Løsningsforslag · LK20 · MAT1019

Matematikk 1P vår 2025

Prøv selv, eller få et hint.

Prøv 1P-kurset for å forstå konseptene bedre.

2025-05-21 15 oppgaver 24 svar med forklaring

Originaleksamen (PDF)

Del 1

Uten hjelpemidler · eksamensordningen i 2025

Oppgave 1

En sjokoladeplate koster 40 kroner i en butikk og 60 kroner på en bensinstasjon.

Hvor mange prosent dyrere er sjokoladeplaten på bensinstasjonen?

Få et hint

Finn først prisforskjellen. Hvilken pris skal prosentøkningen regnes fra?

Se løsning Oppgave 1

Prisforskjellen er 60 − 40 = 20 kroner. Prosentøkningen regnes fra den opprinnelige prisen på 40 kroner: 20/40 · 100 % = 50 %. Sjokoladeplaten er 50 % dyrere på bensinstasjonen.

Oppgave 2

I en kommune fikk Arbeiderpartiet 40 % av stemmene ved forrige valg. Senterpartiet fikk 20 % av stemmene. En meningsmåling viser at begge partiene har økt oppslutningen med 5 prosentpoeng siden valget.

Hvilket parti har hatt størst prosentvis framgang? Husk å begrunne svaret.

Få et hint

Regn den relative økningen med hvert partis gamle oppslutning som grunnlag. Hvilket forholdstall blir størst?

Se løsning Oppgave 2

Arbeiderpartiet økte fra 40 % til 45 %, altså med 5/40 · 100 % = 12,5 %. Senterpartiet økte fra 20 % til 25 %, altså med 5/20 · 100 % = 25 %. Senterpartiet hadde størst prosentvis framgang. Fem prosentpoeng er den samme absolutte økningen, men en større del av den opprinnelige oppslutningen for Senterpartiet.

Oppgave 3

Beskriv en praktisk situasjon der to størrelser er omvendt proporsjonale. Forklar hvorfor størrelsene er omvendt proporsjonale. Tegn en graf som illustrerer sammenhengen mellom størrelsene. Marker tre punkter på grafen, og sett riktige koordinater på punktene.

Få et hint

Velg en situasjon der produktet av størrelsene er konstant. Hvilke tre verdier kan du bruke for den ene størrelsen?

Se løsning Oppgave 3

Anta at et arbeid krever 12 arbeidstimer, at arbeiderne er like effektive, og at arbeidet kan fordeles uten ekstra tidsbruk. Med $x$ personer blir tiden $y=\frac{12}{x}$ timer. Produktet $xy=12$ er konstant, så størrelsene er omvendt proporsjonale.

Bruk personantall på den vannrette aksen og tid i timer på den loddrette. Marker $(1,12)$ , $(2,6)$ og $(3,4)$ med koordinater. En avtakende hyperbel gjennom punktene viser sammenhengen for $x>0$ . Personantallet er et positivt heltall; den sammenhengende kurven er en hjelp til å se modellen.

Figuren nedenfor er laget i GeoGebra for å illustrere en håndtegnet løsning. På del 1 tegner du grafen for hånd uten digitale hjelpemidler.

GeoGebra viser den avtakende kurven y = 12/x for x > 0. Aksene angir antall personer og tid i timer. Punktene A = (1, 12), B = (2, 6) og C = (3, 4) er markert med koordinater.

Oppgave 4

Klassen til Elias arbeider med oppgaven nedenfor.

Oppgave: $\square\cdot10^{\square}\cdot\square\cdot10^{\square}=$ . Skriv av og fyll inn ett tall i hver av de fire rutene i uttrykket ovenfor slik at svaret blir 8 000 000 000. Du kan ikke bruke det samme tallet flere ganger.

Elias påstår at det er mulig å bruke åtte av de ti tallene 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 og 9 og sette opp to ulike løsninger av oppgaven. Vis at Elias har rett.

Vis at Elias har rett.

Få et hint

Finn to ulike faktorpar og eksponentpar. Kan du velge dem slik at ingen av de åtte sifrene gjentas?

Se løsning Oppgave 4

To løsninger er $1\cdot10^3\cdot8\cdot10^6=8\cdot10^9$ og $2\cdot10^0\cdot4\cdot10^9=8\cdot10^9.$ Begge gir 8 000 000 000. Vi har brukt de åtte ulike sifrene 0, 1, 2, 3, 4, 6, 8 og 9, hvert siffer én gang. Dermed har Elias rett.

Oppgave 5

I blodet er det tre hovedtyper blodceller: hvite blodceller, røde blodceller og blodplater. I én liter blod er det $7\cdot10^9$ hvite blodceller, $5\cdot10^{12}$ røde blodceller og $3\cdot10^{11}$ blodplater.

Hvor mange blodceller blir dette til sammen?

Få et hint

Skriv alle leddene med samme tierpotens før du legger sammen koeffisientene. Hvilken tierpotens er enklest å bruke?

Se løsning Oppgave 5

Skriv alle leddene med $10^{12}$ : $7\cdot10^9+5\cdot10^{12}+3\cdot10^{11}=(0{,}007+5+0{,}3)\cdot10^{12}=5{,}307\cdot10^{12}.$ Det er til sammen 5 307 000 000 000 blodceller i én liter blod.

Oppgave 6

Tre figurer av grønne ruter. Øverst er et fylt kvadrat: 1 × 1, 2 × 2 og 3 × 3 ruter i figur 1, 2 og 3. Under hvert kvadrat ligger en skrå rekke fra venstre ned mot høyre med henholdsvis 2, 3 og 4 ruter, og en egen loddrett kolonne til høyre med henholdsvis 1, 2 og 3 ruter. Ingen av disse delene overlapper.

Ovenfor ser du tre figurer. Figurene er satt sammen av små grønne kvadrater. Tenk deg at du skal fortsette å lage figurer etter samme mønster.

a)

Hvor mange små grønne kvadrater vil det være i figur 5?

b)

Lag en formel for antallet små grønne kvadrater i figur n.

Løsning a)

Få et hint

Del figuren i kvadratet øverst og rutene som ligger under det. Hvor mange ruter får hver del i figur 5?

Se løsning Oppgave 6 a

Figur 5 har et kvadrat med $5\cdot5=25$ grønne ruter øverst. Under det er det 6 ruter langs den skrå rekken og 5 ruter i høyre kolonne. Til sammen blir det $25+6+5=36$ små grønne kvadrater.

Løsning b)

Få et hint

Hvor mange ruter er det i det øverste kvadratet, den skrå rekken og høyre kolonne i figur n?

Se løsning Oppgave 6 b

I figur $n$ består den øverste delen av et $n\times n$ -kvadrat. Under dette ligger $n+1$ ruter i den skrå rekken og $n$ ruter i høyre kolonne. Delene overlapper ikke. Antallet er derfor $n^2+(n+1)+n=n^2+2n+1=(n+1)^2,$ der $n$ er et positivt heltall.

Oppgave 7

Lars har spart penger i flere år. Han har nå 120 000 kroner. Pengene står på en konto i banken. Lars vil fortsette å spare og har en plan. Han har laget programmet nedenfor.

konto = 120000
sparebeløp = 24000
vekstfaktor = 1.058
år = 0

while konto < 1000000:

    konto = konto + sparebeløp
    konto = konto * vekstfaktor

    år = år + 1

print(år)
print(konto)

Hva forteller programmet om planen til Lars? Hva vil verdiene som blir skrevet ut, fortelle Lars?

Få et hint

Følg én runde i løkken: først innskudd, så vekst. Når stopper gjentakelsen?

Se løsning Oppgave 7

Hvert år legges 24 000 kroner til kontoen, og deretter øker saldoen med en faktor på 1,058, det vil si 5,8 %. Dette gjentas til saldoen er minst 1 000 000 kroner. Programmet skriver først ut hvor mange hele år planen tok, og deretter saldoen etter det siste året.

Når den trykte koden kjøres, blir verdiene 17 og 1016759.6984089151. Det betyr at grensen passeres etter 17 år, og at saldoen da er omtrent 1 016 760 kroner.

Oppgave 8

Nora bestemmer seg for å kjøpe en bøtte og fylle den med godteri. Hun ser at det er en lineær sammenheng mellom antall hektogram godteri hun fyller i bøtta, og prisen hun må betale for bøtta med godteriet. Nedenfor ser du en modell som illustrerer dette.

Graf for bøttepris mot hektogram godteri. Den rette linjen går gjennom punktene (5, 90) og (20, 270).

Modellen kan uttrykkes på formen G(x) = ax + b.

a)

Bestem a og b.

b)

Gi en praktisk tolkning av a og b i denne modellen.

c)

Hvor mye koster en bøtte med 8 hg godteri?

Løsning a)

Få et hint

Bruk de to merkede punktene til å finne stigningstallet. Hva blir prisen når x = 0?

Se løsning Oppgave 8 a

Stigningstallet er a = (270 − 90)/(20 − 5) = 12. Bruker vi (5, 90), får vi 90 = 12 · 5 + b, så b = 30. Dermed er G(x) = 12x + 30.

Løsning b)

Få et hint

Se på hva x måler, og hva G(x) måler. Hva betyr stigningstallet og startverdien?

Se løsning Oppgave 8 b

a = 12 betyr at prisen øker med 12 kroner for hvert hektogram godteri. b = 30 er prisen for den tomme bøtta.

Løsning c)

Få et hint

Sett x = 8 inn i funksjonsuttrykket du fant i a. Hva blir G(8)?

Se løsning Oppgave 8 c

G(8) = 12 · 8 + 30 = 126. Bøtta med 8 hg godteri koster 126 kroner.

Del 2

Med hjelpemidler · eksamensordningen i 2025

Oppgave 1

Tabellen viser antall registrerte tilfeller av kikhoste i Norge noen måneder i perioden januar 2023–oktober 2024. La x være antall måneder etter desember 2022. Det vil si at x = 1 svarer til januar 2023, x = 3 svarer til mars 2023, og så videre.

Registrerte tilfeller av kikhoste
Måned	Januar 2023	Mai 2023	Oktober 2023	Februar 2024	August 2024	Oktober 2024
Antall registrerte tilfeller	29	93	164	284	1035	1657

Modellen er $K(x)=27{,}8\cdot1{,}2^x$ .

a)

Bruk opplysningene ovenfor til å vise at funksjonen K er en god modell for antall registrerte tilfeller av kikhoste i Norge i perioden januar 2023–oktober 2024.

b)

Gi en praktisk tolkning av tallet 1,2 i modellen.

c)

Bestem stigningstallet til den rette linja som går gjennom punktene (4, K(4)) og (21, K(21)). Gi en praktisk tolkning av svaret du får.

d)

Hvor mange tilfeller av kikhoste vil bli registrert i Norge i mai 2025 ifølge modellen?

Løsning a)

Få et hint

Regn ut modellverdier for de oppgitte månedene og sammenlign dem med tabellen. Er avvikene små sett opp mot nivået?

Se løsning Oppgave 1 a

Månedene svarer til x = 1, 5, 10, 14, 20 og 22. Modellen gir omtrent 33, 69, 172, 357, 1066 og 1535 tilfeller. Disse verdiene ligger forholdsvis nær tabellverdiene 29, 93, 164, 284, 1035 og 1657, og modellen følger den tydelige veksten gjennom perioden. Den er derfor en rimelig tilnærming.

Løsning b)

Få et hint

Skriv vekstfaktoren som 1 + r. Hva er r i prosent?

Se løsning Oppgave 1 b

Hver måned multipliseres modellverdien med 1,2. Det tilsvarer en økning på 20 % per måned.

Løsning c)

Få et hint

Bruk endring i K delt på endring i x mellom måned 4 og måned 21. Hva beskriver gjennomsnittet per måned?

Se løsning Oppgave 1 c

$K(4)\approx57{,}6$ og $K(21)\approx1278{,}9$ . Med uavrundede modellverdier blir stigningstallet $\frac{K(21)-K(4)}{21-4}\approx71{,}84.$ Fra april 2023 til september 2024 øker det månedlige antallet registrerte tilfeller ifølge modellen i gjennomsnitt med omtrent 72 tilfeller per måned.

Løsning d)

Få et hint

Finn først x-verdien for mai 2025, målt fra desember 2022. Hvilken verdi skal settes inn i K?

Se løsning Oppgave 1 d

Mai 2025 er 29 måneder etter desember 2022. $K(29)=27{,}8\cdot1{,}2^{29}\approx5499$ . Modellen tilsier omtrent 5500 tilfeller. Dette er en framskriving utover perioden som tabellen dekker.

Oppgave 2

Artikkelen «Har gått 83 ganger rundt jorda» opplyser: I sommerens Stikk UT! har 40 000 deltakere registrert nær 1 million turer. De har tilbakelagt 3,3 millioner kilometer på de ulike turene, noe som tilsvarer 83 ganger rundt jorda. Når deltakerne i tillegg har gått 78 000 høydekilometer, tilsvarer det nesten 9 000 ganger opp Mount Everest, står det i en pressemelding fra Sunnmøre friluftsråd. Artikkelen er hentet fra aesby.no.

a)

Hvor langt har hver deltaker i sommerens Stikk UT! i gjennomsnitt gått?

b)

Hvor langt har Sunnmøre friluftsråd regnet at det er rundt jorda?

Løsning a)

Få et hint

Del den samlede tilbakelagte distansen på antall deltakere. Hvilke enheter må du bruke?

Se løsning Oppgave 2 a

Gjennomsnittet blir 3 300 000 km / 40 000 = 82,5 km per deltaker.

Løsning b)

Få et hint

Bruk forholdet mellom samlet gangdistanse og antall ganger rundt jorda. Hvor mange kilometer tilsvarer én runde?

Se løsning Oppgave 2 b

3 300 000 km fordelt på 83 runder gir omtrent 39 759 km per runde. Avrundet har friluftsrådet regnet med rundt 39 800 km.

Oppgave 3

Elise skal gå fra dør til dør og selge aviser hver lørdag. En avis koster 49 kroner. Firmaet hun skal arbeide for, beregner lønn på ulike måter. Elise kan velge mellom to tilbud. Tilbud 1: Lønn på 35 % av beløpet hun selger aviser for. Tilbud 2: Fast lønn på 150 kroner per lørdag og et tillegg på 10 kroner per avis hun selger.

Gjør beregninger og gi Elise råd om hvilket tilbud hun bør velge.

Få et hint

Skriv begge lønningene som funksjoner av antall solgte aviser. Ved hvilket antall blir tilbudene like?

Se løsning Oppgave 3

Hvis Elise selger n aviser, blir lønnen i tilbud 1 lik 0,35 · 49n = 17,15n kroner. I tilbud 2 blir den 150 + 10n kroner. Tilbudene er like når 17,15n = 150 + 10n, altså n ≈ 20,98. Ved 20 aviser gir tilbud 2 350 kr og tilbud 1 343 kr. Ved 21 aviser gir tilbud 1 360,15 kr og tilbud 2 360 kr. Tilbud 2 lønner seg ved 20 eller færre aviser, mens tilbud 1 så vidt lønner seg fra 21 aviser. Elise bør velge ut fra hvor mange aviser hun tror hun selger.

Oppgave 4

Informasjonen er hentet fra nettsidene til Bladkongen. Nettstedet viser Dagbladet Lørdag med Magasinet. Bladet er på norsk og har fått 4/5 (510 stemmer). Kunden kan velge «Kjøp til deg», «Gi gave» eller «Gi julegave». Tilbudene er:

Abonnementstilbud
Antall aviser	Pris	Oppgitt besparelse
4	99 kr	49 %
12	449 kr	24 %
24	799 kr	32 %
52	1399 kr	45 %

Hvor mye koster Dagbladet Lørdag uten rabatt?

Få et hint

Hvor stor andel av ordinærprisen betales etter rabatten? Hvordan kan du bruke det til å anslå prisen per avis?

Se løsning Oppgave 4

Etter 49 % rabatt betaler vi 51 % av ordinærprisen. Det første tilbudet gir anslaget $\frac{99}{4\cdot0{,}51}\approx48{,}53\text{ kr per avis}.$ Dagbladet Lørdag koster dermed omtrent 49 kroner uten rabatt. Rabattprosentene er avrundet til hele prosent, så tilbudene bestemmer ikke én nøyaktig pris i øre. De andre tilbudene gir også anslag nær 49 kroner.

Oppgave 5

Anne skal bygge en brygge og lurer på hvilken type terrassebord hun skal velge. Tykkelse og bredde er gitt i millimeter. Byggevareforhandleren oppgir pris per meter terrassebord.

Terrassebord
Type	Pris per meter	Tykkelse	Bredde
Furu 28×145 ter concise brun royal	67,90 kr	28 mm	145 mm
Furu 28×095 ter concise brun royal	49,90 kr	28 mm	95 mm

Hva blir prisen per kvadratmeter for hver av de to typene terrassebord?

Få et hint

Én meter bord dekker en lengde på én meter og en bredde som må gjøres om til meter. Hvordan finner du kr per m²?

Se løsning Oppgave 5

Et meter langt bord med bredde 145 mm dekker 1 · 0,145 = 0,145 m². Prisen blir 67,90/0,145 ≈ 468,28 kr/m². Bordet på 95 mm dekker 0,095 m² per løpemeter, så prisen blir 49,90/0,095 ≈ 525,26 kr/m². Det bredeste bordet er billigst per kvadratmeter.

Oppgave 6

Isabel er industridesigner. Hun arbeider med et design på bokser med form som sylindrer.

Oppgaven oppgir volumformelen V = πr²h og overflateformelen O = πr² + 2πrh ved siden av en sylindertegning.

Oppgaven oppgir formlene $V=\pi r^2h$ og $O=\pi r^2+2\pi rh$ . Overflateformelen har ett sirkelareal, og vi bruker denne oppgitte formelen. Isabel lurer på hvor stor radius hun bør velge og hvor høye boksene må være når hver boks skal ha volum $V=450\text{ cm}^3$ og minst mulig overflate $O$ . Når volum og radius er gitt, kan hun regne ut høyden ved hjelp av volumformelen.

Oversikt over boksene
Radius, r (cm)	Høyde, h (cm)	Overflate, O (cm²)	Volum, V (cm³)
2	35,8	462,6	450
4			450
6			450
8			450

a)

Lag en oversikt som vist nedenfor. Gjør beregninger og fyll inn verdiene som mangler.

b)

Isabel ønsker å lage en modell som viser overflaten av ulike bokser hun kan lage ved å endre radius. Sett opp et funksjonsuttrykk Isabel kan bruke, og lag en grafisk framstilling som viser sammenhengen mellom radius og overflate.

c)

Hvor stor må radius i boksene være for at overflaten skal bli minst mulig? Hvor stor blir overflaten da?

Løsning a)

Få et hint

Når volumet er fast, kan du finne høyden fra volumformelen. Hvordan isolerer du h?

Se løsning Oppgave 6 a

Volumkravet gir $h=\frac{450}{\pi r^2}$ . Sett den uavrundede høyden inn i $O=\pi r^2+2\pi rh$ , og avrund først verdiene som vises i tabellen.

Bokser med volum 450 cm³; høyder og overflater avrundet til én desimal
Radius r (cm)	Høyde h (cm)	Overflate O (cm²)	Volum V (cm³)
2	35,8	462,6	450
4	9,0	275,3	450
6	4,0	263,1	450
8	2,2	313,6	450

Løsning b)

Få et hint

Sett uttrykket for h fra volumformelen inn i O-formelen. Hvordan kan du uttrykke alt ved radius r?

Se løsning Oppgave 6 b

Sett $h=\frac{450}{\pi r^2}$ inn i overflateformelen: $O(r)=\pi r^2+2\pi r\cdot\frac{450}{\pi r^2}=\pi r^2+\frac{900}{r},\qquad r>0.$ Bruk radius i cm på den vannrette aksen og overflate i cm² på den loddrette. Kurven faller fram mot et bunnpunkt og stiger deretter. Grafvinduet viser positive radier opp til omtrent 12 cm; utsnittet er ingen øvre grense for mulige radier.

Skriv inn funksjonen og finn bunnpunktet i GeoGebra. Kommandoene nedenfor bruker engelske kommandonavn; i en engelsk visning kan resultatlinjen hete TurningPoint.

f(x)=If(x>0,pi*x^2+900/x)
M=Extremum(f,1,12)

GeoGebra viser overflaten f(x) = πx² + 900/x for positiv radius x. Vannrett akse er radius i cm og loddrett akse er overflate i cm². Bunnpunktet M = (5,23224; 258,01575) er markert.

Løsning c)

Få et hint

Finn bunnpunktet til funksjonen O(r), eller sammenlign verdier rundt det laveste punktet i grafen. Hvor ligger minimumet?

Se løsning Oppgave 6 c

Bunnpunktet til modellen ligger omtrent i $(5{,}23,258{,}02)$ . Radiusen bør derfor være omtrent 5,23 cm, og overflaten blir omtrent 258,02 cm². Dette er minimumet for den oppgitte overflateformelen med ett sirkelareal. Grafen fra b) brukes til å lokalisere og lese av bunnpunktet.

Oppgave 7

Sofie kjøper en baguette med smør, ost, skinke, tomat og salat i kantina på skolen hver dag. Baguetten koster 65 kroner. Hun vurderer om hun heller skal kjøpe baguetter i en butikk, smøre dem selv og ta dem med på skolen.

Priser på ingredienser i butikk
Vare	Pakningsstørrelse	Pris
Baguetter fine, Eldorado	2 × 150 g	19,90 kr
Tomat, stk.	1 stk.	4,29 kr
Kokt skinke, Gilde	110 g	32,30 kr
Crispi salat	150 g	20,00 kr
Norvegia skorpefri	500 g	83,00 kr
Meierismør, Tine	250 g	36,90 kr

Gjør nødvendige antakelser, og finn ut hvor mye Sofie vil kunne spare i løpet av en måned dersom hun kjøper baguetter i en butikk og smører dem selv.

Få et hint

Velg porsjoner per baguette og antall skoledager. Hva blir råvarekostnaden per dag sammenlignet med 65 kroner?

Se løsning Oppgave 7

Et mulig overslag er å regne med én baguette, én tomat, 22 g skinke, 30 g salat, 50 g ost og 10 g smør per dag, og 20 skoledager i måneden. Kostnaden blir 19,90/2 + 4,29 + 32,30·22/110 + 20·30/150 + 83·50/500 + 36,90·10/250 ≈ 34,48 kroner per baguette. Hun sparer da omtrent 65 − 34,48 = 30,52 kroner per dag, eller 610 kroner i løpet av 20 skoledager. Resultatet avhenger av porsjonsstørrelsene og hvor mange skoledager hun regner med. Dette overslaget gjelder råvarene hun bruker. Vi antar at rester kan brukes senere; utgiften til å kjøpe hele pakninger kan bli litt høyere denne måneden.

Jobb videre med 1P

Vil du forstå mer av faget?

Bruk 1P-kurset til å repetere metoden før du prøver en ny oppgave.

Prøv 1P-kurset Flere eksamensoppgaver i 1P