Matematikk 1T høst 2025

Faktorisering gir $(x+5)(x-1)<0$. Parabelen vender oppover, så uttrykket er negativt mellom nullpunktene. Løsningen er $-5<x<1$.

Vi prøver divisorer i 12: $f(1)=1-5-8+12=0$, så $x-1$ er en faktor. Polynomdivisjon gir $(x^3-5x^2-8x+12):(x-1)=x^2-4x-12=(x-6)(x+2)$. Dermed er $f(x)=(x-1)(x+2)(x-6)$, og nullpunktene er $x=-2$, $x=1$ og $x=6$.

Telleren er null ved $x=-3$, og nevneren $x^2+4$ er alltid positiv. Dermed har grafen nøyaktig ett nullpunkt og ingen vertikal asymptote: påstand 1 og 2 er riktige. Videre er $f(0)=6/4=3/2$, så den krysser $y$-aksen. Nevneren har høyere grad enn telleren, så den horisontale asymptoten er $y=0$. Påstand 3 og 4 er gale.

Den opprinnelige summen er $250000/(1{,}045)^5$. Dette er også lik $250000\cdot1{,}045^{-5}$. Derfor er alternativ 2 og 6 likeverdige.

Hypotenusen er $\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt2$. Sinus til en av de spisse vinklene blir motstående katet delt på hypotenusen: $1/\sqrt2$.

Arealet er $\frac12\cdot3\sqrt2\cdot8\sin45^\circ=12$.

De to trekantene har de samme to sidelengdene, så forskjellen i areal bestemmes av sinus til vinkelen mellom sidene. Vi har $\sin140^\circ=\sin40^\circ$. Sinus vokser fra $0^\circ$ til $90^\circ$, og derfor er $\sin40^\circ<\sin45^\circ$. Dermed får vi $$A_{PQR}=\frac12\cdot3\sqrt2\cdot8\sin40^\circ<\frac12\cdot3\sqrt2\cdot8\sin45^\circ=12.$$ Trekant $ABC$ har størst areal.

Programmet skriver ut $1,5,12,22,35,51$. Differansene er $4,7,10,13,16$, altså øker differansen med 3 hver gang. Neste tall er 70=51+19. Da er vilkåret tall ≤ 60 usant, så løkka stopper før 70 skrives ut.

Vi skriver lengdene i kolonne A og vektene i kolonne B i GeoGebras regneark, markerer alle seks radene og velger regresjonsanalyse med potensmodell. I regresjonsvinduet er X lengde i cm og Y vekt i gram. Vi får omtrent $$F(x)=0{,}009656650328x^{2{,}99958318501},\qquad x>0.$$ Den viste avrundingen i grafvinduet er kortere; vi bruker den lagrede modellen i videre beregninger.

I CAS legger vi de samme måleparene i listen L og lagrer potensmodellen som F. Numeric viser flere sifre uten å erstatte den lagrede modellen:

Sekantstigningstallet er $\frac{F(95)-F(75)}{95-75}\approx209{,}85$ g/cm. Modellen sier at vekten i gjennomsnitt øker omtrent 210 gram for hver ekstra centimeter når lengden går fra 75 til 95 cm.

Derivert er $F' (x)=abx^{b-1}$. Ved $x=100$ blir dette omtrent $289{,}10$ g/cm. Rundt en fiskelengde på 100 cm øker modellert vekt med omtrent 289 gram per ekstra centimeter.

For enhver positiv startlengde $x$ er vektforholdet $$\frac{F(1{,}2x)}{F(x)}=\frac{a(1{,}2x)^b}{ax^b}=1{,}2^b.$$ Prosentøkningen er derfor $$(1{,}2^b-1)\cdot100\,\%\approx72{,}79\,\%.$$ CAS bruker den lagrede modellen og kontrollerer for eksempel lengdene $100$ og $120$ cm. Forkortingen ovenfor viser hvorfor den samme prosentøkningen gjelder for alle positive startlengder innenfor modellen.

La alderen nå være $A,T,H$. Da er $A+T+H=68$, $T=A+17$ og $A+3=2(H+3)$. Den siste gir $A=2H+3$. Innsetting i summen gir $5H+23=68$, altså $H=9$, $A=21$ og $T=38$.

$\angle DAC=180^\circ-120^\circ-30^\circ=30^\circ$. Sinussetningen gir $AC/\sin120^\circ=DC/\sin30^\circ=\sqrt3/(1/2)$. Dermed er $AC=2\sqrt3\cdot\sin120^\circ=3$.

Arealet av $ADC$ er $$\frac12\cdot3\cdot\sqrt3\sin30^\circ=\frac{3\sqrt3}{4}.$$ For $ABC$ gir sinussetningen $$\sin B=\frac{AC\sin45^\circ}{BC}=\frac{\sqrt3}{2}.$$ Dette gir mulighetene $B=60^\circ$ og $B=120^\circ$. Figuren viser den spisse vinkelen, så vi bruker $B=60^\circ$ og får $C=75^\circ$. Da er $$AB=\frac{\sqrt6\sin75^\circ}{\sin45^\circ}=\frac{3\sqrt2+\sqrt6}{2}.$$ Arealet av $ABC$ blir $$\frac12\cdot AB\cdot AC\sin45^\circ=\frac{3(3+\sqrt3)}{4}.$$ Firkantens areal er derfor $$\frac{3\sqrt3}{4}+\frac{3(3+\sqrt3)}{4}=\frac{9+6\sqrt3}{4}.$$ Tallopplysningene alene ville også tillatt den andre grenen, $B=120^\circ$, med totalareal $9/4$. Det er den tegnede spisse vinkelen som avgjør hvilken firkant vi bruker.

Den første grå trekanten har areal $A/4$. Hver neste har halv sidelengde av den forrige, og derfor en firedel av arealet. Sett summen til $0$ og det første arealet til $A/4$. Gjenta $100$ ganger: Legg det gjeldende arealet til summen, og del deretter arealet på $4$ for å gjøre klart neste trinn. Skriv til slutt ut summen.

Med startareal $36$ blir arealene $9,9/4,9/4^2,\ldots$. Programmet summerer nøyaktig $100$ ledd fra denne kjeden:

Python skriver ut 11.999999999999998, som skyldes avrunding i flyttallsregningen. Den eksakte endelige summen er $$\frac{9(1-(1/4)^{100})}{1-1/4}=12(1-4^{-100})<12.$$ Summen er altså svært nær $12$ arealenheter, men ikke nøyaktig $12$.

$f(3)=10/(9+3)=5/6$. Arealet er $3\cdot5/6=5/2$.

Arealet er $A(x)=10x/(x^2+3)$. Derivasjon gir $A' (x)=10(3-x^2)/(x^2+3)^2$. Den deriverte er positiv for $0<x<\sqrt3$ og negativ for $x>\sqrt3$, så arealet er størst når $x=\sqrt3$.

Deriverten er $p' (x)=-x/6$. Tangent i $x=a$ har skjæring med $y$-aksen $p(a)-a p' (a)=20+a^2/12$. Dette skal være 23, så $a^2=36$. Den relevante berøringen på høyre side er $a=6$, med stigningstall $-1$. Tangenten er $y=23-x$.

Høyre takkant finnes fra $p(x)=0$: $x^2=240$, altså $x=4\sqrt{15}$ på høyre side. Tangenten $y=23-x$ treffer bakken ved $x=23$. Den blinde strekningen er derfor $23-4\sqrt{15}\approx7{,}51$ m.

Dette er den blinde avstanden for et punkt på bakken. Høyden til en person er ikke oppgitt; en beregning for toppen av en person ville kreve den høyden.