Løsningsforslag · LK20 · MAT1021

Matematikk 1T høst 2024

Prøv selv, eller få et hint.

Prøv 1T-kurset for å forstå konseptene bedre.

2024-11-20 12 oppgaver 22 svar med forklaring

Originaleksamen (PDF)

Del 1

Uten hjelpemidler · eksamensordningen i 2024

Oppgave 1

Del 1, oppgave 1 (2 poeng).

Snorre har funnet formelen $2\sin(u)\cos(u)=\sin(2u)$ . Bruk trekanten til høyre og vis at formelen gjelder når $u=30^\circ$ . Den rettvinklede trekanten har sider $1,\sqrt3,2$ og spisse vinkler 30° og 60°.

Original rettvinklet trekant med kateter 1 og √3, hypotenus 2 og spisse vinkler 30 og 60 grader.

Vis formelen for $u=30^\circ$ .

Få et hint

Sinus og cosinus kan skrives som sideforhold i den rettvinklede trekanten. Hvilke forhold får du for

30^\circ

Se løsning Oppgave 1

Fra trekanten er $\sin30^\circ=1/2$ og $\cos30^\circ=\sqrt3/2$ . Da er $2\sin30^\circ\cos30^\circ=2\cdot(1/2)(\sqrt3/2)=\sqrt3/2$ . Samtidig er $\sin(2\cdot30^\circ)=\sin60^\circ=\sqrt3/2$ . Sidene er like.

Oppgave 2

Del 1, oppgave 2 (2 poeng).

Funksjonen er $f(x)=(x-1)(x+3)$ . Bestem koordinatene til bunnpunktet.

Finn bunnpunktet.

Få et hint

Symmetrilinjen ligger midt mellom nullpunktene. Hvilken

x

-verdi gir det?

Se løsning Oppgave 2

Nullpunktene er $1$ og $-3$ , så symmetrilinjen er $x=(-3+1)/2=-1$ . Da er $f(-1)=(-2)(2)=-4$ . Bunnpunktet er $(-1,-4)$ .

Oppgave 3

Del 1, oppgave 3 (4 poeng).

Funksjonen er $f(x)=x^3+7x^2+4x-12$ . Løs ulikheten $f(x)<0$ , og illustrer løsningen grafisk med en skisse.

Løs ulikheten og beskriv fortegnet grafisk.

Få et hint

En heltallig rot må være en divisor i konstantleddet. Hvilken enkel verdi kan du prøve først?

Se løsning Oppgave 3

Vi prøver divisorer i $-12$ : $f(1)=1+7+4-12=0$ , så $x-1$ er en faktor. Polynomdivisjon gir $(x^3+7x^2+4x-12):(x-1)=x^2+8x+12$ , og $x^2+8x+12=(x+2)(x+6)$ . Dermed er $f(x)=(x-1)(x+2)(x+6)$ . Nullpunktene er $-6,-2,1$ . Med positiv ledende koeffisient er produktet negativt på intervallene $(-\infty,-6)$ og $(-2,1)$ . Dermed er løsningen $x<-6$ eller $-2<x<1$ . Skissen krysser x-aksen ved de tre nullpunktene.

For en håndskisse markerer vi de tre nullpunktene og at grafen går ned mot venstre og opp mot høyre. Grafen ligger under x-aksen på de to intervallene i svaret. GeoGebra-bildet nedenfor illustrerer skissen; del 1 skal kunne begrunnes uten digitale hjelpemidler.

Åpne bildet i full størrelse ↗

Oppgave 4

Del 1, oppgave 4 (2 poeng).

På enhetssirkelen ligger $P=(0{,}64,0{,}77)$ . Vurder påstandene og begrunn: a) $\tan50^\circ>1$ ? b) $\tan130^\circ>0$ ?

Original enhetssirkel med punkt P≈(0,64;0,77) ved vinkelen 50 grader. Koordinatene er avrundet.

a)

Er $\tan50^\circ>1$ ?

b)

Er $\tan130^\circ>0$ ?

Løsning a)

Få et hint

På enhetssirkelen er tangens lik

y/x

. Hva kan koordinatene til

P

fortelle deg om forholdet?

Se løsning Oppgave 4 a

Tangens er voksende på første kvadrant, og $50^\circ>45^\circ$ . Derfor er $\tan50^\circ>\tan45^\circ=1$ .

Løsning b)

Få et hint

Hvilke fortegn har sinus og cosinus i andre kvadrant?

Se løsning Oppgave 4 b

I andre kvadrant er sinus positiv og cosinus negativ. Derfor er $\tan130^\circ=\sin130^\circ/\cos130^\circ<0$ , så påstanden er feil.

Oppgave 5

Del 1, oppgave 5 (2 poeng).

Et lite kvadrat med side $s$ og rektangler utgjør til sammen et stort kvadrat med side $s+t$ . Sett opp en identitet med utgangspunkt i arealet av det store kvadratet.

Originalt kvadrat med side s+t, delt i et lite kvadrat med side s, et øvre høyre rektangel med sider s og t og et venstre rektangel med sider t og s+t.

Utled identiteten ved å sammenligne arealene.

Få et hint

Finn arealet av hver av de tre delene slik de faktisk er tegnet. Hvordan kan summen sammenlignes med arealet av det store kvadratet?

Se løsning Oppgave 5

Hele kvadratet har side $s+t$ og areal $(s+t)^2$ . Det lille kvadratet har areal $s^2$ , rektangelet øverst til høyre har areal $st$ , og det venstre rektangelet har areal $t(s+t)$ . Derfor får vi $(s+t)^2=s^2+st+t(s+t)=s^2+2st+t^2.$ De to opprinnelige rektanglene er ikke like store. Dersom vi vil se fire ledd direkte i figuren, kan vi dele det venstre rektangelet i et rektangel med areal $st$ og et kvadrat med areal $t^2$ .

Del 2

Med hjelpemidler · eksamensordningen i 2024

Oppgave 1

Del 2, oppgave 1 (8 poeng).

Papirabonnenter modelleres ved $P(x)=3600\cdot0{,}85^x+600$ , der $x$ er år etter 2010. Digitalt hadde avisen 1000 abonnenter i 2019, og tallet økte med 5,5 % per år fra 2019 til 2024.

a)

Vis på to ulike måter hvor mange som abonnerte på papiravisen i 2010.

b)

Bestem stigningstallet til linjen gjennom $(4,P(4))$ og $(14,P(14))$ , og gi en praktisk tolkning.

c)

Bestem den momentane vekstfarten når $x=10$ , og tolk svaret.

d)

Hvilket år var det første gang flere abonnerte digitalt enn på papir?

Løsning a)

Få et hint

Hvilken x-verdi svarer til 2010? Hvordan kan du finne samme verdi både ved innsetting og ved å lese grafen?

Se løsning Oppgave 1 a

Algebraisk setter vi $x=0$ , siden 2010 er startåret: $P(0)=3600\cdot0{,}85^0+600=3600+600=4200.$ Grafisk tegner vi modellen og finner skjæringen med $y$ -aksen. I GeoGebra bruker vi:

P(x)=3600*0.85^x+600
Q(x)=Function(P,0,14)
A=Intersect(P,yAxis)

Åpne bildet i full størrelse ↗

Punktet A=(0,4200) viser grafisk at modellen gir 4200 papirabonnenter i 2010. Tallet 600 er modellens grenseverdi på lang sikt, ikke startverdien.

Løsning b)

Få et hint

Gjennomsnittlig vekstfart er endring i antall abonnenter delt på antall år. Hvilke modellverdier avgrenser intervallet?

Se løsning Oppgave 1 b

$P(4)=2479{,}22$ og $P(14)\approx969{,}97$ . Stigningstallet er $(969{,}97-2479{,}22)/10\approx-150{,}93$ abonnenter per år. Fra 2014 til 2024 synker modellert papirtall i gjennomsnitt med omtrent 151 per år.

Løsning c)

Få et hint

Den deriverte av

a^x

a^x\ln a

. Hva får du når du deriverer

P(x)

Se løsning Oppgave 1 c

$P'(x)=3600\cdot0{,}85^x\ln(0{,}85)$ . Dermed er $P'(10)\approx-115{,}18$ . I 2020 synker papirabonnementene ifølge modellen momentant med omtrent 115 per år.

Løsning d)

Få et hint

Bruk samme tidsvariabel for de to modellene. Hvordan kan du finne når de blir like store og deretter tolke tidspunktet som et årstall?

Se løsning Oppgave 1 d

Med $x$ år etter 2010 er digitalmodellen $D(x)=1000\cdot1{,}055^{x-9},\qquad9\le x\le14.$ Her svarer $x=9$ til 2019. Vi sammenligner med $P(x)$ ved å løse $1000\cdot1{,}055^{x-9}=3600\cdot0{,}85^x+600.$ En numerisk løsning gir $x\approx11{,}58075$ , altså et tidspunkt i $2021$ . Digitalmodellen er voksende og papirmodellen avtakende, så det er flere digitale abonnenter etter dette skjæringspunktet.

Svar: Ifølge modellene var det for første gang flere digitale abonnenter enn papirabonnenter i 2021, fordi skjæringspunktet $x\approx11{,}58$ ligger mellom $x=11$ (2021) og $x=12$ (2022). Til sammenligning er $D(11)\approx1113<P(11)\approx1202$ og $D(12)\approx1174>P(12)\approx1112$ .

Oppgave 2

Del 2, oppgave 2 (2 poeng).

Maria setter sammen 12 like store likesidede trekanter med side 4. Hun får arealet $48\sqrt3$ ved å bruke Pytagoras og arealberegning. Vis at samme resultat kan finnes med trigonometri.

Original stjerne satt sammen av tolv like store likesidede trekanter, hver med sidelengde 4.

Vis arealet ved trigonometrisk metode.

Få et hint

Arealsetningen bruker to sider og vinkelen mellom dem. Hvilken vinkel kjenner du i hver av de likesidede trekantene?

Se løsning Oppgave 2

Hver av de 12 trekantene har to sider 4 med inkludert vinkel 60°. Arealet blir $\frac12\cdot4\cdot4\sin60^\circ=4\sqrt3$ . Stjernen består av 12 slike trekanter, så arealet er $12\cdot4\sqrt3=48\sqrt3$ .

Oppgave 3

Del 2, oppgave 3 (2 poeng).

En rasjonal funksjon $f$ har asymptotene $x=2$ og $y=4$ , og nullpunkt $x=-3$ . Bestem et mulig funksjonsuttrykk og gjør rede for tankegangen.

Gi et mulig uttrykk og begrunn asymptotene/nullpunktet.

Få et hint

Hvilken faktor i nevneren gir en vertikal asymptote ved

x=2

, og hvilken faktor i telleren gir nullpunktet

x=-3

? Hva må forholdet mellom leddene av høyest grad være for at

y=4

skal bli horisontal asymptote?

Se løsning Oppgave 3

Sett $f(x)=4+k/(x-2)$ . Kravet $f(-3)=0$ gir $4-k/5=0$ , altså $k=20$ . Et mulig uttrykk er $f(x)=4+20/(x-2)=(4x+12)/(x-2)$ . Nevneren gir vertikal asymptote $x=2$ , brøkdelen går mot 0 for store $|x|$ , så horisontal asymptote er $y=4$ , og telleren gir nullpunktet $x=-3$ . Definisjonsmengden er $x\ne2$ ; telleren er ikke null ved $x=2$ , så asymptoten forkortes ikke bort.

Oppgave 4

Del 2, oppgave 4 (4 poeng).

$n!$ er produktet av de naturlige tallene fra $1$ til $n$ . For eksempel er $1!=1$ , $2!=1\cdot2$ , $3!=1\cdot2\cdot3$ , $4!=1\cdot2\cdot3\cdot4$ og $5!=1\cdot2\cdot3\cdot4\cdot5$ . Produktet $100!=1\cdot2\cdot3\cdots99\cdot100$ har $24$ nuller til slutt.

a)

Lag et program som regner ut $n!$ for naturlig $n$ . Bruk det til å regne ut $5!$ , $10!$ og $15!$ .

b)

Gjør rede for hvilke faktorer som gir de 24 nullene til slutt i $100!$ .

Løsning a)

Få et hint

Fakultet er et produkt av heltall. Hvilken startverdi må en produktvariabel ha før den første multiplikasjonen?

Se løsning Oppgave 4 a

Programmet er:

def fakultet(n):
    produkt = 1
    for k in range(1, n + 1):
        produkt *= k
    return produkt

for n in (5, 10, 15):
    print(n, fakultet(n))

Kjøring gir $5!=120$ , $10!=3628800$ og $15!=1307674368000$ .

Løsning b)

Få et hint

Hver null krever en faktor

10=2\cdot5

. Hvilken av faktorene

2

5

finnes det færrest av i produktet?

Se løsning Oppgave 4 b

$100!$ har $\lfloor100/5\rfloor=20$ faktorer som bidrar med minst én 5, og ytterligere $\lfloor100/25\rfloor=4$ ekstra 5-ere. Totalt 24 faktorer 5, og dermed 24 slutt-null. Hver null kommer fra et par $2\cdot5=10$ . De $50$ partallene gir minst $50$ faktorer $2$ , så det er flere enn nok toere til de $24$ femmerne. Derfor får vi nøyaktig $24$ nuller.

Oppgave 5

Del 2, oppgave 5 (3 poeng).

En tredjegradsfunksjon er $f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$ . Grafen går gjennom $(2,6)$ , punktet $(-2,8)$ er et toppunkt, og tangenten ved $(3,f(3))$ har stigningstall 4. Bestem $a,b,c,d$ .

Sett opp og løs vilkårene for koeffisientene.

Få et hint

Et punkt på grafen gir en likning i koeffisientene. Hvilken likning får du fra punktet

(2,6)

Se løsning Oppgave 5

De to punktene gir $8a+4b+2c+d=6$ og $-8a+4b-2c+d=8$ . Siden $f'(x)=3ax^2+2bx+c$ , gir toppunktet og tangentstigningen $12a-4b+c=0$ og $27a+6b+c=4$ .

Vi trekker den andre punktlikningen fra den første: $16a+4c=-2$ , altså $c=-\frac12-4a$ . Innsetting i $12a-4b+c=0$ gir $b=2a-\frac18$ . Deretter blir tangentvilkåret $27a+6\left(2a-\frac18\right)-\frac12-4a=4\quad\Longrightarrow\quad35a=\frac{21}{4}.$ Dermed får vi $a=\frac3{20}$ , $b=\frac7{40}$ og $c=-\frac{11}{10}$ . Første punktlikning gir så $d=\frac{63}{10}$ .

Funksjonen er $f(x)=0{,}15x^3+0{,}175x^2-1{,}1x+6{,}3$ . Vi kontrollerer at $f''(-2)=6a(-2)+2b=-1{,}45<0$ , så $(-2,8)$ er et toppunkt. Innsetting gir dessuten $f(2)=6$ , $f(-2)=8$ og $f'(3)=4$ .

Oppgave 6

Del 2, oppgave 6 (4 poeng).

Firkanten $ABCD$ har $AB=8$ og $DC=12$ . a) Isabels gruppe får $AD=6$ , $BC=10$ og diagonal $AC=16{,}4$ . b) Annikens gruppe får $\angle A=62{,}5^\circ$ , $\angle C=38{,}3^\circ$ , $\angle ABD=45{,}5^\circ$ og $\angle CBD=85{,}5^\circ$ . Forklar hvordan gruppene kan bestemme arealet med trigonometri.

Original firkant ABCD med AB=8,0 og CD=12,0. A er nederst til venstre, B nederst til høyre, C øverst til høyre og D øverst til venstre.

a)

Vis hvordan Isabels gruppe kan bestemme arealet ved hjelp av opplysningene.

b)

Vis hvordan Annikens gruppe kan bestemme arealet ved hjelp av opplysningene.

Løsning a)

Få et hint

Diagonalen

AC

deler firkanten i to trekanter med kjente sider. Hvilken setning kan gi en vinkel i hver trekant?

Se løsning Oppgave 6 a

Vi deler firkanten langs $AC$ . I trekant $ABC$ gir cosinussetningen $\cos B=\frac{8^2+10^2-16{,}4^2}{2\cdot8\cdot10}.$ Med $\sin B=\sqrt{1-\cos^2B}>0$ får vi $A_{ABC}=\frac12\cdot8\cdot10\sin B\approx30{,}19.$ I trekant $ADC$ bruker vi tilsvarende $\cos D=\frac{6^2+12^2-16{,}4^2}{2\cdot6\cdot12},\qquad A_{ADC}=\frac12\cdot6\cdot12\sin D\approx28{,}31.$ Vi beholder flere sifre enn vist i mellomregningene. Summen er omtrent $58{,}4991$ , altså $58{,}50$ kvadratenheter. Cosinussetningen finner vinklene, og arealsetningen finner trekantarealene.

Løsning b)

Få et hint

Tegn diagonalen BD. Hvilke vinkler og sider kjenner du i hver av trekantene ABD og BCD?

Se løsning Oppgave 6 b

Vinklene $A$ og $C$ tilhører firkanten. Vi deler langs $BD$ , slik at $A$ ligger i trekant $ABD$ og $C$ i trekant $BCD$ . I $ABD$ er $\angle ADB=180^\circ-62{,}5^\circ-45{,}5^\circ=72^\circ.$ Sinussetningen gir $AD=\frac{8\sin45{,}5^\circ}{\sin72^\circ}\approx5{,}99965.$ Dermed er $A_{ABD}=\frac12\cdot8\cdot AD\sin62{,}5^\circ\approx21{,}2870.$

I trekant $BCD$ er $\angle BDC=180^\circ-85{,}5^\circ-38{,}3^\circ=56{,}2^\circ.$ Her får vi $BC=\frac{12\sin56{,}2^\circ}{\sin85{,}5^\circ}\approx10{,}00265,$ og $A_{BCD}=\frac12\cdot12\cdot BC\sin38{,}3^\circ\approx37{,}1966.$ Firkantens areal blir omtrent $21{,}2870+37{,}1966=58{,}4836\approx58{,}48.$ Den lille forskjellen fra del a er forenlig med avrundede lengder og vinkler. Vinklene ved $A$ og $C$ kan ikke legges sammen som om begge tilhørte trekant $ABC$ .

Oppgave 7

Del 2, oppgave 7 (8 poeng).

Else bruker $100$ m gjerde til tre områder: det største skal være et rektangel, og de to minste skal være likebeinte rettvinklede trekanter. Katetene er $x$ , og rektangelet har høyde $x$ og bredde $y$ . Hun setter opp gjerde langs alle linjestykkene i originalfiguren, også de to indre skillelinjene.

Original grønnsakshage med et rektangel med høyde x og bredde y mellom to likebeinte rettvinklede trekanter med kateter x. Gjerdet følger også de to indre loddrette skillelinjene.

a)

Finn arealet når katetene er 8 m.

b)

Lag en oversikt som viser hvordan arealet endres når katetene varierer, og anslå hvor lange katetene bør være for størst areal.

c)

Lag en modell $A(x)$ for arealet.

d)

Bruk modellen til å finne katetelengden som gir størst areal.

e)

Bestem modellens gyldighetsområde.

Løsning a)

Få et hint

Gjerdet følger også de to indre skillelinjene. Hvordan kan du uttrykke den samlede lengden ved hjelp av

x

y

Se løsning Oppgave 7 a

Hver skrå side er $x\sqrt2$ . Gjerdelengden blir $2y+2x+2x\sqrt2+2x=100$ , altså $y=50-(2+\sqrt2)x$ . For $x=8$ er $y\approx22{,}69$ m. Arealet er rektangelet $xy$ pluss de to trekantene, samlet $x^2$ : $A=8y+64\approx245{,}49$ m².

Løsning b)

Få et hint

For hver valgt katetelengde bestemmer gjerdet rektangelets bredde. Hvordan kan du samle de tilhørende arealene i en tabell?

Se løsning Oppgave 7 b

Fra gjerdelengden får vi $y=50-(2+\sqrt2)x$ . Vi regner arealet som $xy+x^2$ for flere verdier som også gjør rektangelet større enn hver trekant:

Areal ved ulike gyldige katetelengder
x (m)	Areal (m²)
2	90,34
6	213,09
8	245,49
10	258,58
10,35	258,88
10,36	258,88
10,4	258,88
12	252,35

Oversikten tyder på et maksimum nær x=10,4 m. Tabellen alene beviser ikke hvor det nøyaktige maksimumet ligger; det finner vi med modellen i del d.

Løsning c)

Få et hint

Totalarealet er rektangelets areal pluss de to trekantarealene. Hvordan kan du fjerne

y

ved hjelp av gjerdelikningen?

Se løsning Oppgave 7 c

$A(x)=xy+x^2=x(50-(2+\sqrt2)x)+x^2=50x-(1+\sqrt2)x^2$ .

Løsning d)

Få et hint

Arealmodellen er en nedovervendt parabel. Hvordan kan du finne

x

-koordinaten til toppunktet?

Se løsning Oppgave 7 d

$A'(x)=50-2(1+\sqrt2)x=0$ gir $x=25/(1+\sqrt2)\approx10{,}36$ m. Arealet blir da omtrent $258{,}88$ m².

Løsning e)

Få et hint

Alle lengder må være positive. Hvilket ekstra krav får du når rektangelet også skal ha større areal enn hver av trekantene?

Se løsning Oppgave 7 e

Vi krever $x>0$ og $y>0$ . Dessuten sier oppgaven at rektangelet skal være det største området. Derfor må $xy>\frac{x^2}{2}.$ Siden $x>0$ , blir dette $y>x/2$ . Setter vi inn $y=50-(2+\sqrt2)x$ , får vi $50-(2+\sqrt2)x>\frac{x}{2}\quad\Longrightarrow\quad0<x<\frac{100}{5+2\sqrt2}\approx12{,}77396.$ Dette kravet sikrer også at $y>0$ . Ved øvre grense er alle tre områdene like store, så grensen tas ikke med når rektangelet skal være strengt størst. Hvis vi bare krevde positive lengder og sløyfet størrelseskravet, ville det videre intervallet vært $0<x<50/(2+\sqrt2)\approx14{,}64$ . Det er ikke hele betingelsen i oppgaven. Maksimumet $x\approx10{,}36$ ligger i det strengere intervallet.

Jobb videre med 1T

Vil du forstå mer av faget?

Bruk 1T-kurset til å repetere metoden før du prøver en ny oppgave.

Prøv 1T-kurset Flere eksamensoppgaver i 1T