Matematikk 2P vår 2024

Til sammen er tidsbruken $1+3+4+0+4+5+2+7+12+2=40$ timer. Gjennomsnittet er $40:10=4$ timer.

Sortert blir verdiene $0,1,2,2,3,4,4,5,7,12$. Det er ti verdier, så medianen er gjennomsnittet av nummer fem og seks: $$\frac{3+4}{2}=3{,}5\text{ timer}.$$

Indeksen er blitt $129{,}6:100=1{,}296$ ganger så stor. Derfor blir prisen $$500\cdot1{,}296=648\text{ kr}.$$

Vi må sammenlikne lengder med samme enhet. $300\text{ m}=30\,000\text{ cm}$. Dermed er forholdet mellom kart og virkelighet $$2:30\,000=1:15\,000.$$ Målestokken er $1:15\,000$. Én centimeter på kartet svarer til 150 meter i virkeligheten.

Tretti like par koster 900 kr, så ett par koster $900:30=30$ kr. La en ispinne koste $x$ kr. Da koster boksen $x+6$ kr, og $$x+(x+6)=30\quad\Rightarrow\quad2x=24\quad\Rightarrow\quad x=12.$$ En ispinne koster 12 kr og en boks 18 kr. Kontroll: $30\cdot12+30\cdot18=900$ kr.

To for 32 kr gir $32:2=16$ kr per bagett. Fire for 48 kr gir $48:4=12$ kr per bagett. Nedgangen er 4 kr, og vi sammenlikner med den opprinnelige enhetsprisen 16 kr: $$\frac{16-12}{16}\cdot100\%=25\%.$$ Prisen per bagett blir 25 % lavere.

Vi lar november være $x=0$, desember $x=1$ og så videre til april, $x=5$. En mulig metode er eksponentiell regresjon med alle seks observasjonene. I GeoGebra kan vi legge inn punktlisten og bruke FitGrowth:

En slik logaritmisk tilpasning gir omtrent $$f(x)=5244{,}3705\cdot1{,}3500127^x.$$ Vekstfaktoren svarer til $(1{,}3500127-1)\cdot100\%\approx35\%$ vekst per måned. Dette er en tilnærmet modell for den oppgitte perioden, ikke en eksakt beskrivelse av hvert månedsantall.

Vi starter med det faktiske antallet i april: 24 008. Veksten blir 40 % i mai og 45 % i juni. Dermed får vi $$24\,008\cdot1{,}40=33\,611{,}2\approx33\,611$$ og $$24\,008\cdot1{,}40\cdot1{,}45=48\,736{,}24\approx48\,736.$$ Vi beholder desimalene i mellomregningene og avrunder antall personer til slutt.

Fra april til august er det fire månedlige veksttrinn. Med det nye målet er veksten 40 %, 45 %, 50 % og 55 %. Med det gamle målet er den 35 % hver gang.

Prosentforskjellen blir $$\frac{113\,311{,}758-79\,742{,}72205}{79\,742{,}72205}\cdot100\%\approx42{,}1\%.$$ Hun vil ha omtrent 42 % flere følgere med det nye målet.

Solveigs samlede tidsbruk er 143 timer, så gjennomsnittet er $143:20=7{,}15$ timer. De to midterste sorterte verdiene er 7 og 8, som gir median $7{,}5$ timer. Standardavviket for hele listen er $$\sigma=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{20}(x_i-7{,}15)^2}{20}}\approx2{,}46\text{ timer}.$$

Miriams turer var typisk kortere, både målt ved gjennomsnitt og median. Varigheten var samtidig mer variert. Dette betyr ikke at hver enkelt tur var kortere. Vi bruker standardavvik for alle de oppgitte turene, med 20 i nevneren.

Antall felles femtimersturer er $14-11=3$. Antall felles åttetimersturer er $17-14=3$. I Solveigs opprinnelige liste forekommer åtte timer fire ganger. Derfor gikk hun én av disse turene uten Miriam.

Tabellen har også ti registreringer ved null timer. Det er naturlig å tolke dette som turer de ikke gikk sammen, ikke som egentlige turer som varte null timer. Differansene for de positive varighetene gir uansett de to svarene.

Første påstand passer med frekvensen 80. Til sammen er det $80+120+200+100=500$ elever. Dermed er den siste klassens relative frekvens $100/500=1/5$, som i påstand 2.

For å vise at påstand 3 og 4 kan være riktige samtidig, velger vi et mulig datasett: De 80 elevene i første klasse bruker 20 minutter hver, og de 120 i andre klasse bruker 50 minutter hver. Da er gjennomsnittet blant de 200 elevene $$\frac{80\cdot20+120\cdot50}{200}=38\text{ minutter}.$$ Både den hundrede og den hundre og første verdien er 50, så medianen er 50 minutter og større enn 38.

Histogrammet gir ikke de nøyaktige tidene innenfor klassene. Vi har vist at de to siste påstandene er mulige, ikke at de må gjelde for ethvert datasett med dette histogrammet.

Sara har isolert $y$ i begge likningene: $y=4x+12$ og $y=-2x^2+2x+24$. Disse uttrykkene er funksjonene f og g. Løkken prøver heltallene fra og med −5 til og med 4. Når f(x) og g(x) er like, passer paret $(x,f(x))$ i begge likningene, og programmet skriver det ut.

Programmet finner $(-3,0)$ og $(2,20)$. Det er et begrenset heltallssøk og vil generelt kunne overse andre løsninger. Her kan vi kontrollere fullstendigheten algebraisk: $$4x+12=-2x^2+2x+24\quad\Longleftrightarrow\quad2(x+3)(x-2)=0.$$ De eneste reelle løsningene har derfor $x=-3$ eller $x=2$.

De nye uttrykkene blir $y=2x+8$ og $y=x^2+x-48$. Likheten gir $$x^2-x-56=(x-8)(x+7)=0.$$ Vi må derfor også utvide søket slik at både −7 og 8 er med. Et passende program er:

Løsningene er $(-7,-6)$ og $(8,24)$. Bare å endre funksjonene og beholde den gamle løkken ville ha mistet begge løsningene.

Vi velger en grunnsirkel som akkurat passer inni kvadratet, og høyde $h=2{,}5$ m. Kvadratets side er $\sqrt{20}=2\sqrt5$ m. Dermed blir bunnradius $$R=\sqrt5\approx2{,}2361\text{ m}.$$ Plattformens radius må oppfylle $\pi r^2=10$, altså $$r=\sqrt{\frac{10}{\pi}}\approx1{,}7841\text{ m}.$$ Toppen er mindre enn bunnen, og begge krav er oppfylt.

En målsatt skisse kan vise et loddrett snitt med hjørnene $(-R,0)$, $(R,0)$, $(r,h)$ og $(-r,h)$, der koordinatene måles i meter. Merk høyden 2,5 m, de to radiene og topparealet $10\text{ m}^2$. En plan ovenfra viser grunnsirkelen inni kvadratet med side $2\sqrt5$ m.

For å bruke forslaget om en hel kjegle, forlenger vi skråsidene til en spiss med høyde $H$. Formlikhet gir $$\frac rR=\frac{H-h}{H}\quad\Rightarrow\quad H=\frac{hR}{R-r}\approx12{,}3692\text{ m}.$$ Den avkuttede toppkjeglen har dermed høyde $H-h\approx9{,}8692$ m. Dette er ett mulig forslag, ikke den eneste utformingen.

Vi antar at klatreveggen er massiv betong, siden det ikke er oppgitt noe hulrom. Med målene fra a får vi $$V=\frac{\pi R^2H}{3}-\frac{\pi r^2(H-h)}{3}\approx31{,}8676\text{ m}^3.$$ Det går med omtrent $31{,}9\text{ m}^3$, eller omtrent $32\text{ m}^3$, betong til dette forslaget. Vi har beholdt de nøyaktige radiusuttrykkene i beregningen. Andre tillatte mål kan gi andre betongmengder.

Kalkulatoren oppgir ett terminbeløp per måned. Den tilsiktede tolkningen er et annuitetslån, med like terminbeløp så lenge renten er uendret. Skjermbildet viser ikke hele betalingsplanen, men gir denne indikasjonen.

Johannes må ha minst $0{,}15\cdot2\,000\,000=300\,000$ kr selv. Maksimalt lån blir resten: $$2\,000\,000-300\,000=1\,700\,000\text{ kr}.$$

Med 1,5 % rente per måned blir vekstfaktoren 1,015. Etter tolv måneder er den $1{,}015^{12}\approx1{,}1956$, altså omtrent 19,56 % rente per år.

La $p$ være månedsrenten i prosent. Da skal $$\left(1+\frac p{100}\right)^{12}=1{,}0549.$$ Den løsningen som gir en positiv økonomisk vekstfaktor, er $$p=100\left(1{,}0549^{1/12}-1\right)\approx0{,}4463764.$$ Månedsrenten er omtrent $0{,}446\%$. Her behandler vi årsprosenten som effektiv vekst, slik eksempelet i oppgaven gjør.

Vi bruker den uavrundede månedsrenten fra b: $$1\,700\,000\left(1{,}0549^{1/12}-1\right)\approx7588{,}40\text{ kr}.$$ Avdraget blir $$10\,495-7588{,}40\approx2906{,}60\text{ kr}.$$ Det er omtrent 7588 kr renter og 2907 kr avdrag, som svarer til omtrent 72,3 % og 27,7 % av terminbeløpet.

Vi bruker bankens oppgitte terminbeløp. Det er ikke helt likt en gebyrfri annuitetsberegning fra de øvrige avrundede opplysningene, så vi lager ikke en ny, antatt bankpris.

Vi forutsetter at skatten beregnes etter fagforenings- og pensjonstrekk. Fagforeningstrekket er $0{,}012\cdot52\,000=624$ kr og pensjonstrekket er $0{,}02\cdot52\,000=1040$ kr. Skatten blir $0{,}32(52\,000-624-1040)=16\,107{,}52$ kr. Nettoinntekten blir dermed $34\,228{,}48$ kr.

Banken krever også at han tåler 3 prosentpoeng renteøkning. Årsrenten blir da $8{,}49\%$, som svarer til månedsrente $100(1{,}0849^{1/12}-1)\approx0{,}681376\%$. På startgjelden gir det omtrent $11\,583{,}39$ kr i renter første måned.

Som et forsiktig budsjettanslag kan vi beholde omtrent samme første avdrag som i c. Da blir renter pluss avdrag $11\,583{,}39+2906{,}60\approx14\,489{,}99$ kr. Med dette anslaget er omtrent $3845{,}49$ kr igjen. Dette er et budsjettanslag med beholdt avdrag, ikke en ny nøyaktig terminberegning fra banken.

Det ser dermed ut til å være rom i månedsbudsjettet under disse forutsetningene. Men vi vet ikke om Johannes har 300 000 kr i egenkapital. Strøm, felleskostnader, vedlikehold og eventuelle gebyrer må også dekkes. Vi kan derfor ikke konkludere ubetinget med at kjøpet er forsvarlig.

Oppgaven presiserer ikke skattebasen. Dersom alle prosenttrekk i stedet regnes direkte av bruttoinntekten, blir netto $33\,696$ kr, og overskuddet i det første budsjettet blir 7308 kr. Dette endrer ikke behovet for å undersøke de manglende kostnadene.