Løsningsforslag · LK20 · MAT1021

Matematikk 1T vår 2025

Prøv selv, eller få et hint.

Prøv 1T-kurset for å forstå konseptene bedre.

2025-05-21 13 oppgaver 23 svar med forklaring

Originaleksamen (PDF)

Del 1

Uten hjelpemidler · eksamensordningen i 2025

Oppgave 1

Del 1, oppgave 1 (2 poeng).

Funksjonen $f(x)=\frac{12x-3}{2x+1}$ .

Bestem likningene for eventuelle asymptoter.

Få et hint

Når blir nevneren null, og hva blir forholdet mellom de ledende leddene?

Se løsning Oppgave 1

Nevneren er null ved $2x+1=0$ , altså $x=-\frac12$ . Telleren er da $-9$ , så dette gir en vertikal asymptote. For store $|x|$ går brøken mot forholdet $12/2=6$ . Asymptotene er $x=-\frac12$ og $y=6$ .

Oppgave 2

Del 1, oppgave 2 (2 poeng).

Løs ulikheten $x^2-4x-12<0$ .

Få et hint

Finn nullpunktene og undersøk fortegnet mellom dem.

Se løsning Oppgave 2

Faktorisering gir $(x-6)(x+2)<0$ . Produktet er negativt mellom nullpunktene, derfor er løsningen $-2<x<6$ .

Oppgave 3

Del 1, oppgave 3 (1 poeng).

En andregradsfunksjon har ett nullpunkt og grafen skjærer $y$ -aksen i $(0,9)$ .

Gi et mulig funksjonsuttrykk.

Få et hint

Et dobbelt nullpunkt kan lages ved å kvadrere et lineært uttrykk.

Se løsning Oppgave 3

Velg $f(x)=(x-3)^2$ . Da er nullpunktet $x=3$ (dobbelt), og $f(0)=9$ .

Oppgave 4

Del 1, oppgave 4 (4 poeng).

La $f(x)=x^3-7x^2-10x+16$ .

Originale kubikkskisser A–D uten tall på aksene. A og C går ned mot venstre og opp mot høyre; A skjærer y-aksen under x-aksen, C over. B og D går opp mot venstre og ned mot høyre; B skjærer y-aksen under x-aksen, D over. Alle har tre skjæringer med x-aksen.

a)

Løs likningen $x^3-7x^2-10x+16=0$ .

b)

Hvilken av grafene A–D kan være grafen til $f$ ? Begrunn svaret.

Løsning a)

Få et hint

Prøv heltall som deler konstantleddet 16, og faktoriser videre.

Se løsning Oppgave 4 a

Vi prøver divisorer i 16: $1-7-10+16=0$ , så $x=1$ er en løsning og $x-1$ er en faktor. Polynomdivisjon gir $(x^3-7x^2-10x+16):(x-1)=x^2-6x-16=(x-8)(x+2)$ . Løsningene er $x=-2$ , $x=1$ og $x=8$ .

Løsning b)

Få et hint

Bruk nullpunktene, fortegnet til leddet av høyest grad og

f(0)

Se løsning Oppgave 4 b

Grafen må krysse $x$ -aksen ved $-2$ , $1$ og $8$ , gå ned til venstre og opp til høyre fordi koeffisienten foran $x^3$ er positiv, og ha positivt skjæringspunkt med $y$ -aksen siden $f(0)=16$ . Graf C passer disse kjennetegnene.

Oppgave 5

Del 1, oppgave 5 (6 poeng).

Den likesidede trekanten i figuren har sider med lengde 2.

Original likesidet trekant med alle tre sider merket 2.

a)

Bruk den likesidede trekanten til å vise at $\sin 30^\circ=\cos 60^\circ=\frac12$ .

b)

I trekant $ABC$ er $AB=10$ , $AC=6$ og $\angle A=30^\circ$ . Finn arealet.

c)

I trekant $PQR$ er $PQ=8$ , $PR=3$ og $\angle P=60^\circ$ . Finn $QR$ .

Løsning a)

Få et hint

Tegn høyden; den deler grunnlinjen i to like deler.

Se løsning Oppgave 5 a

Høyden deler trekanten med side 2 i to rettvinklede trekanter med hypotenus 2 og kort katet 1. Dermed er $\sin30^\circ=1/2$ . I den samme trekanten er kateten ved $60^\circ$ lik 1, så $\cos60^\circ=1/2$ .

Løsning b)

Få et hint

Bruk arealformelen med to sider og inkludert vinkel.

Se løsning Oppgave 5 b

Arealet er $\frac12\cdot10\cdot6\sin30^\circ=15$ .

Løsning c)

Få et hint

Bruk cosinussetningen på siden mot den kjente vinkelen.

Se løsning Oppgave 5 c

Cosinussetningen gir $QR^2=8^2+3^2-2\cdot8\cdot3\cos60^\circ=49$ . Sidelengden er positiv, derfor $QR=7$ .

Oppgave 6

Del 1, oppgave 6 (1 poeng).

CAS-verktøyet løser likningen $x^2-4=(x+2)(x-2)$ og viser resultatet $\{x=x\}$ .

Original CAS-rad: x²−4=(x+2)(x−2), med resultatet {x=x}.

Forklar hva en identitet er ved å bruke resultatet.

Få et hint

Se om likheten gjelder bare for noen

x

-verdier eller for alle.

Se løsning Oppgave 6

Utvid høyresiden: $(x+2)(x-2)=x^2-4$ . Resultatet $x=x$ er sant for alle reelle $x$ . En identitet er en likhet som er sann for alle verdier i definisjonsmengden.

Oppgave 7

Del 1, oppgave 7 (2 poeng).

Siri bruker programmet nedenfor.

def f(x):
    return x ** 2 + 2 * x - 15

x = - 5
verdi = f(x)

while x <= 5:

    if f(x) < verdi:
        verdi = f(x)

    x = x + 1

print(verdi)

Forklar hva Siri finner, og oppgi hva programmet skriver ut.

Få et hint

Følg verdiene til

x

verdi

gjennom løkka. Hva slags

x

-verdier besøkes?

Se løsning Oppgave 7

Programmet undersøker heltallene fra $-5$ til og med $5$ . Variabelen verdi beholder den minste funksjonsverdien som er funnet. Bunnpunktet ligger ved $x=-1$ , som er med i løkka, og $f(-1)=-16$ . Programmet skriver ut $-16$ .

Del 2

Med hjelpemidler · eksamensordningen i 2025

Oppgave 1

Del 2, oppgave 1 (5 poeng).

Tabellen viser registrerte kikhostetilfeller. La $x$ være antall måneder etter desember 2022, slik at januar 2023 svarer til $x=1$ . Modellen er $K(x)=27{,}8\cdot1{,}2^x$ .

Registrerte kikhostetilfeller
Måned	Antall
Januar 2023	29
Mai 2023	93
Oktober 2023	164
Februar 2024	284
August 2024	1035
Oktober 2024	1657

a)

Bruk opplysningene til å vise at $K$ er en god modell fra januar 2023 til oktober 2024.

b)

Finn stigningstallet til linja gjennom $(4,K(4))$ og $(21,K(21))$ . Tolk svaret praktisk.

c)

Bruk modellen til å anslå antall tilfeller i mai 2025.

Løsning a)

Få et hint

Hvilken regresjonstype gir en modell av formen

a\cdot b^x

Se løsning Oppgave 1 a

Vi legger $x$ -verdiene $1,5,10,14,20,22$ i kolonne A og antallene $29,93,164,284,1035,1657$ i kolonne B i GeoGebras regneark og velger eksponentiell regresjon. Vi får $K(x)\approx27{,}81\cdot1{,}199^x,$ som avrundet er den oppgitte modellen $K(x)=27{,}8\cdot1{,}2^x$ . Grafen følger den raske veksten i målepunktene, så $K$ er en god modell for perioden januar 2023–oktober 2024.

Løsning b)

Få et hint

Bruk endring i modellverdi delt på 17 måneder.

Se løsning Oppgave 1 b

$K(4)=57{,}64608$ og $K(21)\approx1278{,}9423$ . Stigningstallet er $\frac{K(21)-K(4)}{21-4}\approx71{,}84$ . I denne perioden øker modellverdien i gjennomsnitt med omtrent 72 tilfeller per måned.

Løsning c)

Få et hint

Finn først hvor mange måneder etter desember 2022 mai 2025 er.

Se løsning Oppgave 1 c

Mai 2025 svarer til $x=29$ . Da er $K(29)=27{,}8\cdot1{,}2^{29}\approx5499{,}22$ . Modellen anslår altså omtrent 5500 tilfeller.

Oppgave 2

Del 2, oppgave 2 (2 poeng).

Små hundematposer veier 4,5 kg og store poser veier 12 kg. Til sammen ble det solgt 80 poser med samlet masse 720 kg.

Finn hvor mange små og store poser som ble solgt.

Få et hint

Sett opp én likning for antall poser og én for samlet masse.

Se løsning Oppgave 2

La $s$ være antall små poser og $l$ antall store. Da er $s+l=80$ og $4{,}5s+12l=720$ . Første likning gir $s=80-l$ . Innsetting gir $360+7{,}5l=720$ , altså $l=48$ og $s=32$ .

Oppgave 3

Del 2, oppgave 3 (4 poeng).

En regulær tolvkant er innskrevet i en sirkel. Den består av 12 likebeinte trekanter med toppvinkel $30^\circ$ . Arealet av tolvkanten er 120.

Original regulær tolvkant innskrevet i en sirkel, med radier til hjørnene og en markert sentralvinkel på 30 grader.

a)

Bestem sirkelens diameter eksakt.

b)

Bestem omkretsen av tolvkanten eksakt.

Løsning a)

Få et hint

Uttrykk arealet som summen av de 12 trekantarealene med radius

R

Se løsning Oppgave 3 a

Hver trekant har areal $\frac12R^2\sin30^\circ=R^2/4$ . Dermed er $120=12R^2/4=3R^2$ , så $R=2\sqrt{10}$ . Diameteren er $4\sqrt{10}$ .

Løsning b)

Få et hint

Hver side i tolvkanten ligger mot toppvinkelen

30^\circ

i en av trekantene. Hvilken setning gir lengden av denne siden?

Se løsning Oppgave 3 b

Cosinussetningen i én av trekantene, med $R=2\sqrt{10}$ , gir sidelengden $s$ : $s^2=R^2+R^2-2R^2\cos30^\circ=40+40-80\cdot\frac{\sqrt3}{2}=80-40\sqrt3.$ Omkretsen blir dermed $12s=12\sqrt{80-40\sqrt3}.$ CAS forenkler dette til $24(\sqrt{15}-\sqrt5)\approx39{,}29$ .

Oppgave 4

Del 2, oppgave 4 (5 poeng).

Figurene består av små grønne kvadrater. Du fortsetter mønsteret og skal lage et program som beregner og skriver ut antallet grønne kvadrater i hver av de 20 første figurene.

Originale figurer 1, 2 og 3 av grønne kvadrater. Øverst vokser et kvadrat fra 1×1 til 2×2 og 3×3. Under dette ligger ett kvadrat til venstre, en høyre kolonne med henholdsvis 1, 2 og 3 kvadrater og en nedadgående diagonal med henholdsvis 1, 2 og 3 kvadrater. De hvite feltene telles ikke.

a)

Sett opp en algoritme du kan bruke for å lage programmet.

b)

Skriv et program som bruker algoritmen fra a.

c)

Du har 1 000 000 små kvadrater. Skriv et program som finner hvor mange hele figurer du kan lage og hvor mange kvadrater du får til overs.

Løsning a)

Få et hint

Tell kvadratene i de første figurene, og se etter en regel for figur nummer

n

Se løsning Oppgave 4 a

I figur $n$ har den øverste kvadratdelen $n^2$ ruter. I tillegg kommer én rute til venstre, $n$ ruter i høyre kolonne og $n$ langs diagonalen. Antallet er derfor $n^2+n+n+1=(n+1)^2.$ Algoritmen går gjennom figurnumrene fra $1$ til og med $20$ , regner ut $(n+1)^2$ for hvert figurnummer og skriver ut dette antallet før den går videre til neste figur.

Løsning b)

Få et hint

La løkka besøke alle figurnumrene fra 1 til og med 20.

Se løsning Oppgave 4 b

Programmet skriver ut antallet for hver figur, ett tall per linje: 4, 9, 16 og videre opp til 441. Det blir 20 utskrifter.

for n in range(1, 21):
    print((n + 1) ** 2)

Løsning c)

Få et hint

Legg til én figur om gangen så lenge den kan bygges av restbeholdningen.

Se løsning Oppgave 4 c

Programmet trekker fra $(n+1)^2$ for hver figur så lenge det er nok kvadrater igjen. Det skriver ut $142$ hele figurer og $15017$ kvadrater til overs. Da er $984983$ kvadrater brukt. Neste figur er nummer $143$ og krever $144^2=20736$ kvadrater, som er mer enn restbeholdningen.

beholdning = 1_000_000
figur = 1
while beholdning >= (figur + 1) ** 2:
    beholdning -= (figur + 1) ** 2
    figur += 1
print(figur - 1, beholdning)

Oppgave 5

Del 2, oppgave 5 (6 poeng).

Isabel lager bokser med form som sylindre. Formlene i oppgaven er $V=\pi r^2h$ og $O=\pi r^2+2\pi rh$ . Volumet skal være $450\ \text{cm}^3$ , og overflaten skal bli minst mulig. Vi bruker oppgavens overflateformel med én sirkelbunn.

Original oppgavetabell. Fyll inn verdiene i de tomme cellene.
r (cm)	h (cm)	O (cm²)	V (cm³)
2	35,8	462,6	450
4			450
6			450
8			450

a)

Fullfør tabellen for de oppgitte radiene.

b)

Sett opp et uttrykk for $O(r)$ og tegn grafen for overflatearealet som funksjon av radius.

c)

Bestem radiusen som gir minst mulig overflateareal, og finn dette arealet.

Løsning a)

Få et hint

Løs volumformelen med hensyn på

h

, og sett høyden inn i formelen for

O

Se løsning Oppgave 5 a

Fra $450=\pi r^2h$ får vi $h=450/(\pi r^2)$ . Dermed $O=\pi r^2+900/r$ . For $r=4$ blir $h\approx8{,}95$ cm og $O\approx275{,}27$ cm²; for $r=6$ : $h\approx3{,}98$ , $O\approx263{,}10$ ; for $r=8$ : $h\approx2{,}24$ , $O\approx313{,}56$ .

Tabellen med de beregnede verdiene
r (cm)	h (cm)	O (cm²)	V (cm³)
2	35,8	462,6	450
4	8,95	275,27	450
6	3,98	263,10	450
8	2,24	313,56	450

Løsning b)

Få et hint

Sett uttrykket for

h

fra volumkravet inn i overflateformelen.

Se løsning Oppgave 5 b

Når $h=450/(\pi r^2)$ settes inn, blir $O(r)=\pi r^2+900/r$ , med definisjonsområde $r>0$ . Grafen faller først og stiger etter et minimum.

I GeoGebra skriver vi inn arealfunksjonen for positive radier. Variabelen x i innskrivingen er radiusen r i centimeter. Vi finner et minimumspunkt i det synlige intervallet; fortegnet til den deriverte i del c begrunner at dette også er det globale minimumet.

O(x)=If(x>0,pi*x^2+900/x)
M=Extremum(O,1,12)

Åpne bildet i full størrelse ↗

Løsning c)

Få et hint

Finn kritiske punkter ved å derivere

O(r)

for

r>0

Se løsning Oppgave 5 c

Vi deriverer: $O'(r)=2\pi r-\frac{900}{r^2}=\frac{2\pi r^3-900}{r^2}.$ For $r>0$ er nevneren positiv. Telleren er negativ før og positiv etter den eneste positive roten, $r=\sqrt[3]{\frac{450}{\pi}}\approx5{,}232\ \text{cm}.$ Derfor er dette det globale minimumet for alle positive radier, slik grafen i del b også viser i det synlige intervallet. Ved denne radiusen er $900/r=2\pi r^2$ , så $O_{\min}=3\pi r^2\approx258{,}02\ \text{cm}^2.$

Oppgave 6

Del 2, oppgave 6 (4 poeng).

Noah og Johanne undersøker mulige uttrykk for de rasjonale funksjonene $f$ og $g$ i skissene. De påpeker at $f$ har to vertikale asymptoter, mens $g$ ikke har noen, og at både nullpunktet, skjæringen med $y$ -aksen og den horisontale asymptoten må stemme. Aksene har ingen tall, så flere uttrykk kan passe.

Originale skisser uten tall på aksene. f har en vertikal asymptote på hver side av y-aksen og horisontal asymptote y=0. Mellom de vertikale asymptotene synker grafen fra positiv til negativ, krysser y-aksen over null og x-aksen til høyre for y-aksen. Venstre ytre gren er negativ og høyre ytre gren positiv. g er sammenhengende uten vertikale asymptoter, med horisontal asymptote y=0, et bunnpunkt og nullpunkt til venstre for y-aksen, positiv skjæring med y-aksen og et toppunkt til høyre.

Finn et mulig funksjonsuttrykk for f og et mulig funksjonsuttrykk for g. Begrunn valgene.

Få et hint

Se først på hvor nevnerne må være null eller aldri bli null. Hvordan kan du deretter velge tellere slik at nullpunkt, skjæring med y-aksen og horisontal asymptote passer?

Se løsning Oppgave 6

Et mulig uttrykk er $f(x)=\frac{x-1/2}{x^2-1}$ . Nevneren er null ved $x=-1$ og $x=1$ , og telleren er ikke null der, så disse er vertikale asymptoter. Telleren har grad 1 og nevneren grad 2, derfor er den horisontale asymptoten $y=0$ . Nullpunktet er $x=1/2$ , og $f(0)=1/2$ . Fortegnet på hver side av asymptotene og nullpunktet stemmer med grafen. Flere andre uttrykk kan også passe.

Et mulig uttrykk er $g(x)=\frac{x+1/4}{x^2+1}$ . Nevneren er positiv for alle reelle $x$ , så det finnes ingen vertikal asymptote. Nullpunktet er $x=-1/4$ , $g(0)=1/4>0$ , og siden nevneren har høyere grad enn telleren, er den horisontale asymptoten $y=0$ . Dette gir en kurve som ligger under $x$ -aksen til venstre for nullpunktet og over aksen til høyre, slik figuren viser.

Jobb videre med 1T

Vil du forstå mer av faget?

Bruk 1T-kurset til å repetere metoden før du prøver en ny oppgave.

Prøv 1T-kurset Flere eksamensoppgaver i 1T