Matematikk 2P høst 2024

$5\text{ km}=500\,000\text{ cm}$. Dermed er målestokken $$10:500\,000=1:50\,000.$$

Summen er $3+3+4+5+6+8+0+3+5+5=42$. Gjennomsnittet blir $42:10=4{,}2$ timer per dag.

Sortert er listen $0,3,3,3,4,5,5,5,6,8$. Medianen er $$\frac{4+5}{2}=4{,}5\text{ timer}.$$

Verdiene $0,3,3,3,4,5,5,5$ er høyst fem. Den kumulative frekvensen er 8. Lars arbeidet altså fem timer eller mindre på åtte av de ti dagene.

La den korte kateten være $x$ cm. Den lange er da $2x$ cm. Arealet gir $$\frac{x\cdot2x}{2}=64\quad\Rightarrow\quad x^2=64.$$ En lengde er positiv, så $x=8$. Katetene blir 8 cm og 16 cm. Kontroll: $8\cdot16:2=64\text{ cm}^2$.

Innsetting gir $$4x+2(2x-6)=12\quad\Rightarrow\quad8x-12=12.$$ Da er $8x=24$, altså $x=3$. Videre blir $y=2\cdot3-6=0$. Løsningen er $(x,y)=(3,0)$.

Funksjonen $f(x)=200\cdot0{,}975^x$ gir bedriftens utslipp i tonn CO₂ i året som er $x$ år etter 2025. Startverdien 200 er utslippet i 2025. Faktor $0{,}975=1-0{,}025$ gir 2,5 % nedgang hvert år. For de årlige utslippene bruker vi heltall $x\geq0$.

Løkken legger sammen $f(0),f(1),f(2),f(3)$ og $f(4)$. Dermed regner programmet ut det samlede utslippet for de fem årene 2025–2029, inkludert begge endepunktene.

Summen er omtrent $951{,}23$ tonn CO₂. På Python-versjonen som er brukt til kontrollen, er utskriften 951.2344531250001. De siste sifrene skyldes flyttallsregning; den eksakte summen med de oppgitte desimaltallene er 951,234453125 tonn. Det er en femårssum, ikke bare utslippet i 2029.

For spørsmål 1 er desember 2025 tolv måneder etter desember 2024. Ved utregning får vi $$F(12)=620\cdot1{,}045^{12}\approx1051{,}45.$$ Bedriften regner med omtrent 1051 flasker. En annen metode er å tegne grafen til $F$ og linjen $x=12$, og lese skjæringspunktet $(12,1051{,}45)$.

For spørsmål 2 kan vi først bruke en verditabell. Siden vekstfaktoren er større enn 1, øker $F$ med $x$.

Første hele måned med mer enn 2000 flasker er derfor mars 2027. En annen metode er å skjære grafen med $y=2000$. Skjæringen ligger ved $x\approx26{,}6076$. Den første større hele månedsverdien er $x=27$, igjen mars 2027.

I GeoGebra kan de grafiske undersøkelsene for begge spørsmålene settes opp slik:

Grafen er en kontinuerlig utvidelse, mens oppgaven gjelder hele måneders salg. Derfor skal ikke 26,6 bare rundes ned til 26.

Forholdet mellom salget i desember 2026 og desember 2024 er $F(24)/F(0)=1{,}045^{24}$. Økningen er dermed $$(1{,}045^{24}-1)\cdot100\%\approx187{,}6\%.$$ Salget øker med omtrent 187,6 %, ikke med 287,6 %; det siste er sluttverdien uttrykt som prosent av startverdien.

Vi regner hver lønn om til 2015-kroner: $$\text{reallønn}=\frac{\text{månedslønn}\cdot100}{\text{KPI}}.$$ Deretter sammenlikner vi hvert år med året før ved $\left(\frac{R_{\text{ny}}}{R_{\text{før}}}-1\right)\cdot100\%$. Vi beholder desimaler underveis og avrunder i oversikten.

Kjøpekraften sank i 2016 og i 2022, og steg hvert år mellom disse. Samlet fra 2015 til 2022 økte den med omtrent 1,65 %. At lønnen øker i kroner, er ikke alene nok til at kjøpekraften øker.

Generelt er $$p\%\text{ av }q=\frac p{100}\cdot q=\frac{pq}{100}=\frac q{100}\cdot p=q\%\text{ av }p.$$ Det er samme produkt i begge tilfeller fordi rekkefølgen på faktorene ikke endrer produktet.

Parene i figuren gir henholdsvis 5, 3,6 og 2. Regelen over viser hvorfor likheten gjelder generelt, ikke bare i disse tre eksemplene.

Gjennomsnittet er $240:6=40$ år. Sortert blir alderen $15,18,24,45,60,78$, så medianen er $(24+45)/2=34{,}5$ år.

For hele laget bruker vi populasjonsstandardavvik: $$\sigma=\sqrt{\frac{(15-40)^2+(60-40)^2+(24-40)^2+(18-40)^2+(45-40)^2+(78-40)^2}{6}}=\sqrt{539}\approx23{,}22\text{ år}.$$ Dette er ikke utvalgsstandardavviket, som deler på 5.

Lag B har høyere gjennomsnitt og median enn lag A, så alderen ligger typisk høyere. Det mindre standardavviket sier at aldrene er mindre spredt rundt gjennomsnittet. Det betyr ikke at hvert medlem på B må være eldre enn hvert medlem på A.

Lag C har lavere median, men høyere gjennomsnitt og større spredning. Noen høye aldre kan trekke gjennomsnittet opp selv om midten av den sorterte listen er lavere. Opplysningene bestemmer ikke de enkelte aldersverdiene.

For B er $47{,}5>40$, $47{,}5>34{,}5$ og $1{,}71<23{,}22$. For C er $43{,}33>40$, $27{,}5<34{,}5$ og $31{,}84>23{,}22$. Alle betingelsene er dermed oppfylt. Dette er bare ett av mange mulige forslag.

Ordinær timelønn er $35\,750:162{,}5=220$ kr. Overtidstimelønnen er $220\cdot1{,}40=308$ kr, så ti timer gir 3080 kr ekstra. Bruttolønnen blir $35\,750+3080=38\,830$ kr.

Vi forutsetter at pensjon trekkes av hele bruttolønnen, og at skatten beregnes etter pensjonstrekket. Da blir pensjonstrekket $0{,}02\cdot38\,830=776{,}60$ kr og skatten $0{,}18(38\,830-776{,}60)=6849{,}612$ kr. Nettoinntekten blir $$38\,830-776{,}60-6849{,}612\approx31\,203{,}79\text{ kr}.$$

Oppgaven presiserer ikke trekkgrunnlagene. Dersom både pensjon og skatt i stedet beregnes direkte av brutto, blir netto 31 064 kr. Svaret må derfor knyttes til den valgte beregningsmåten.

Vi kan starte med endringene fra 1970 til 2010. Endring i timer er sluttverdi minus startverdi, og prosentvis endring er $\frac{\text{sluttverdi}-\text{startverdi}}{\text{startverdi}}\cdot100\%$.

For eksempel økte menns husholdsarbeid med $3{,}00-2{,}22=0{,}78$ time, eller $0{,}78:2{,}22\cdot100\%\approx35{,}1\%$. Forskjellen mellom menns og kvinners betalte arbeid falt fra $5{,}48-1{,}93=3{,}55$ timer til $4{,}17-3{,}02=1{,}15$ timer. Forskjellen i husholdsarbeid falt fra 3,70 til 0,83 time.

En egnet diagramserie er tre linjediagrammer, ett for hver aktivitet, med år på den vannrette aksen og timer per gjennomsnittsdag på den loddrette. Hvert diagram har én serie for menn og én for kvinner. Bruk alle tre årstallene og tydelige forklaringer til seriene. En annen framstilling er grupperte søyler som sammenlikner 1970 og 2010 for hver aktivitet. Da får vi både utvikling over tid og en tydelig sammenlikning av endepunktene.

Hovedfunnet er at betalt arbeid og husholdsarbeid fordeles likere mellom kjønnene i 2010 enn i 1970. Menn bruker fortsatt mer tid på betalt arbeid, mens kvinner bruker mer på husholdsarbeid. Utdanning øker mellom endepunktene for begge grupper, men verdiene i 1990 er høyere enn i 2010. Vi skal derfor ikke beskrive utdanning som jevnt økende.

Tallene er desimaltimer: $5{,}48$ timer er 5 timer og 28,8 minutter, ikke 5 timer og 48 minutter. Tabellen dekker bare tre aktiviteter og skal ikke framstilles som fordelingen av hele døgnet.

Diagrammene nedenfor bruker alle 18 verdiene i tabellen. De to første linjediagrammene har samme loddrette skala. Utdanningsdiagrammet har en mindre skala, fra 0 til omtrent 0,7 time, slik at forskjellene blir synlige. Sammenlikn derfor akseverdiene, ikke bare høydene i bildene. Søylediagrammet viser alle tolv verdiene for 1970 og 2010 på en felles skala fra null.

Terminbeløpet er likt de første elleve månedene, mens rentene avtar og avdragene øker. Det viser et annuitetslån, med en liten justering i siste termin.

Lånebeløpet var $$69\,313+5687=75\,000\text{ kr}.$$ Første måneds rente var 1275 kr på hele dette beløpet, så rentesatsen er $$\frac{1275}{75\,000}\cdot100\%=1{,}7\%\text{ per måned}.$$

I originalens siste rad er terminbeløpet 6961,39 kr, mens renter pluss avdrag blir 6961,40 kr. Dette ene øret er et avvik i den oppgitte tabellen og endrer ikke svarene.

Vi regner i meter og bruker rommet over skuffene. Tverrsnittet er et rektangel og en trekant: $$A=1\cdot1{,}047+\frac{1\cdot0{,}480}{2}=1{,}287\text{ m}^2.$$ Dybden er 1 m, så volumet blir $$V=1{,}287\cdot1=1{,}287\text{ m}^3.$$ Vi antar at de oppgitte målene kan brukes som rommål, siden veggtykkelsen ikke er oppgitt.

Hver trekant har grunnlinje $0{,}398$ m. Høyden fra sentrum til en side er halvparten av $0{,}689$ m, altså $0{,}3445$ m. Derfor er inngangsarealet $$A=6\cdot\frac{0{,}398\cdot0{,}3445}{2}=0{,}411333\text{ m}^2\approx0{,}41\text{ m}^2.$$

De oppgitte millimetermålene er avrundet. Bruker vi bare side 398 mm og eksakt regulær sekskant, får vi omtrent $0{,}41155\text{ m}^2$. Forskjellen er liten, og et passende svar er omtrent $0{,}41\text{ m}^2$.