 kroner per person, altså omtrent 248 000 kroner.

229 963/0,048 ≈ 4 791 000. Det er omtrent 4,8 millioner personer over 18 år.

Posen koster 4,18 · 10,16 = 42,4688 kroner. Massen er 3 · 0,454 = 1,362 kg. Kiloprisen blir 42,4688/1,362 ≈ 31,18 kr/kg.

Etter fallet er verdien 0,77 av den opprinnelige. Økningsfaktoren som bringer den tilbake, er 1/0,77 ≈ 1,2987. Aksjen må derfor øke med omtrent 29,9 %.

60 bueminutter · 1852 m = 111 120 m = 111,12 km. Avstanden mellom hver breddegrad er altså omtrent 111,12 km.

Avstanden per breddegrad er målt langs en meridian, altså i nord–sør-retning. En hel meridiansirkel gjennom begge polene har $360^\circ$. Med oppgavens tilnærming får vi $$360\cdot111{,}12=40\,003{,}2\text{ km},$$ altså en omkrets på omtrent 40 000 km.

Forskjellen i breddegrad er 63,4° − 59,9° = 3,5°. Avstanden blir omtrent 3,5 · 111,12 = 388,92 km. Andelen av 40 003,2 km er 388,92/40 003,2 · 100 % ≈ 0,97 %.

De to langsidene bidrar med 2y. Den rette kortsiden er x. Halvsirkelen har radius x/2, så buen er halvparten av sirkelens omkrets: (2π · x/2)/2 = πx/2. Dermed er O = 2y + x + πx/2.

12 = 2y + 1 + π/2. Da er y = (12 − 1 − π/2)/2 ≈ 4,7146 m, som er omtrent 4,7 m.

Arealet er xy + ½π(x/2)² = xy + πx²/8. Med x = 1 og y = 4,7 får vi 4,7 + π/8 ≈ 5,09 m².

Gjerdet er 12 meter, så $y=6-\left(\frac12+\frac\pi4\right)x$. Arealet er $A=xy+\frac{\pi x^2}{8}$. Bruk uavrundede mellomverdier og avrund bare det som vises i tabellen.

Begge lengdene må være positive. Derfor er $0<x<\frac{24}{2+\pi}\approx4{,}6678$ og $y>0$. Endepunktene gir sammenfalte figurer og er ikke vanlige blomsterbed med denne formen.

Sett uttrykket for $y$ inn i arealformelen: $$A(x)=x\left(6-\frac{x}{2}-\frac{\pi x}{4}\right)+\frac{\pi x^2}{8}=6x-\left(\frac12+\frac\pi8\right)x^2.$$ Det fysiske intervallet er $0<x<\frac{24}{2+\pi}$. Bruk bredde i meter på den vannrette aksen og areal i kvadratmeter på den loddrette. Parabelen vender nedover og har ett toppunkt i intervallet.

Toppunktets bredde er $x=\frac{24}{4+\pi}\approx3{,}36$ meter. Da blir $A(x)\approx10{,}08\text{ m}^2$. Det størst mulige arealet er derfor omtrent 10,08 m². En tegnet graf brukes til å vise hele det fysiske intervallet og toppunktet; endepunktene er bare grensefigurer.

I GeoGebra begrenser vi funksjonen til bredder som gir både positiv bredde og positiv rektangellengde. Endepunktene er ikke med. Deretter finner vi toppunktet på dette intervallet.