Løsningsforslag · LK20 · MAT1021

Matematikk 1T vår 2026

Prøv selv, eller få et hint.

Prøv 1T-kurset for å forstå konseptene bedre.

2026-05-19 13 oppgaver 24 svar med forklaring

Originaleksamen (PDF)

Del 1

Uten hjelpemidler · eksamensordningen i 2026

Oppgave 1

Del 1, oppgave 1 (2 poeng).

Løs ulikheten $x^2+7x+6\leq0$ .

Løs ulikheten.

Få et hint

Faktoriser uttrykket. Hvilket intervall gir et ikke-positivt produkt?

Se løsning Oppgave 1

Vi faktoriserer $x^2+7x+6=(x+1)(x+6)$ . Nullpunktene er $-6$ og $-1$ . Parabelen vender oppover, så uttrykket er ikke-positivt mellom nullpunktene. Løsningen er $-6\leq x\leq-1$ .

Oppgave 2

Del 1, oppgave 2 (4 poeng).

Løs likningssystemet $y=-x^2+4$ og $x-y=2$ .

a)

Løs likningssystemet ved regning.

b)

Løs likningssystemet grafisk.

Løsning a)

Få et hint

Skriv begge uttrykkene for

y

og sett dem lik hverandre. Hvilken andregradslikning får du?

Se løsning Oppgave 2 a

Fra $x-y=2$ får vi $y=x-2$ . Sett dette lik $-x^2+4$ : $x-2=-x^2+4$ , altså $x^2+x-6=0=(x+3)(x-2)$ . Dermed er $x=-3$ eller $x=2$ , og $y=-5$ eller $y=0$ . Løsningene er $(-3,-5)$ og $(2,0)$ .

Løsning b)

Få et hint

Tegn

y=-x^2+4

y=x-2

. Hvor møtes grafene?

Se løsning Oppgave 2 b

Tegn parabelen $y=-x^2+4$ med toppunkt $(0,4)$ , nullpunkter $(-2,0)$ og $(2,0)$ , og punktene $(-3,-5)$ og $(3,-5)$ . Tegn linjen $y=x-2$ gjennom $(0,-2)$ og $(2,0)$ . Les av begge skjæringspunktene: $(-3,-5)$ og $(2,0)$ . På del 1 tegnes grafene for hånd; GeoGebra-figuren nedenfor er en illustrasjon.

Åpne bildet i full størrelse ↗

Oppgave 3

Del 1, oppgave 3 (3 poeng).

Løs likningen $2x^3+3x^2-18x+8=0$ .

Løs likningen.

Få et hint

Prøv en heltallsrot blant divisorene til konstantleddet. Hvilken faktor kan du trekke ut?

Se løsning Oppgave 3

Vi finner at $x=2$ er en rot. Polynomdivisjon gir $2x^3+3x^2-18x+8=(x-2)(2x^2+7x-4)=(x-2)(2x-1)(x+4)$ . Løsningene er $x=2$ , $x=\frac12$ og $x=-4$ .

Oppgave 4

Del 1, oppgave 4 (2 poeng).

Likningen er $a(x+b)^2=x^2+8x+c$ .

Bestem $a$ , $b$ og $c$ slik at likningen blir en identitet.

Få et hint

Utvid venstresiden og sammenlign koeffisientene for

x^2

x

og konstantleddet.

Se løsning Oppgave 4

Utvid: $a(x+b)^2=ax^2+2abx+ab^2$ . Sammenligning gir $a=1$ , $2ab=8$ og $ab^2=c$ . Dermed er $b=4$ og $c=16$ .

Oppgave 5

Del 1, oppgave 5 (2 poeng).

Tallfølgen er $1,3,7,13,21,\ldots$ . Mønsteret er vist som $0\cdot1+1=1$ , $1\cdot2+1=3$ , $2\cdot3+1=7$ , $3\cdot4+1=13$ .

a)

Bestem tall nummer 8 i tallfølgen.

b)

Sett opp en formel for tall nummer $n$ .

Løsning a)

Få et hint

Skriv tall nummer

n

som et produkt av to påfølgende heltall pluss 1. Hva får du for

n=8

Se løsning Oppgave 5 a

Mønsteret gir $u_n=(n-1)n+1$ . Derfor er $u_8=7\cdot8+1=57$ .

Løsning b)

Få et hint

Se på faktorene i mønsteret. Hvilke faktorer får ledd nummer

n

Se løsning Oppgave 5 b

I ledd nummer $n$ er faktorene $n-1$ og $n$ . En formel er $u_n=(n-1)n+1$ .

Oppgave 6

Del 1, oppgave 6 (1 poeng).

I en trekant $ABC$ er $\angle B=90^\circ$ og $\tan(A)=1$ .

Lag en figur og forklar hvordan trekanten kan se ut.

Få et hint

Bruk definisjonen av tangens i en rettvinklet trekant. Hva må være likt?

Se løsning Oppgave 6

Siden $\tan A=\frac{BC}{AB}=1$ , må katetene være like lange. Tegn et rett hjørne ved $B$ med $AB=BC=4$ , og trekk hypotenusen $AC$ . Da er $A=C=45^\circ$ og $AC=4\sqrt2$ . Lengden 4 er et valgt eksempel. På del 1 lager du skissen for hånd; GeoGebra-figuren viser samme trekant.

Åpne bildet i full størrelse ↗

Oppgave 7

Del 1, oppgave 7 (5 poeng).

Den øverste trekanten har to like sider med lengde 4. Høyden står vinkelrett på grunnlinjen, og vinkelen mellom høyden og høyre side er $30^\circ$ . Den nederste trekanten har sidene 4 og $10\sqrt3$ med $30^\circ$ mellom disse sidene.

Originaltrekant med to like sider på 4, høyde til grunnlinjen og 30° mellom høyden og høyre side.

Originaltrekant med sidene 4 og 10√3 og en 30° vinkel mellom disse sidene ved høyre hjørne.

a)

Bruk trekanten øverst i figuren til å vise at $\sin30^\circ=\frac12$ og $\cos30^\circ=\frac{\sqrt3}{2}$ .

b)

Bestem arealet av trekanten nederst i figuren.

c)

Bestem omkretsen av trekanten nederst i figuren.

Løsning a)

Få et hint

Høyden halverer vinkelen og grunnlinjen. Hvilke kateter får den rettvinklede halvdelen?

Se løsning Oppgave 7 a

Den markerte vinkelen på 30° er halvparten av toppvinkelen, så toppvinkelen er 60°. Den likebeinte trekanten er likesidet med side 4. Høyden deler grunnlinjen i to deler på 2. I den rettvinklede halvdelen er hypotenusen 4, motstående katet 2 og hosliggende katet $\sqrt{4^2-2^2}=2\sqrt3$ . Dermed er sinus $2/4=1/2$ og cosinus $2\sqrt3/4=\sqrt3/2$ .

Løsning b)

Få et hint

Bruk arealformelen med sidene 4 og

10\sqrt3

og den mellomliggende vinkelen.

Se løsning Oppgave 7 b

Arealet er $\frac12\cdot4\cdot10\sqrt3\cdot\sin30^\circ=10\sqrt3$ .

Løsning c)

Få et hint

Bruk cosinussetningen for siden mot

30^\circ

-vinkelen. Hvilke to sider og hvilken vinkel kjenner du?

Se løsning Oppgave 7 c

Den ukjente siden $s$ oppfyller $s^2=(10\sqrt3)^2+4^2-2\cdot10\sqrt3\cdot4\cos30^\circ=300+16-120=196$ . Dermed er $s=14$ . Omkretsen er $10\sqrt3+4+14=18+10\sqrt3$ .

Oppgave 8

Del 1, oppgave 8 (4 poeng).

a)

En rasjonal funksjon $f$ har ingen nullpunkter og to vertikale asymptoter. Bestem et mulig uttrykk, og begrunn svaret.

b)

En rasjonal funksjon $g$ har horisontal asymptote $y=2$ , og grafen skjærer ikke $y$ -aksen. Bestem et mulig uttrykk, og begrunn svaret.

Løsning a)

Få et hint

Velg en nevner med to reelle nullpunkter og en teller som aldri blir null. Hva er et enkelt valg?

Se løsning Oppgave 8 a

Et mulig uttrykk er $f(x)=\frac{1}{x^2-1}$ . Nevneren blir null ved $x=-1$ og $x=1$ , så dette er vertikale asymptoter. Telleren er alltid 1, så funksjonen har ingen nullpunkter.

Løsning b)

Få et hint

Legg til et ledd som går mot 0 når

|x|

blir stor, men ikke er definert ved

x=0

. Hva kan du velge?

Se løsning Oppgave 8 b

Velg $g(x)=2+\frac1x=\frac{2x+1}{x}$ . Leddet $1/x$ går mot null når $|x|$ øker, så asymptoten er $y=2$ . Funksjonen er ikke definert for $x=0$ og skjærer derfor ikke $y$ -aksen.

Oppgave 9

Del 1, oppgave 9 (3 poeng).

Grafen viser en andregradsfunksjon $f$ med bunnpunkt $(-1,-12{,}5)$ . Tangenten ved $(4,0)$ har stigningstall 5; figuren viser stigning 5 og løp 1.

Originalparabel med bunnpunkt (−1, −12,5), tangentpunkt (4, 0) og en stigningstrekant med stigning 5 og løp 1.

a)

Forklar hvorfor $f'(4)=5$ .

b)

Bestem $f'(x)$ .

Løsning a)

Få et hint

Den deriverte er tangentens stigningstall. Hva viser den markerte stigningstrekanten?

Se løsning Oppgave 9 a

Trekanten viser at tangenten går opp 5 når den går bort 1. Stigningstallet er $5/1=5$ , derfor er $f'(4)=5$ .

Løsning b)

Få et hint

Skriv funksjonen på toppunktform og bruk stigningstallet ved

x=4

Se løsning Oppgave 9 b

Skriv $f(x)=a(x+1)^2-12{,}5$ . Da er $f'(x)=2a(x+1)$ . Fra $f'(4)=10a=5$ får vi $a=1/2$ , altså $f'(x)=x+1$ .

Del 2

Med hjelpemidler · eksamensordningen i 2026

Oppgave 1

Del 2, oppgave 1 (5 poeng).

Fru Hansen kjører en gammel bil. Ved fart $x$ km/t slipper bilen ut $U(x)$ gram CO $_2$ per kilometer, der $U(x)=\frac{5400}{x}+0{,}0074x^2+50$ for $30<x<110$ .

a)

Hvor mange gram CO $_2$ slipper bilen ut per kilometer ved 50 km/t?

b)

Hvilken fart gir minst CO $_2$ -utslipp per kilometer, og hva er utslippet da?

c)

Hun kjører 90 km/t i 20 minutter. Hvor mange gram CO $_2$ slipper bilen ut i løpet av denne tiden?

Løsning a)

Få et hint

Sett

x=50

inn i

U(x)

. Hvilke tre ledd skal summeres?

Se løsning Oppgave 1 a

$U(50)=5400/50+0{,}0074\cdot50^2+50=108+18{,}5+50=176{,}5$ . Utslippet er 176,5 g/km.

Løsning b)

Få et hint

Deriver

U(x)

og finn et kritisk punkt i

30<x<110

. Hvor skifter den deriverte fortegn?

Se løsning Oppgave 1 b

Vi deriverer modellen og samler på felles nevner:

$U'(x)=-\frac{5400}{x^2}+0{,}0148x=\frac{0{,}0148x^3-5400}{x^2}.$

Likningen $U'(x)=0$ gir $x^3=5400/0{,}0148$ , altså $x\approx71{,}4569$ km/t. På $30<x<110$ er nevneren positiv. Telleren øker strengt og har ett nullpunkt, som ligger i intervallet. Derfor er $U'$ negativ før dette punktet og positiv etterpå. Modellen avtar fram til punktet og øker etterpå, så dette er det globale minimumet på det oppgitte intervallet.

Med den uavrundede farten får vi $U(x)\approx163{,}355$ g/km. Minst utslipp er dermed omtrent $163{,}36$ g/km ved $71{,}46$ km/t. Vi kan kontrollere modellen og minimumet i GeoGebra:

U(x)=If(30<x && x<110,5400/x+0.0074x^2+50)
M=Extremum(U,30,110)
a=U(50)
c=U(90)*90*(20/60)

Åpne bildet i full størrelse ↗

Løsning c)

Få et hint

Finn først distansen på 20 minutter. Hva blir utslippet per kilometer ved 90 km/t?

Se løsning Oppgave 1 c

Distansen er $90\cdot20/60=30$ km. $U(90)=5400/90+0{,}0074\cdot90^2+50=169{,}94$ g/km. Totalt blir det $169{,}94\cdot30=5098{,}2$ g CO $_2$ .

Oppgave 2

Del 2, oppgave 2 (5 poeng).

I trekanten $ABD$ ligger $C$ på siden $DB$ . Figuren viser $\angle ADC=60^\circ$ , $\angle DAC=45^\circ$ , $\angle ACB=105^\circ$ , $AC=\sqrt2$ og $CB=1$ .

Originaltrekant ABD med C på BD og hjelpelinjen AC. AC=√2, CB=1, ∠DAC=45°, ∠ADB=60° og ∠ACB=105°.

a)

Bruk trigonometri til å bestemme lengden av $AB$ .

b)

Bruk trigonometri til å bestemme arealet av trekanten $ABD$ .

Løsning a)

Få et hint

I trekant

ABC

kjenner du to sider og vinkelen mellom dem. Hvilken setning passer da?

Se løsning Oppgave 2 a

I trekant $ABC$ kjenner vi to sider og vinkelen mellom dem. Cosinussetningen gir

$AB^2=AC^2+CB^2-2\cdot AC\cdot CB\cdot\cos105^\circ=2+1-2\sqrt2\cos105^\circ=2+\sqrt3.$

Dermed er

$AB=\sqrt{2+\sqrt3}=\frac{\sqrt6+\sqrt2}{2}\approx1{,}932.$

Løsning b)

Få et hint

Del trekanten langs

AC

ACD

ABC

. Finn de to arealene og legg dem sammen.

Se løsning Oppgave 2 b

I $ACD$ er vinklene 45°, 60° og 75°. Sinussetningen gir $DC=2/\sqrt3$ , derfor $A_{ACD}=\frac12\cdot\sqrt2\cdot(2/\sqrt3)\sin75^\circ=\frac{3+\sqrt3}{6}$ . Arealet av $ABC$ er $\frac12\cdot\sqrt2\cdot1\cdot\sin105^\circ=\frac{\sqrt3+1}{4}$ . Summen er $A_{ABD}=\frac{9+5\sqrt3}{12}\approx1{,}472$ .

Oppgave 3

Del 2, oppgave 3 (6 poeng).

Vipa er truet. Bestanden var omtrent 9000 par i 2013 og 2500 par i 2022. La $x$ være år etter 2013. Tor antar lineær nedgang, Egil eksponentiell nedgang. Myndighetene håper bestanden skal stabilisere seg. Egil lager først den eksponentielle modellen $p$ og endrer den så til $q$ ; grafene står i originalfiguren.

Opprinnelige bestandsanslag
År	2013	2022
Vipebestand (par)	9000	2500

Originalgrafer for p og q. p går gjennom (0, 7000) og (9, 500); q går gjennom (0, 9000) og (9, 2500) og nærmer seg 2000.

a)

Lag modellen $f$ ut fra Tors antakelse, og forklar hva modellen forteller.

b)

Lag modellen $g$ ut fra Egils antakelse, og forklar hva modellen forteller.

c)

Forklar antakelsen i modellen $q$ , og bestem $p(x)$ og $q(x)$ .

Løsning a)

Få et hint

Bruk punktene

(0,9000)

(9,2500)

til å finne stigningstallet.

Se løsning Oppgave 3 a

$m=(2500-9000)/9=-6500/9$ . Dermed er $f(x)=9000-\frac{6500}{9}x$ . Modellen beskriver en nedgang på omtrent 722 par per år. Den er bare realistisk så lenge bestandsverdien er ikke-negativ.

Løsning b)

Få et hint

Sett

g(x)=9000a^x

og bruk

g(9)=2500

. Hva er faktoren over ni år?

Se løsning Oppgave 3 b

$9000a^9=2500$ , så $a=(5/18)^{1/9}\approx0{,}8673$ . Da er $g(x)=9000(5/18)^{x/9}$ . Bestandens størrelse multipliseres med omtrent 0,8673 per år, en nedgang på rundt 13,3 % årlig.

Løsning c)

Få et hint

Les av modellene

p

q

: startverdier, verdier ved

x=9

og den horisontale asymptoten. Hvordan henger modellene sammen?

Se løsning Oppgave 3 c

$p$ går gjennom $(0,7000)$ og $(9,500)$ , derfor $p(x)=7000(1/14)^{x/9}$ . Grafen $q$ ligger 2000 over $p$ og nærmer seg $y=2000$ , altså $q(x)=p(x)+2000=7000(1/14)^{x/9}+2000$ . Egil antar at bestanden stabiliserer seg rundt 2000 par i stedet for å gå mot null.

Oppgave 4

Del 2, oppgave 4 (3 poeng).

Kristian lager figurer av kuler og pinner. Originalen viser de fire første figurene; figur 4 bruker 7 pinner og 12 kuler. Han skal lage de 50 første figurene.

Originale figurer 1 til 4. Figur 1 har én pinne og ingen kuler; figur 4 har 7 pinner og 12 kuler.

Lag et program som beregner og skriver ut hvor mange kuler og pinner Kristian trenger.

Få et hint

Finn et uttrykk for kuler og pinner i figur nummer

n

. Hvordan kan du summere fra figur 1 til 50?

Se løsning Oppgave 4

Figur $n$ har $n$ kolonner med $n-1$ kuler i hver, altså $n(n-1)$ kuler. Pinnene består av $n$ loddrette og $n-1$ vannrette pinner, til sammen $2n-1$ . Programmet summerer uttrykkene for $n=1$ til og med 50, og skriver først totalt antall kuler, deretter pinner.

sum_kuler = 0
sum_pinner = 0
for n in range(1, 51):
    sum_kuler += n * (n - 1)
    sum_pinner += 2 * n - 1
print(sum_kuler)
print(sum_pinner)

Jobb videre med 1T

Vil du forstå mer av faget?

Bruk 1T-kurset til å repetere metoden før du prøver en ny oppgave.

Prøv 1T-kurset Flere eksamensoppgaver i 1T