Løsningsforslag · LK20 · MAT1021

Matematikk 1T vår 2024

Prøv selv, eller få et hint.

Prøv 1T-kurset for å forstå konseptene bedre.

2024-05-23 12 oppgaver 22 svar med forklaring

Originaleksamen (PDF)

Del 1

Uten hjelpemidler · eksamensordningen i 2024

Oppgave 1

Del 1, oppgave 1 (2 poeng).

I den rettvinklede trekanten er katetene 6 og 8 og hypotenusen 10. De spisse vinklene er $u$ og $v$ . Tom påstår at $\tan u\cdot\tan v=1$ .

Original rettvinklet trekant med kateter 6 og 8, hypotenus 10, vinkel u mot kateten 6 og vinkel v mot kateten 8.

a)

Vis at Tom har rett.

b)

Avgjør om påstanden gjelder for alle rettvinklede trekanter med spisse vinkler $u$ og $v$ .

Løsning a)

Få et hint

Tangens er motstående katet delt på hosliggende katet. Hvilke to brøker får du for

u

v

Se løsning Oppgave 1 a

For $u$ er $\tan u=6/8=3/4$ . For $v$ er $\tan v=8/6=4/3$ . Produktet blir $\tan u\cdot\tan v=(3/4)(4/3)=1$ .

Løsning b)

Få et hint

Skriv uttrykkene for tangens med katetene

a

b

. Hva skjer når du ganger dem?

Se løsning Oppgave 1 b

La katetene være $a$ og $b$ . Da er $\tan u=a/b$ og $\tan v=b/a$ . Derfor er produktet alltid $1$ for alle rettvinklede trekanter.

Oppgave 2

Del 1, oppgave 2 (3 poeng).

Guri har utført to ulike polynomdivisjoner og mener begge viser at $2x^3+3x^2-11x-6=(2x^2+7x+3)(x-2)$ er riktig. Hvilke to polynomdivisjoner kan hun ha utført? Utfør dem, og forklar hvordan de viser faktoriseringen.

Vis begge divisjonene og forklar hvorfor faktoriseringen stemmer.

Få et hint

Første ledd i kvotienten finnes ved å dele førsteleddene. Hva får du når divisoren er

x-2

Se løsning Oppgave 2

Vi kan dele polynomet på hver av de to foreslåtte faktorene. Først deler vi på $x-2$ . Første ledd blir $2x^3/x=2x^2$ . Vi trekker fra $2x^2(x-2)$ og fortsetter med resten: $\begin{aligned}(2x^3+3x^2-11x-6)-2x^2(x-2)&=7x^2-11x-6,\\(7x^2-11x-6)-7x(x-2)&=3x-6,\\(3x-6)-3(x-2)&=0.\end{aligned}$ Kvotienten er $2x^2+7x+3$ , og resten er $0$ .

Deretter deler vi på $2x^2+7x+3$ . Første ledd i kvotienten er $2x^3/(2x^2)=x$ . Neste ledd er $-4x^2/(2x^2)=-2$ : $\begin{aligned}(2x^3+3x^2-11x-6)-x(2x^2+7x+3)&=-4x^2-14x-6,\\(-4x^2-14x-6)-(-2)(2x^2+7x+3)&=0.\end{aligned}$ Her er kvotienten $x-2$ og resten $0$ . Regelen dividend = divisor · kvotient + rest viser i begge tilfeller at faktoriseringen stemmer.

Oppgave 3

Del 1, oppgave 3 (2 poeng).

Den grønne figuren er satt sammen av to rektangler i et kvadrat. Sett opp en matematisk identitet ved å uttrykke arealet av det grønne området på to måter.

Originalt kvadrat med side a, et hvitt kvadrat med side b nederst til høyre og to grønne rektangler. Sidene er merket a, b og a−b.

Utled identiteten fra figurens areal.

Få et hint

Det grønne arealet kan finnes ved å trekke det hvite kvadratet fra det store. Hvordan kan du uttrykke det samme arealet som summen av de to rektanglene?

Se løsning Oppgave 3

Kvadratet har side $a$ , og det hvite kvadratet har side $b$ . Dermed er grønt areal $a^2-b^2$ . Rektanglene har samlet areal $a(a-b)+b(a-b)=(a-b)(a+b)$ . Derfor er $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$ .

Oppgave 4

Del 1, oppgave 4 (2 poeng).

Ada har laget programmet nedenfor.

def f(x):
    return x ** 2 - 3 * x + 7

a = 0
b = 5

v = (f(b) - f(a))/ (b - a)

print(v)

Finn utskriften og tolk den.

Få et hint

Programmet deler endringen i funksjonsverdi på endringen i

x

. Hvilke verdier må du sette inn i telleren?

Se løsning Oppgave 4

Vi har $f(0)=7$ og $f(5)=25-15+7=17$ . Programmet regner $(17-7)/(5-0)=2$ , så det skriver ut $2.0$ . Dette er gjennomsnittlig vekstfart for $f$ fra $x=0$ til $x=5$ .

Oppgave 5

Del 1, oppgave 5 (4 poeng).

Figuren viser en nedovervendt parabel med nullpunktene $(-3,0)$ og $(4,0)$ og punktet $(0,24)$ .

Original nedovervendt parabel gjennom nullpunktene (−3,0) og (4,0) og punktet (0,24).

a)

Bestem $f(x)$ .

b)

Løs ulikheten $f(x)>12$ .

Løsning a)

Få et hint

Nullpunktene bestemmer faktorene i

f(x)=a(x-r_1)(x-r_2)

. Hvordan kan punktet på

y

-aksen brukes til å bestemme

a

Se løsning Oppgave 5 a

Siden nullpunktene er $-3$ og $4$ , kan vi skrive $f(x)=a(x+3)(x-4)$ . Punktet $(0,24)$ gir $-12a=24$ , altså $a=-2$ . Dermed er $f(x)=-2(x+3)(x-4)=-2x^2+2x+24$ .

Løsning b)

Få et hint

Du skal finne hvor grafen ligger over linjen

y=12

. Hvor skjærer grafen denne linjen?

Se løsning Oppgave 5 b

$-2x^2+2x+24>12$ gir $-2x^2+2x+12>0$ , eller $x^2-x-6<0$ . Faktorisering gir $(x-3)(x+2)<0$ . Produktet er negativt mellom røttene, så løsningen er $-2<x<3$ .

Del 2

Med hjelpemidler · eksamensordningen i 2024

Oppgave 1

Del 2, oppgave 1 (8 poeng).

Tabellen viser antall bagetter solgt og ukentlig overskudd. Salgstallene er $100,130,160,175,190,220,235$ , og overskuddene i kroner er $1450,2300,3050,3365,3720,4140,4175$ . Modellen er $O(x)=-0{,}09x^2+51{,}04x-2776{,}98$ .

Opprinnelige målinger fra sju uker
Solgte bagetter	Overskudd (kroner)
100	1450
130	2300
160	3050
175	3365
190	3720
220	4140
235	4175

a)

Vis at modellen passer opplysningene i tabellen.

b)

Hvor mange bagetter bør kantinen produsere for at overskuddet ifølge modellen skal bli størst, og hvor stort blir overskuddet?

c)

Bestem stigningstallet til linjen gjennom $(100,O(100))$ og $(200,O(200))$ , og tolk svaret.

d)

Bestem den momentane vekstfarten når $x=235$ , og gi en praktisk tolkning.

Løsning a)

Få et hint

Hvilken regresjonstype gir en modell av formen

ax^2+bx+c

Se løsning Oppgave 1 a

Vi legger salgstallene i kolonne A og overskuddene i kolonne B i GeoGebras regneark, markerer de sju radene og velger regresjonsanalyse med polynom av grad 2. Vi får $O(x)\approx-0{,}0903x^2+51{,}037x-2776{,}98,$ som avrundet er den oppgitte modellen $O(x)=-0{,}09x^2+51{,}04x-2776{,}98$ . Grafen går tett ved alle sju målepunktene, så $O$ er en god modell for overskuddet når $100\le x\le235$ . Som kontroll gir modellen henholdsvis 1427,02; 2337,22; 3085,42; 3398,77; 3671,62; 4095,82 og 4247,17 kroner, mens de målte overskuddene er 1450; 2300; 3050; 3365; 3720; 4140 og 4175 kroner.

Løsning b)

Få et hint

Overskuddsmodellen er en nedovervendt parabel. Hvordan kan du finne toppunktet og deretter sammenligne de nærmeste hele salgstallene?

Se løsning Oppgave 1 b

Toppunktets $x$ -koordinat er $x=-\frac{51{,}04}{2(-0{,}09)}=\frac{2552}{9}\approx283{,}56.$ Den kontinuerlige modellen gir da omtrent $4459{,}36$ kroner. Antall bagetter må være et heltall, så vi sammenligner de to nærmeste: $O(283)=4459{,}33,\qquad O(284)=4459{,}34.$ Kantinen bør dermed produsere og selge $284$ bagetter ifølge modellen, med omtrent $4459{,}34$ kroner i overskudd. Parabelen stiger før toppunktet og synker etterpå, så ingen andre heltall gir større overskudd. Dette er ekstrapolasjon utover de målte salgstallene $100$ – $235$ .

I GeoGebra legger vi inn den oppgitte modellen og finner toppunktet. De røde punktene er de sju målingene fra tabellen.

O(x)=If(x>=0,-0.09*x^2+51.04*x-2776.98)
M=Extremum(O,0,600)

Åpne bildet i full størrelse ↗

Løsning c)

Få et hint

En sekant har stigningstall

\Delta y/\Delta x

. Hvilke endringer får du mellom de to oppgitte punktene?

Se løsning Oppgave 1 c

Modellen gir $O(100)=1427{,}02$ og $O(200)=3831{,}02$ . Stigningstallet er $(3831{,}02-1427{,}02)/100=24{,}04$ . I dette intervallet øker modellert overskudd i gjennomsnitt med 24,04 kroner per ekstra bagett.

Løsning d)

Få et hint

Momentan vekstfart er verdien av den deriverte. Hva blir

O'(x)

Se løsning Oppgave 1 d

$O'(x)=-0{,}18x+51{,}04$ . Dermed er $O'(235)=8{,}74$ . Rundt et salg på 235 bagetter øker modellert overskudd med omtrent 8,74 kroner per ekstra bagett.

CAS-kontrollen bruker nøyaktig den oppgitte, avrundede modellen. Radene kontrollerer toppunktet, de to heltallsverdiene, sekantstigningen og den momentane vekstfarten.

O(x):=-0.09*x^2+51.04*x-2776.98
Solve(O'(x)=0,x)
Numeric({O(283),O(284)},12)
(O(200)-O(100))/(200-100)
O'(235)

Åpne bildet i full størrelse ↗

Oppgave 2

Del 2, oppgave 2 (3 poeng).

Når lys går fra luft til vann, gjelder $\sin u=1{,}33\sin v$ . Linjen $m$ står vinkelrett på vannflaten, og vinklene $u$ og $v$ måles fra normalen. Begrunn svarene.

Original lysstråle fra luft til vann. Normalen m står vinkelrett på vannflaten; u og v måles mellom strålen og normalen på hver side.

a)

Hvor stor må $u$ være når $v=39^\circ$ ?

b)

Hva skjer med $v$ dersom $u$ nærmer seg $90^\circ$ ?

c)

Kan $u$ og $v$ bli like store?

Løsning a)

Få et hint

Brytningsloven gir

\sin u

når

v

er kjent. Hvilken operasjon kan du bruke for å finne selve vinkelen

u

Se løsning Oppgave 2 a

Vi bruker gradmodus og beholder alle sifrene i mellomregningen: $\sin u=1{,}33\sin39^\circ\approx0{,}836996.$ Dermed er $u=\arcsin(1{,}33\sin39^\circ)\approx56{,}8243^\circ\approx56{,}8^\circ.$ Vi velger vinkelen mellom $0^\circ$ og $90^\circ$ , slik vinkelen mot normalen er definert i figuren.

Løsning b)

Få et hint

u

gå mot 90° i formelen. Hva blir grenseverdien for

\sin v

Se løsning Oppgave 2 b

Når $u\to90^\circ$ , går $\sin u\to1$ . Da går $\sin v\to1/1{,}33$ , slik at $v\to\arcsin(1/1{,}33)\approx48{,}8^\circ$ .

Løsning c)

Få et hint

Sett

u=v

i brytningsloven og samle sinusleddene på én side. Når kan produktet bli null?

Se løsning Oppgave 2 c

Ja, ved normalt innfall er begge vinklene $0^\circ$ . Setter vi $u=v$ , får vi $\sin u=1{,}33\sin u\quad\Longrightarrow\quad0{,}33\sin u=0.$ I det fysiske intervallet $0^\circ\le u<90^\circ$ gir dette bare $u=0^\circ$ . Ved en positiv innfallsvinkel kan de derfor ikke være like.

Oppgave 3

Del 2, oppgave 3 (4 poeng).

I trekant $ABC$ er $AB=8$ , $\angle A=120^\circ$ og arealet $4\sqrt3$ . Bestem sidelengdene $AC$ og $BC$ eksakt.

Finn $AC$ og $BC$ .

Få et hint

Arealsetningen er

A=\frac12ab\sin C

. Hvilken likning får du når du bruker den oppgitte vinkelen og arealet?

Se løsning Oppgave 3

$4\sqrt3=\frac12\cdot8\cdot AC\sin120^\circ=2AC\sqrt3$ , så $AC=2$ . Cosinussetningen gir $BC^2=8^2+2^2-2\cdot8\cdot2\cos120^\circ=84$ . Dermed er $BC=2\sqrt{21}$ .

Oppgave 4

Del 2, oppgave 4 (4 poeng).

Vi summerer oddetall: $S_1=1$ , $S_2=1+3$ , $S_3=1+3+5$ , $S_4=1+3+5+7$ , $S_5=1+3+5+7+9$ og $S_6=1+3+5+7+9+11$ . Vi vil undersøke summene videre til $S_{20}$ .

Originalt prikkemønster med L-formede lag rundt stadig større kvadrater. Lagene inneholder 1, 3, 5, 7 og 9 prikker.

a)

Lag et program som summerer og skriver ut $S_1,S_2,\ldots,S_{20}$ .

b)

Beskriv sammenhengen mellom summene, og bruk figuren til å begrunne den.

Løsning a)

Få et hint

Det

n

-te oddetallet er

2n-1

. Hvordan kan en løkke legge dette til den forrige summen?

Se løsning Oppgave 4 a

Et program som gjør dette er:

s = 0
for n in range(1, 21):
    s += 2 * n - 1
    print(s)

Programmet skriver ut summene 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361 og 400, én sum per linje.

Løsning b)

Få et hint

Et nytt L-formet lag gjør kvadratet én prikk bredere og høyere. Hvor mange prikker har hele kvadratet etter

n

lag?

Se løsning Oppgave 4 b

Summen av de første $n$ oddetallene er $n^2$ . Når et kvadrat med side $n-1$ utvides til side $n$ , legges det til én L-formet rand med $(n-1)+n=2n-1$ prikker. Derfor er $S_n=(n-1)^2+(2n-1)=n^2$ .

Oppgave 5

Del 2, oppgave 5 (8 poeng).

Lufttrykket ved havoverflaten er omtrent $1000$ hPa. Tabellen viser lufttrykk $x$ i hPa og kokepunkt $K(x)$ i grader celsius. Lufttrykket og kokepunktet avtar når høyden over havet øker. Ari sier at et egg ikke blir hardkokt dersom temperaturen i vannet er lavere enn $85^\circ\text{C}$ . Han vil modellere trykket med en nedgang på omtrent $12\,\%$ per kilometer. Lisa vil lage en modell på samme form, men antar at trykket halveres for hver $5{,}5$ km. Vi lar $h$ betegne høyden i kilometer, slik at trykkvariabelen $x$ holdes atskilt fra høyden.

Original tabell over lufttrykk og kokepunkt
Lufttrykk (hPa)	Kokepunkt for vann (°C)
1000	100
500	81,4
200	60,1
80	41,5
40	29

Original fjellfigur: lufttrykket ved havoverflaten er omtrent 1000 hPa og avtar med høyden.

a)

Bestem en potensmodell som tilnærmer tabellen.

b)

Lag modellene for Ari og Lisa.

c)

Omtrent hvor høyt over havet er det mulig å koke egg hardkokte?

Løsning a)

Få et hint

Legg trykk og kokepunkt i hver sin kolonne. Hvilken regresjonstype passer til formen a·xᵇ?

Se løsning Oppgave 5 a

Vi legger lufttrykk i kolonne A og kokepunkt i kolonne B, markerer de fem radene og velger potensregresjon i GeoGebras regresjonsanalyse. Vi får omtrent $K(x)=7{,}56201423818x^{0{,}380417250192},\qquad x>0.$ Regresjonsvinduet viser færre sifre. Vi beholder den lagrede modellen i videre regning. Modellen tilnærmer de fem målingene; den går ikke nøyaktig gjennom alle punktene.

Åpne bildet i full størrelse ↗

De samme punktene lagres i CAS som listen L. Funksjonen K beholder alle beregnede sifre; Numeric viser flere sifre uten å erstatte modellen.

L:={(1000,100),(500,81.4),(200,60.1),(80,41.5),(40,29)}
K(x):=FitPow(L)
Numeric(K(x),12)

Løsning b)

Få et hint

En eksponentialmodell trenger en startverdi og en vekstfaktor. Hvilken vekstfaktor gir et trykkfall på

12\,\%

per kilometer?

Se løsning Oppgave 5 b

Ari bruker vekstfaktoren $1-0{,}12=0{,}88$ per kilometer: $P_A(h)=1000\cdot0{,}88^h.$ For Lisa skal vekstfaktoren over $5{,}5$ km være $1/2$ . Modellen blir $P_L(h)=1000\left(\frac12\right)^{h/5{,}5}=1000\left(\left(\frac12\right)^{1/5{,}5}\right)^h.$ Begge er eksponentialmodeller med $P(0)=1000$ hPa. Praktisk bruker vi dem for $h\ge0$ .

Løsning c)

Få et hint

Et hardkokt egg krever minst

85^\circ\text{C}

ifølge oppgaven. Hvordan kan du kombinere kokepunktmodellen med en av trykkmodellene?

Se løsning Oppgave 5 c

Grensen finnes der kokepunktet er $85^\circ\text{C}$ . Vi bruker den lagrede potensmodellen, ikke de kort avrundede koeffisientene i grafvinduet. I CAS setter vi $A(h)=P_A(h)$ og $B(h)=P_L(h)$ og løser numerisk med en startverdi nær $h=4$ .

A(h):=1000*(22/25)^h
B(h):=1000*(1/2)^(h/(11/2))
NSolve(K(A(h))=85,h=4)
NSolve(K(B(h))=85,h=4)

Åpne bildet i full størrelse ↗

Med alle sifrene i modellen får vi grensehøydene omtrent $4{,}28368$ km og $4{,}34509$ km. Potensmodellens koeffisient og eksponent er positive, så kokepunktet øker med trykket. Begge trykkmodellene avtar med høyden. Dermed avtar kokepunktet med høyden, og egg kan etter modellene hardkokes opp til disse grensehøydene, men ikke høyere. Et avrundet svar er omtrent $4{,}3$ km over havet; forskjellen skyldes de to antakelsene om trykkfall. I begge tilfeller er $h=0$ nedre grense, og grensehøyden er med fordi kokepunktet der er nøyaktig $85^\circ\text{C}$ ifølge modellen.

Oppgave 6

Del 2, oppgave 6 (2 poeng).

Den rette linjen i koordinatsystemet er den deriverte $f'$ av en funksjon $f$ . Punktet $P(1,2)$ ligger på grafen til $f$ . Bestem tangenten til grafen i $P$ , og begrunn.

Original graf til den deriverte er en stigende rett linje gjennom (1,−2), (2,0) og (3,2).

Finn tangentens likning i $P$ .

Få et hint

Verdien

f'(1)

er tangentens stigningstall i

P

. Hvordan kan du lese den av i figuren?

Se løsning Oppgave 6

Grafen til $f'$ går gjennom $(1,-2)$ , så tangentens stigningstall er $-2$ . Gjennom $P(1,2)$ får vi $y-2=-2(x-1)$ , altså $y=-2x+4$ .

Oppgave 7

Del 2, oppgave 7 (6 poeng).

Figuren viser tre grafer som danner en lukket kurve. To grafer har bunnpunkt på $y$ -aksen, og punktene $A$ og $B$ har samme $y$ -koordinat. Bruk tre ulike funksjoner. Vis uttrykkene og begrunn at kravene er oppfylt.

Original lukket kurve av tre grafer. To har bunnpunkt på y-aksen, og A og B ligger på samme horisontale linje. Den tredje grafen forbinder to høyre endepunkter.

Bruk tre ulike funksjoner og tegn en tilsvarende lukket kurve. Oppgi funksjonsuttrykk og intervaller, forklar valgene og begrunn at begge kravene er oppfylt.

Få et hint

Begynn med to grafer som har bunnpunkt på y-aksen. Hvordan kan du velge intervaller og en tredje graf slik at endepunktene møtes?

Se løsning Oppgave 7

Vi velger ett mulig eksempel: $\begin{aligned}f_1(x)&=x^2(x+2),&-2\le x\le1,\\f_2(x)&=x^2-4,&-2\le x\le3,\\f_3(x)&=x+2,&1\le x\le3.\end{aligned}$ Første graf går fra $A=(-2,0)$ via bunnpunktet $B=(0,0)$ til $D=(1,3)$ . Den andre går fra samme $A$ , via bunnpunktet $C=(0,-4)$ , til $E=(3,5)$ . Den tredje forbinder $D$ og $E$ .

Vi kontrollerer bunnpunktene: $f_1'(x)=3x^2+4x=x(3x+4)$ skifter fra negativt til positivt ved $x=0$ , og $f_2'(x)=2x$ gjør det samme. Begge bunnpunktene ligger dermed på $y$ -aksen. Vi har også $y_A=y_B=0$ . Endepunktene møtes, og grafene krysser ikke ellers: $f_1-f_2=(x+2)(x^2-x+2)>0$ for $-2<x\le1$ , mens $f_3-f_2=(3-x)(x+2)>0$ for $1\le x<3$ . Dette gir en lukket kurve. Dessuten er $f_1(x)=x^2(x+2)\ge0$ på hele intervallet og $f_2(x)=x^2-4\ge-4$ . B og C har dermed også de minste funksjonsverdiene på sine respektive intervaller.

I GeoGebra heter de tre funksjonene f, g og h. Intervallene legges inn sammen med uttrykkene:

f(x)=Function(x^2*(x+2),-2,1)
g(x)=Function(x^2-4,-2,3)
h(x)=Function(x+2,1,3)

Åpne bildet i full størrelse ↗

Dette er ett mulig svar på de oppgitte kravene. Den rette forbindelsen stiger mot høyre i vårt eksempel; den er ikke en kopi av oppgavens skisse.

Jobb videre med 1T

Vil du forstå mer av faget?

Bruk 1T-kurset til å repetere metoden før du prøver en ny oppgave.

Prøv 1T-kurset Flere eksamensoppgaver i 1T