Matematikk 2P høst 2025

Økningen er $315-300=15$ kr. Andelen er $15:300=1:20=0{,}05$, altså 5 %.

Forholdet mellom indeksene er $90:120=3:4$. Prisen i 2022 var derfor $400\cdot\frac34=300$ kr.

Modellen er $330:1100=0{,}3$ m høy. Det er 30 cm.

Tabellen viser $2+3+4+6=15$ vogner med minst én person. Dermed er $20-15=5$ vogner tomme, slik Stine påstår.

Antall personer er $0\cdot5+1\cdot2+2\cdot3+3\cdot4+4\cdot6=44$. Gjennomsnittet blir $44:20=2{,}2$ personer per vogn. Ved sortering ligger nullene på plass 1–5, enerne på plass 6–7, toerne på plass 8–10 og treerne på plass 11–14. Medianen er derfor $(2+3):2=2{,}5$ personer.

Den kumulative frekvensen er $5+2+3=10$. Ti av de tjue vognene hadde høyst to personer.

Diameteren er hypotenusen: $$d^2=6^2+8^2=36+64=100 \quad\Rightarrow\quad d=10\text{ cm}.$$ Radiusen er 5 cm. Arealet er derfor $A=\pi\cdot5^2=25\pi\text{ cm}^2$. Siden $\pi>3$, er $25\pi>75$. Sirkelarealet er større enn $75\text{ cm}^2$.

Til sammen betaler de $90+80+70=240$ kr for to av hver vare. Én av hver koster derfor 120 kr. Sukkerspinn koster $120-80=40$ kr, popkorn koster $120-70=50$ kr, og softis koster $120-90=30$ kr. Kontroll: $40+50=90$, $50+30=80$ og $40+30=70$.

Avdraget er $400\,000:8=50\,000$ kr per termin.

Første termin er rentene $400\,000\cdot0{,}05=20\,000$ kr. Terminbeløpet blir $50\,000+20\,000=70\,000$ kr. Etter avdraget er gjelden 350 000 kr. Andre termin blir rentene $350\,000\cdot0{,}05=17\,500$ kr og terminbeløpet $50\,000+17\,500=67\,500$ kr.

Med fem år ville avdraget vært $400\,000:5=80\,000$ kr. Før tredje termin ville gjelden vært $400\,000-2\cdot80\,000=240\,000$ kr. Rentene i tredje termin ville derfor vært $240\,000\cdot0{,}05=12\,000$ kr. Dette er bare rentene, ikke hele terminbeløpet.

Johann starter med 1 500 000 kr på en konto. Vekstfaktoren 1,056 betyr 5,6 % rente per år. I hver runde legges rentene til, deretter tas 120 000 kr ut, og årstelleren økes med 1. Løkken starter en ny runde bare dersom saldoen før årets renter er minst 120 000 kr.

Utskriften viser at programmet gjennomfører 22 årlige uttak. Etter det siste uttaket står det omtrent $11\,183{,}70$ kr igjen. Denne saldoen er for liten til at løkken starter et nytt år. De mange desimalene i utskriften skyldes beregning med flyttall; beløpet avrundes til øre.

Vi bruker punktene $(0,1267)$, $(1,1431)$, $(2,1619)$, $(3,1788)$, $(4,2032)$. En eksponentiell regresjon med logaritmisk minste kvadraters tilpasning, slik FitGrowth gjør, gir modellen $$f(x)\approx1271{,}119706\cdot1{,}123834101^x.$$ Den beskriver omsetning i kroner med $x=0$ i februar 2025. Det er observasjoner for $0\leq x\leq4$; bruk etter dette er en prognose. Behold den lagrede modellen med full presisjon i videre beregninger. Et oppsett i GeoGebra er:

Månedlig prosentvekst er $100(b-1)\approx100(1{,}123834101-1)=12{,}3834101$. Omsetningen øker med omtrent 12,4 % per måned ifølge modellen.

Numerisk løsning av $f(x)=20\,000$ gir $x\approx23{,}6054$ måneder. Med kontinuerlig tid regnet fra februar 2025 ligger dette i siste del av januar 2027; oppgaven angir ingen eksakt startdato. For månedlige observasjoner må vi kontrollere hele månedsverdier:

Skjæringspunktet mellom den lagrede modellen og linjen $y=20\,000$ har $x\approx23{,}6054$. Modellen gir $f(23)\approx18\,635{,}33$ og $f(24)\approx20\,943{,}02$. Januar 2027 er måned 23 og februar 2027 måned 24. Februar 2027 er derfor første hele månedsverdi som når 20 000 kr. Prognosen er usikker fordi den forlenger en trend fra bare fem måneder langt fram i tid.

Vi starter med den observerte omsetningen i juni, 2032 kr. Det er seks veksttrinn fra juni til desember. Ved konstant månedlig prosentvekst $p$ må $$2032\left(1+\frac p{100}\right)^6=20\,000.$$ Dermed er $$p=100\left[\left(\frac{20\,000}{2032}\right)^{1/6}-1\right]\approx46{,}3921.$$ Det trengs minst omtrent 46,4 % vekst per måned for å nå målet innen desember. Hvis målet skal nås for første gang nettopp i desember, må veksten samtidig være mindre enn $100[(20\,000/2032)^{1/5}-1]\approx57{,}987\%$, ellers er målet allerede nådd i november.

Den direkte beregningen av q i GeoGebra gir omtrent 46,3921 %. Den er også synlig i bildet i c). Den øvre grensen for å nå målet først i desember følger av den separate femtrinnsberegningen ovenfor.

Medianen er gjennomsnittet av de to midterste tallene: $(124\,540+121\,679):2=123\,109{,}5$. Summen er 2 329 927, så gjennomsnittet er $2\,329\,927:10=232\,992{,}7$. Variasjonsbredden er $1\,098\,061-55\,684=1\,042\,377$.

Vi beskriver hele listen med ti tettsteder og bruker standardavvik med divisoren 10: $$\sigma=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{10}(x_i-232\,992{,}7)^2}{10}}\approx297\,326{,}14.$$ Dette er populasjonsstandardavvik, ikke utvalgsstandardavvik med divisoren 9. Alle målene har enhet personer. Listen og beregningene kan legges inn i GeoGebra slik:

Jeg er mest enig med Kine dersom formålet er å beskrive et typisk tettsted blant disse ti. Oslo har over én million innbyggere og trekker gjennomsnittet langt opp; sju av ti tettsteder ligger under gjennomsnittet. Medianen påvirkes mindre av denne svært store verdien. Gjennomsnittet er fortsatt nyttig, for eksempel hvis vi vil fordele det samlede innbyggertallet likt på de ti tettstedene.

Det danske gjennomsnittet, 235 549, er litt høyere enn det norske, omtrent 232 993. Den danske medianen, 67 832, er derimot langt lavere enn den norske, omtrent 123 110. De midterste tettstedene i den danske listen er altså mindre målt ved medianen, selv om gjennomsnittet er litt større.

Standardavviket er også høyere i Danmark: 388 000 mot omtrent 297 326. Det danske materialet har større spredning rundt gjennomsnittet. At gjennomsnittet ligger langt over medianen, tyder på at svært store tettsteder trekker gjennomsnittet opp. Sammendragstallene alene bestemmer likevel ikke innbyggertallet eller identiteten til det største tettstedet.

Lag et linjediagram med år på vannrett akse og minutter per gjennomsnittsdag på loddrett akse. Bruk alle fem årene og én tydelig merket serie for hver aldersgruppe. Lag dessuten et gruppert søylediagram med to søyler per aldersgruppe, én for 2020 og én for 2024, med loddrett akse fra null. Da viser linjene forløpet, mens søylene gjør det lett å sammenlikne start og slutt.

Vi beregner absolutt endring som sluttverdi minus startverdi, og relativ endring som endring delt på startverdi. For 45–64-åringene er økningen $260-177=83$ minutter, eller $\frac{83}{177}\cdot100\%\approx46{,}89\%$.

Alle gruppene brukte mer tid i 2024 enn i 2020, men ikke alle økte hvert eneste år. For 9–15-åringene gikk tiden ned fra 273 til 245 minutter fra 2023 til 2024: 28 minutter, omtrent 10,26 %. Linjediagrammet viser denne nedgangen, som ikke kommer fram hvis vi bare sammenlikner start og slutt.

To interessante funn er: 16–24-åringene hadde høyest tidsbruk i alle de fem årene og størst absolutt økning, 122 minutter per dag. 65–79-åringene hadde lavest tidsbruk i alle årene, men størst prosentvis økning, omtrent 112 %, slik at tiden ble mer enn doblet. Tabellen sier ikke hvor mange personer det er i hver aldersgruppe, så et uvektet gjennomsnitt av gruppene er ikke et sikkert gjennomsnitt for hele befolkningen.

Linjediagrammet nedenfor bruker alle 25 observasjonene. Det grupperte søylediagrammet sammenlikner 2020 og 2024 på en felles skala fra null; begge diagrammene måles i minutter per gjennomsnittsdag.

Fatimas økning gjelder hele perioden, så verdien blir $100\,000\cdot1{,}36=136\,000$ kr. Adrian får fem års rentes rente: $100\,000\cdot1{,}057^5\approx131\,939{,}53$ kr. For Vegard multipliserer vi de fem ulike faktorene: $$100\,000\cdot1{,}20\cdot0{,}89\cdot0{,}90\cdot1{,}23\cdot1{,}17=138\,326{,}292.$$

Vegard har mest, deretter Fatima og så Adrian. Prosentene for Vegard kan ikke bare legges sammen, fordi de virker på en ny verdi hvert år.

Vi kjenner ikke de nøyaktige aldersverdiene. En mulig antakelse er at alderen er omtrent jevnt fordelt i hvert intervall. Da representerer klassemidtpunktet gjennomsnittet i klassen, og vi kan også interpolere inne i en klasse når vi anslår median eller en andel. Vi bruker denne antakelsen videre; resultatene blir anslag, ikke eksakte verdier.

Gjennomsnittet anslås til $$\bar x\approx\frac{39\,155}{923}\approx42{,}42\text{ år}.$$ Vi beholder den uavrundede kvotienten i neste del.

Alle i klassene fra 50 år og oppover er eldre enn gjennomsnittet. De utgjør $237+103+33+15=388$ personer. Med jevn fordeling i $[18,50)$ er andelen der over gjennomsnittet $$\frac{50-39\,155/923}{50-18}.$$ Anslått antall over gjennomsnittet blir $$388+347\cdot\frac{50-39\,155/923}{32}\approx470{,}18.$$ Andelen er derfor $470{,}18:923\cdot100\%\approx50{,}9\%$. Antallet er ikke et eksakt antall personer, men et resultat av fordelingsantakelsen.

Et annet svar kan følge av en annen uttrykkelig antakelse: Hvis alle i hver klasse plasseres nøyaktig på midtpunktet, blir bare de 388 i klassene fra 50 år og oppover eldre enn gjennomsnittet, altså omtrent 42,0 %. Dette er en annen modell enn jevn fordeling. Den opprinnelige tabellen avgjør ikke den eksakte andelen.

Bredden er $0{,}60$ m og tykkelsen $0{,}075$ m. Volumet av laget er $$V=25\cdot0{,}60\cdot0{,}075=1{,}125\text{ m}^3.$$ De trenger 1,125 kubikkmeter grus etter målene i oppgaven.

Kjeglen har radius $2{,}5:2=1{,}25$ m. Volumet er $$V=\frac{\pi r^2h}{3}=\frac{\pi\cdot1{,}25^2\cdot1{,}0}{3}\approx1{,}636\text{ m}^3.$$ Dette er større enn $1{,}125\text{ m}^3$, med en forskjell på omtrent $0{,}511\text{ m}^3$. De har fått nok grus etter de oppgitte geometriske målene.