Løsningsforslag · LK20 · MAT1023

Matematikk 2P vår 2025

Prøv selv, eller få et hint.

2025-05-19 13 oppgaver 24 svar med forklaring

Originaleksamen (PDF)

Del 1

Uten hjelpemidler · eksamensordningen i 2025

Oppgave 1

88 % av elevene i en klasse deltar i en undersøkelse. Det er 3 elever som ikke deltar i undersøkelsen.

Hvor mange elever er det i klassen?

Få et hint

Hvor mange prosent av klassen utgjør de tre som ikke deltar?

Se løsning Oppgave 1

Andelen som ikke deltar, er $100\%-88\%=12\%$ . Når $12\%$ er 3 elever, er $4\%$ én elev. Da er hele klassen $100:4=25$ elever.

Oppgave 2

Trine og Truls står i kø for å ta en skiheis. De teller hvor mange personer som blir med i hver av vognene som kjører forbi før det blir deres tur. Resultatet er 6, 3, 2, 4, 4, 6, 2, 7, 8, 8.

a)

Bestem medianen og gjennomsnittet.

b)

Bestem den kumulative frekvensen for 6 personer, og gi en praktisk tolkning av svaret.

Løsning a)

Få et hint

Sorter antallene før du finner de to midterste verdiene.

Se løsning Oppgave 2 a

Sortert blir antallene $2,2,3,4,4,6,6,7,8,8$ . Medianen er gjennomsnittet av den femte og sjette verdien: $\frac{4+6}{2}=5.$ Summen er 50 personer fordelt på 10 vogner, så gjennomsnittet er $50:10=5$ personer per vogn.

Løsning b)

Få et hint

Tell vognene som har høyst seks personer.

Se løsning Oppgave 2 b

De sju verdiene $2,2,3,4,4,6,6$ er mindre enn eller lik 6. Den kumulative frekvensen er derfor 7. Sju av de ti vognene hadde høyst seks personer.

Oppgave 3

Lotta har kjøpt fire små og to store sekker med hundemat. Sekkene veier til sammen 44 kg. De store sekkene veier 7 kg mer enn de små.

Originalillustrasjon av en skål med hundemat.

Hvor mye veier en liten sekk, og hvor mye veier en stor sekk?

Få et hint

La en liten sekk veie

x

kg. Hvordan uttrykker du vekten av en stor?

Se løsning Oppgave 3

En liten sekk veier $x$ kg og en stor $x+7$ kg. Da får vi $4x+2(x+7)=44 \quad\Rightarrow\quad 6x+14=44 \quad\Rightarrow\quad x=5.$ En liten sekk veier 5 kg, og en stor veier 12 kg. Kontroll: $4\cdot5+2\cdot12=44$ kg.

Oppgave 4

Et område har form som en halvsirkel med radius $r=1{,}0$ m. Et annet område har form som en likebeint trekant $ABC$ , der $AB=3{,}0$ m og høyden $h=1{,}0$ m. Se figurene.

Originalfigur: halvsirkel med radius r og likebeint trekant ABC med høyde h og rett vinkel ved høydefoten.

Gjør beregninger og avgjør hvilket område som har størst areal, og hvilket område som har størst omkrets.

Få et hint

Bruk halve sirkelarealet og trekantens grunnlinje ganger høyde delt på to.

Se løsning Oppgave 4

Halvsirkelen har areal $A_s=\frac{\pi\cdot1^2}{2}=\frac\pi2\text{ m}^2.$ Trekanten har areal $A_t=3\cdot1:2=1{,}5\text{ m}^2$ . Siden $\pi>3$ , har halvsirkelen størst areal.

Omkretsen til halvsirkelen inkluderer diameteren: $O_s=\pi\cdot1+2=\pi+2$ m. Høyden i den likebeinte trekanten deler grunnlinjen i to like deler på $1{,}5$ m. Pytagoras gir hver skråside $s=\sqrt{1^2+1{,}5^2}=\frac{\sqrt{13}}2\text{ m}.$ Dermed er $O_t=3+\sqrt{13}$ m. Vi kan sammenlikne uten kalkulator: $\pi<4$ gir $O_s<6$ , mens $\sqrt{13}>3$ gir $O_t>6$ . Trekanten har størst omkrets.

Oppgave 5

Marco har tatt opp et lån med fast årlig rente. Lånet skal betales tilbake i løpet av 10 år, med én termin i året. Figuren viser nedbetalingsplanen.

Originalt søylediagram over ti terminer med avdrag på 10 000 kroner og renter som avtar fra 4 000 til 400 kroner.

a)

Hvor stort lån har Marco tatt opp?

b)

Er dette et annuitetslån eller et serielån? Husk å begrunne svaret.

Løsning a)

Få et hint

Lånebeløpet er summen av avdragene.

Se løsning Oppgave 5 a

Hvert av de ti avdragene er 10 000 kr. Lånet var derfor $10\cdot10\,000=100\,000$ kr. Rentene kommer i tillegg og er ikke en del av tilbakebetalingen av selve lånebeløpet.

Løsning b)

Få et hint

Hvilken del av terminbeløpet er lik i alle søylene?

Se løsning Oppgave 5 b

Dette er et serielån. Avdragene er like store, mens rentene synker når restgjelden blir mindre. Dermed synker også terminbeløpene. Et annuitetslån med uendret rente ville hatt like store terminbeløp.

Oppgave 6

Tabellen viser alderen til 100 medlemmer på et treningssenter.

Aldersfordeling
Alder (år)	Antall medlemmer
$[16,20)$	20
$[20,40)$	40
$[40,60)$	30
$[60,90)$	10

Trine påstår at gjennomsnittsalderen er ca. 38 år, og at medianalderen er ca. 35 år.

Gjør beregninger og vis at påstandene kan være riktige. Gjør rede for en mulig antakelse Trine kan ha gjort.

Få et hint

Anta at alderen er omtrent jevnt fordelt innenfor hvert intervall.

Se løsning Oppgave 6

Vi antar at alderen er omtrent jevnt fordelt i hvert intervall. Da kan klassemidtpunktene $18,30,50,75$ brukes til å anslå gjennomsnittet: $\bar x\approx\frac{20\cdot18+40\cdot30+30\cdot50+10\cdot75}{100}=\frac{3810}{100}=38{,}1\text{ år}.$ Dette er omtrent 38 år.

Det er 20 personer under 20 år og 60 personer under 40 år. Medianen ligger derfor i intervallet $[20,40)$ . Med jevn fordeling ligger grensen for de nederste 50 personene $\frac{50-20}{40}=\frac34$ inn i dette intervallet. Anslaget blir $20+\frac34\cdot20=35\text{ år}.$ Begge påstandene kan dermed være rimelige med samme antakelse. Tabellen gir ikke de eksakte aldersverdiene, så den bestemmer ikke et eksakt gjennomsnitt eller en eksakt median. Midtpunktene brukes her til å anslå klassens gjennomsnitt; vi antar ikke at alle personene faktisk har akkurat denne alderen.

Oppgave 7

Et av FNs bærekraftsmål er å redusere matsvinn. Sofie har lest at en familie på fire kaster ca. 160 kg mat hvert år. Hun har laget programmet nedenfor.

matsvinn = 160
mål = matsvinn / 2
vf = 0.87

år = 2025

while matsvinn > mål:
    matsvinn = matsvinn * vf
    år = år + 1

print(år)
print(matsvinn)

Utskrift som er gitt i oppgaven
Linje	Utskrift
1	2030
2	79.74734731199999

Forklar hva Sofie ønsker å finne ut. Hva forteller verdiene som blir skrevet ut når Sofie kjører programmet?

Få et hint

Hva betyr vekstfaktoren 0,87 for matsvinnet fra ett år til det neste?

Se løsning Oppgave 7

Programmet starter med 160 kg matsvinn per år i 2025. Målet er halvparten, altså 80 kg per år. Hver runde multipliserer det årlige matsvinnet med 0,87, en nedgang på 13 %, og øker årstallet med 1.

Løkken fortsetter så lenge matsvinnet er større enn 80 kg. Sofie finner det første hele året der familiens årlige matsvinn er halvert eller mer enn halvert med denne reduksjonen. Utskriften sier at dette skjer i 2030, da matsvinnet er omtrent $79{,}75$ kg per år. Verdien gjelder dette årets matsvinn, ikke summen av matsvinn gjennom alle årene.

Del 2

Med hjelpemidler · eksamensordningen i 2025

Oppgave 1

Ledelsen ved en bedrift ønsker å redusere utslippet av miljøskadelige stoffer de neste årene. I dag har bedriften to produksjonsprosesser. Utslippet fra den ene er 5000 tonn per år, og utslippet fra den andre er 1000 tonn per år.

Ledelsen mener at $U(x)=5000\cdot0{,}95^x+1000$ er en god modell for utslippet $U(x)$ tonn per år etter $x$ år.

a)

Forklar hva modellen forteller om ledelsens plan for å redusere utslippet.

b)

Hvor lang tid vil det gå før bedriften har halvert det årlige utslippet ifølge modellen?

c)

Hvor mange prosent er det årlige utslippet redusert med etter 10 år ifølge modellen?

Myndighetene har krevd at bedriften skal redusere det årlige utslippet til 800 tonn per år.

d)

Vurder om det ifølge modellen $U$ vil være mulig å oppfylle dette kravet.

Løsning a)

Få et hint

Se på vekstfaktoren og på leddet som ikke inneholder

x

Se løsning Oppgave 1 a

Prosessen som nå slipper ut 5000 tonn per år, skal redusere sitt årlige utslipp med 5 % hvert år. Den andre prosessen fortsetter med 1000 tonn per år. Modellen gjelder framtidig tid, $x\geq0$ . Hele bedriftens utslipp synker derfor ikke med 5 % hvert år, siden en del holdes konstant.

Løsning b)

Få et hint

Finn først halvparten av det samlede utslippet i dag.

Se løsning Oppgave 1 b

I dag er utslippet $U(0)=5000+1000=6000$ tonn per år. Halvparten er 3000 tonn per år. Vi løser derfor numerisk $5000\cdot0{,}95^x+1000=3000.$ En framgangsmåte i GeoGebra CAS er å skrive likningen nedenfor og velge numerisk løsning ( $x\approx$ ).

5000*0.95^x+1000=3000

Løsningen er $x\approx17{,}8638$ . Det tar omtrent 17,9 år. Dersom vi bare undersøker hele år, er år 18 det første med høyst halvparten av startutslippet.

Løsning c)

Få et hint

Sammenlikn

U(10)

med det opprinnelige samlede utslippet.

Se løsning Oppgave 1 c

Etter ti år gir modellen $U(10)=5000\cdot0{,}95^{10}+1000\approx3993{,}6847.$ Den prosentvise nedgangen er $\frac{6000-3993{,}6847}{6000}\cdot100\%\approx33{,}4\%.$ Utslippet er redusert med omtrent 33,4 %.

Løsning d)

Få et hint

Kan det konstante utslippet alene bli mindre enn kravet?

Se løsning Oppgave 1 d

For alle $x\geq0$ er $5000\cdot0{,}95^x>0$ , og derfor er $U(x)>1000$ . Utslippet nærmer seg 1000 tonn per år, men kommer ikke ned til 800. Kravet kan ikke oppfylles med denne modellen.

Oppgave 2

I et rom er det 10 personer. Aldrene deres er 12, 14, 40, 42, 70, 67, 5, 5, 28 og 30 år.

Påstand 1: Dersom det kommer en ny person inn i rommet, vil medianalderen endres.

a)

Er påstand 1 riktig? Husk å begrunne svaret.

Påstand 2: Dersom det kommer en ny person inn i rommet, kan gjennomsnittsalderen bli 30 år.

b)

Er påstand 2 riktig? Husk å begrunne svaret.

Løsning a)

Få et hint

Finn medianen for de ti aldrene. Hvor i den sorterte lista kan en ny alder havne, og hva blir da den midterste verdien?

Se løsning Oppgave 2 a

Sortert er alderen $5,5,12,14,28,30,40,42,67,70$ . Medianen er $(28+30):2=29$ år. Hvis den nye personen er 29 år, blir det elleve personer, og den sjette verdien er 29. Medianen er da uendret. Påstanden er derfor ikke alltid riktig.

Løsning b)

Få et hint

Hvor stor må summen av elleve aldre være når gjennomsnittet skal bli 30 år?

Se løsning Oppgave 2 b

Aldrene har sum $313$ . Hvis den nye personen er $x$ år, må $\frac{313+x}{11}=30.$ Da blir $x=330-313=17$ . En 17-åring gir gjennomsnitt 30 år, så påstanden er riktig.

Oppgave 3

Kari skal over en elv. Hun har laget skissen nedenfor. Avstanden fra $A$ til $D$ er 5 m, fra $D$ til $E$ er 10 m, og fra $B$ til $C$ er 40 m.

Originalskisse med A, D og B på samme linje, A, E og C på samme linje og rette vinkler ved D og B. AD er 5 m, DE er 10 m og BC er 40 m.

a)

Forklar at $\triangle ABC$ og $\triangle ADE$ er formlike.

b)

Vis Kari hvordan hun kan regne ut avstanden fra $B$ til $D$ .

Løsning a)

Få et hint

Hvilke to vinkler er like i de to trekantene?

Se løsning Oppgave 3 a

Trekantene har felles vinkel ved $A$ . Vinkelen ved $B$ og vinkelen ved $D$ er begge rette. To par like vinkler er nok til at trekantene er formlike.

Løsning b)

Få et hint

Bruk forholdet mellom de samsvarende sidene

BC

DE

Se løsning Oppgave 3 b

Forstørrelsesfaktoren fra den lille til den store trekanten er $BC:DE=40:10=4$ . Dermed er $AB=4\cdot AD=4\cdot5=20$ m. Siden $D$ ligger mellom $A$ og $B$ , blir $BD=AB-AD=20-5=15$ m.

Oppgave 4

En fuglebestand i et område er blitt halvert i løpet av de fem siste årene. I dag er det 12 000 fugler. Forskere mener bestanden vil fortsette å bli halvert hvert femte år framover.

Originalillustrasjon av fugler på ledninger.

a)

Vis at funksjonen $F(x)=12000\cdot0{,}87^x$ er en god modell for antallet fugler i bestanden etter $x$ år.

b)

Hvor stor vil bestanden være etter 7 år ifølge modellen?

c)

Hvor mange år vil det gå før bestanden er redusert med 35 % ifølge modellen?

Løsning a)

Få et hint

Hva blir vekstfaktoren for fem år med denne modellen?

Se løsning Oppgave 4 a

Modellen starter riktig: $F(0)=12\,000$ . For fem år er faktoren $0{,}87^5\approx0{,}4984$ , altså omtrent en halv. Den gir derfor omtrent en halvering for hvert femårsintervall. En nøyaktig årlig halveringsfaktor er $0{,}5^{1/5}\approx0{,}87055$ , som avrundes til 0,87. Den oppgitte modellen er en god tilnærming for $x\geq0$ .

Løsning b)

Få et hint

Sett

x=7

i den oppgitte modellen.

Se løsning Oppgave 4 b

Vi beholder vekstfaktoren i oppgaven: $F(7)=12\,000\cdot0{,}87^7\approx4527{,}06.$ Modellen gir omtrent 4527 fugler etter sju år.

Løsning c)

Få et hint

Hvor mange prosent av den opprinnelige bestanden skal være igjen?

Se løsning Oppgave 4 c

Når bestanden er redusert med 35 %, er 65 % igjen: $12\,000\cdot0{,}65=7800$ fugler. Vi løser $12\,000\cdot0{,}87^x=7800.$ Skriv likningen i GeoGebra CAS og velg numerisk løsning ( $x\approx$ ).

12000*0.87^x=7800

Løsningen er $x\approx3{,}0933$ . Det tar omtrent 3,1 år. Ved kontroll bare ved hele år blir år 4 det første med minst 35 % nedgang.

Oppgave 5

Konsumprisindeks for oktober
År	KPI
2021	117,2
2022	126,0
2023	131,1
2024	134,5

Felix leier en leilighet. I oktober 2023 gikk husleien opp til 8500 kroner per måned. Oppgaven oppgir at ny leie kan fastsettes én gang i året, tidligst ett år etter forrige leiefastsetting, og at endringen ikke kan overstige endringen i konsumprisindeksen. I oktober 2024 fikk Felix varsel om at leien skulle økes til 9000 kroner per måned.

a)

Gjør beregninger og avgjør om huseieren hadde lov til å sette opp leien til 9000 kroner per måned på dette tidspunktet.

b)

Lag en oversikt som viser hvor mange prosent konsumprisen økte med per år fra oktober 2021 til oktober 2024.

c)

Gjør antakelser og beregninger, og finn ut hvor mye Felix må regne med å betale i husleie per måned fra og med oktober 2026.

Løsning a)

Få et hint

Finn husleien hvis den øker i samme forhold som KPI fra 2023 til 2024.

Se løsning Oppgave 5 a

Et helt år har gått. Ut fra regelen i oppgaven er største leie etter KPI-justering $8500\cdot\frac{134{,}5}{131{,}1}\approx8720{,}44\text{ kr}.$ 9000 kr overstiger dette. Huseieren kunne derfor ikke øke leien til 9000 kr etter den oppgitte regelen.

Løsning b)

Få et hint

Bruk endringen delt på indeksen ved starten av hvert årsintervall.

Se løsning Oppgave 5 b

For hvert årsintervall bruker vi $\frac{\text{ny KPI}-\text{gammel KPI}}{\text{gammel KPI}}\cdot100\%$ . For eksempel gir 2021–2022 $\frac{126{,}0-117{,}2}{117{,}2}\cdot100\%\approx7{,}51\%$ .

Årlig endring i KPI
Fra oktober	Til oktober	Økning
2021	2022	7,51 %
2022	2023	4,05 %
2023	2024	2,59 %

Vi har ikke indeksen for 2020 og kan derfor ikke beregne en årsøkning fram til oktober 2021.

Løsning c)

Få et hint

Velg og begrunn en antakelse om framtidig årlig KPI-vekst.

Se løsning Oppgave 5 c

Et mulig anslag er å anta at den siste årlige KPI-veksten fortsetter i 2025 og 2026, og at huseieren justerer leien fullt ut etter KPI hvert år. Vi tar utgangspunkt i den tillatte KPI-justerte leien, ikke varselet på 9000 kr. Den årlige faktoren blir $134{,}5:131{,}1\approx1{,}025934$ . Fra oktober 2023 til oktober 2026 er det tre årsjusteringer: $8500\left(\frac{134{,}5}{131{,}1}\right)^3\approx9178{,}63\text{ kr}.$ Med disse antakelsene bør Felix regne med omtrent 9180 kr per måned. Andre begrunnede antakelser om framtidig prisvekst kan gi andre anslag; tabellen bestemmer ikke leien i 2026.

Oppgave 6

Data fra Statistisk sentralbyrå
År	Antall fødte	Antall døde	Fødselsrate	Dødsrate	Samlet fruktbarhetstall
1983	49 937	42 224	12,1	10,2	1,66
1993	59 678	46 597	13,8	10,8	1,86
2003	56 458	42 478	12,4	9,3	1,80
2013	58 995	41 282	11,6	8,1	1,78
2023	51 980	43 803	9,4	7,9	1,40

Fødselsrate og dødsrate er antallet fødte og døde per 1000 innbyggere. Samlet fruktbarhetstall forteller hvor mange barn som i gjennomsnitt fødes per kvinne.

Tenk deg at du skal presentere datamaterialet i et foredrag. Gjør relevante sammenlikninger og beregninger, og lag ulike framstillinger som du kan bruke i en presentasjon. Presentasjonen skal inneholde diagrammer som illustrerer utviklingen fra 1983 til 2023, og beregninger som viser prosentvise endringer fra 1983 til 2023.

Få et hint

Grupper størrelsene etter enhet før du velger diagrammer.

Se løsning Oppgave 6

En presentasjon kan deles i tre: antall personer, rater per 1000 innbyggere og barn per kvinne. Lag tre linjediagrammer med alle fem årstallene på vannrett akse. Det første viser fødte og døde med antall personer på loddrett akse; det andre viser de to ratene per 1000; det tredje viser fruktbarhetstallet. Skill seriene med farger og forklaring. Punktene er observasjoner for fem utvalgte år; forbindelseslinjene viser ikke de ukjente verdiene for hvert mellomliggende år.

Endringene beregnes som $\frac{\text{verdi i 2023}-\text{verdi i 1983}}{\text{verdi i 1983}}\cdot100\%$ . For antall fødte får vi eksempelvis $\frac{51\,980-49\,937}{49\,937}\cdot100\%\approx4{,}09\%.$

Utvikling fra 1983 til 2023
Størrelse	Endring i verdi	Prosentvis endring
Fødte	+2 043 personer	+4,09 %
Døde	+1 579 personer	+3,74 %
Fødselsrate	−2,7 per 1000	−22,31 %
Dødsrate	−2,3 per 1000	−22,55 %
Fruktbarhetstall	−0,26 barn per kvinne	−15,66 %

Antallet fødte og døde er litt høyere i 2023 enn i 1983, samtidig som begge ratene er lavere. Et antall og en rate beskriver derfor ulike sider av utviklingen. Fødselsoverskuddet var 49 937 − 42 224 = 7713 personer i 1983 og 51 980 − 43 803 = 8177 i 2023. Det er 464 flere, omtrent 6,02 % økning.

Blant de fem observasjonsårene var både antall fødte og fruktbarhetstallet høyest i 1993. Antall fødte økte fra 2003 til 2013 før det sank fram til 2023, mens fruktbarhetstallet sank gjennom disse observasjonsårene. En avslutning kan framheve at litt flere fødsler totalt ikke betyr at hver kvinne i gjennomsnitt får flere barn.

Diagrammene nedenfor er laget i GeoGebra med alle observasjonene i tabellen. Antall personer, rater per 1000 og barn per kvinne får hvert sitt diagram fordi enhetene er forskjellige.

Åpne bildet i full størrelse ↗

Jobb videre med 2P

Vil du forstå mer av faget?

Bruk 2P-kurset til å repetere metoden før du prøver en ny oppgave.

Flere eksamensoppgaver i 2P