Matematikk 1P vår 2026

Vi finner 80 % av 60: $$\frac{80}{100}\cdot60=\frac45\cdot60=48.$$ Bonden skal slakte 48 sauer.

Vi gjør først om til liter: $$120\,\mathrm{m^3}=120\cdot1000\,\mathrm{L}=120\,000\,\mathrm{L}.$$ Året har 12 måneder, så gjennomsnittet blir $$\frac{120\,000}{12}=10\,000.$$ Familien har i gjennomsnitt brukt 10 000 liter vann per måned.

Vi skriver tallene som $2{,}5\cdot10^8$ og $8\cdot10^{-6}$. Da får vi $$2{,}5\cdot10^8\cdot8\cdot10^{-6}=20\cdot10^{8-6}=20\cdot100=2000.$$

Antall personer multiplisert med pris per person skal være det samme. Den ferdige kolonnen gir $10\cdot600=6000$. Ved 20 personer blir prisen $6000/20=300$ kroner. Når prisen er 100 kroner, blir antallet $6000/100=60$ personer.

Blant de positive brøkene med teller 1 er brøken med størst nevner minst. Derfor er $1/10<1/9<1/8$. Hele rekkefølgen blir $$10^{-1}<3^{-2}<\frac{1}{2^3}<\sqrt{81}<2\cdot2^4<10^2<\sqrt{10^6}.$$

La den opprinnelige prisen være $P$. Etter økningen og nedgangen er prisen $$P\cdot1{,}10\cdot0{,}90=0{,}99P.$$ Varen koster mindre enn før: 1 % mindre. Nedgangen på 10 % regnes av en høyere pris enn økningen, og blir derfor et større kronebeløp.

Et fall på 20 % gir vekstfaktor $0{,}80$, mens et fall på 6 % gir vekstfaktor $0{,}94$. Det første fallet skjer én gang og det andre fem ganger. Uttrykket er derfor $$850\,000\cdot0{,}80\cdot0{,}94^5\text{ kroner}.$$ Oppgaven ber bare om uttrykket, så vi trenger ikke regne ut sluttverdien.

Målene i centimeter er $100$, $50$ og $0{,}6$. Volumet er $$100\cdot50\cdot0{,}6=3000\,\mathrm{cm^3}.$$ Massen blir $$3000\,\mathrm{cm^3}\cdot8\,\mathrm{g/cm^3}=24\,000\,\mathrm{g}=24\,\mathrm{kg}.$$ Stålplaten veier 24 kg.

Ola hadde $100-40=60$ flere passeringer og betalte $6200-3200=3000$ kroner mer. Én passering koster derfor $$3000/60=50\text{ kr}.$$ Petters passeringer kostet $40\cdot50=2000$ kroner. Årsavgiften er $$3200-2000=1200\text{ kr}.$$

La $x$ være antall bompasseringer i løpet av året. Totalkostnaden i kroner blir $$T(x)=50x+1200.$$ Her er 1200 årsavgiften, og $50x$ er betalingen for passeringene. Antallet $x$ er et ikke-negativt heltall.

Vi setter totalkostnaden lik 5200: $$50x+1200=5200.$$ Da er $50x=4000$, og $$x=4000/50=80.$$ Ine passerte bommen 80 ganger.

Tall nummer 8 følger det samme mønsteret: $$7\cdot8+1=57.$$

I tall nummer $n$ er faktorene $n-1$ og $n$. Vi legger deretter til 1: $$a_n=(n-1)n+1=n^2-n+1,\qquad n=1,2,3,\ldots.$$

Når $x=0$, er $$K(0)=0^2+b\cdot0+20\,000=20\,000.$$ Bedriften har 20 000 kroner i faste kostnader, også når den ikke produserer noen enheter.

Vi bruker $K(50)=30\,000$: $$30\,000=50^2+50b+20\,000.$$ Siden $50^2=2500$, får vi $$50b=30\,000-20\,000-2500=7500,$$ og dermed $$b=7500/50=150.$$

Påstanden er sann når temperaturen holdes konstant. Da er $$k=\frac{1}{287T}$$ en konstant, og formelen blir $L=kp$. Lufttettheten er dermed proporsjonal med trykket. For eksempel gir dobbelt trykk dobbelt så stor lufttetthet ved samme temperatur.

Vi ganger med $T$ og får $$L\cdot T=\frac{p}{287}.$$ Dette produktet er konstant bare når trykket $p$ holdes konstant. Med konstant trykk er påstanden sann: høyere temperatur gir mindre lufttetthet i omvendt forhold. Oppgaveteksten sier ikke at trykket er konstant, så påstanden er ikke generelt sann slik den står. Hvis både trykket og temperaturen dobles, blir lufttettheten uendret, i stedet for å bli halvert.

I begge modellene er $x$ antall år etter 2026, og startbestanden er 20 000 individer. Modellen $$f(x)=20\,000-300x$$ gir en lineær nedgang på 300 individer hvert år. Modellen $$g(x)=20\,000\cdot0{,}984^x$$ har vekstfaktor $0{,}984=1-0{,}016$. Den gir en nedgang på 1,6 % hvert år.

Programmet øker $x$ med 1 om gangen og finner det første hele antallet år der $f(x)<g(x)$. Sofie vil altså finne når den lineære modellen for første gang gir en mindre bestand enn den eksponentielle ved et helt årsintervall. Utskriften viser $x=10$, $f(10)=17\,000$ og $g(10)\approx17\,020{,}84$. Dette er i $2026+10=2036$: omtrent 17 000 og 17 021 individer etter de to modellene. Løkken finner et helt år, ikke et eksakt skjæringspunkt mellom grafene.

Vi setter inn $x=50$: $$U(50)=\frac{5400}{50}+0{,}0074\cdot50^2+50=108+18{,}5+50=176{,}5.$$ Bilen slipper ut 176,5 gram CO₂ per kilometer.

Vi tegner modellen i GeoGebra på det oppgitte, åpne intervallet og finner bunnpunktet. Disse kommandoene viser også beregningene fra a og c. De to siste kommandoene stiller inn utsnitt og enhetstekst:

Grafen avtar fram til bunnpunktet og øker deretter innenfor det oppgitte intervallet. GeoGebra gir $$M\approx(71{,}45687,\ 163{,}35508).$$ Farten som gir minst utslipp, er omtrent 71,46 km/h. Da slipper bilen ut omtrent 163,36 gram CO₂ per kilometer. Endepunktene 30 og 110 er ikke med i modellens definisjonsmengde.

Tiden er $20/60=1/3$ time. Strekningen blir $$90\cdot\frac13=30\text{ km}.$$ Ved 90 km/h er utslippet per kilometer $$U(90)=\frac{5400}{90}+0{,}0074\cdot90^2+50=169{,}94\text{ g/km}.$$ Totalt blir utslippet $$169{,}94\cdot30=5098{,}2\text{ g}.$$ Det er omtrent 5,10 kg CO₂. GeoGebra-beregningen i b gir samme verdi.

Nedgangen i prosentpoeng er $$4{,}25-4=0{,}25.$$ Styringsrenten ble satt ned med 0,25 prosentpoeng.

Nedgangen er 0,25 prosentpoeng, og den opprinnelige renten var 4,25 %. Den relative nedgangen er $$\frac{0{,}25}{4{,}25}\cdot100\%=\frac{100}{17}\%\approx5{,}88\%.$$ Styringsrenten ble satt ned med omtrent 5,9 %.

Fra 2013 til 2022 går det 9 år. Den årlige endringen i en lineær modell er $$\frac{2500-9000}{9}= -\frac{6500}{9}\approx-722{,}22.$$ Startverdien ved $x=0$ er 9000 par. En modell er $$f(x)=9000-\frac{6500}{9}x.$$ Modellen gir en nedgang på omtrent 722 par hvert år. Den gir 2500 par når $x=9$. Hvis vi forlenger den, blir bestanden null etter omtrent 12,46 år. Etter dette gir modellen negative bestandstall og kan ikke beskrive en virkelig bestand.

En eksponentiell modell har samme vekstfaktor $b$ hvert år. Vi bruker $$9000b^9=2500\quad\Rightarrow\quad b=\left(\frac{2500}{9000}\right)^{1/9}\approx0{,}86733847.$$ En modell med full presisjon er derfor $$g(x)=9000\left(\frac5{18}\right)^{x/9}.$$ Det betyr en årlig nedgang på $$\left(1-\left(\frac5{18}\right)^{1/9}\right)\cdot100\%\approx13{,}27\%.$$ Modellen gir 2500 par i 2022. Bestanden nærmer seg null etter hvert, men blir ikke nøyaktig null ved noe endelig antall år i denne modellen. Dette er en videreføring av Egils antakelse, ikke en sikker prognose.

Grafen til $q$ nærmer seg 2000 par. Egil antar altså at vernet bidrar til at bestanden stabiliserer seg mot 2000 par, og at antallet par over dette nivået avtar eksponentielt. Grafen til $p$ viser dette overskuddet: 7000 par ved $x=0$ og 500 par ved $x=9$.

La vekstfaktoren til $p$ være $c$. Da er $$7000c^9=500\quad\Rightarrow\quad c=\left(\frac1{14}\right)^{1/9}.$$ Dermed får vi $$p(x)=7000\left(\frac1{14}\right)^{x/9}$$ og $$q(x)=p(x)+2000=7000\left(\frac1{14}\right)^{x/9}+2000.$$ Her er $x$ år etter 2013, så $q(0)=9000$ par i 2013 og $q(9)=2500$ par i 2022. Bare overskuddet over 2000 par minker med samme prosent hvert år, omtrent 25,41 %. Hele bestanden $q(x)$ har ikke konstant prosentvis nedgang.

Temperaturen øker med $70-10=60$ °C. Energien blir $$100\cdot60\cdot4184=25\,104\,000\text{ J}\approx2{,}51\cdot10^7\text{ J}.$$ Den oppgitte energien er avrundet til tre gjeldende siffer.

Vi setter $T=40$ i formelen: $$V=\frac{40-10}{4}=7{,}5.$$ Martin bruker 7,5 liter fra varmtvannstanken per minutt. På 10 minutter blir dette $$7{,}5\cdot10=75\text{ L}.$$ Totalt bruker dusjen $15\cdot10=150$ liter; halvparten kommer fra tanken.

Vannet fra tanken er varmet fra 10 °C til 70 °C, altså 60 °C. For 75 liter kreves $$75\cdot60\cdot4184=18\,828\,000\text{ J}.$$ Det er $1{,}8828\cdot10^7$ J, eller omtrent $1{,}88\cdot10^7$ J.

Vi bruker den uavrundede energien fra c og regner om til kilowattimer: $$\frac{18\,828\,000}{3{,}6\cdot10^6}=5{,}23\text{ kWh}.$$ Prisen 134 øre per kWh er 1,34 kroner per kWh. Kostnaden blir $$5{,}23\cdot1{,}34=7{,}0082\text{ kr}\approx7{,}01\text{ kr}.$$ Dusjen kostet omtrent 7 kroner.