Matematikk 2P vår 2026

Vi finner 20 prosent av 5200: $$5200\cdot\frac{20}{100}=\frac{5200}{5}=1040.$$ Det er 1040 brune egg.

Sortert får vi $1,1,3,5,5,6,6,6,20,30$. Det er ti observasjoner, så medianen er gjennomsnittet av den femte og den sjette: $$\text{median}=\frac{5+6}{2}=5{,}5.$$

Summen av antallene er $83$. Gjennomsnittet er derfor $$\overline{x}=\frac{83}{10}=8{,}3.$$ Variasjonsbredden er største minus minste verdi: $30-1=29$. Typetallet er $6$, som forekommer tre ganger, flest av alle.

Tre av ti tog hadde 6 vogner. Den relative frekvensen er $$\frac{3}{10}=0{,}3=30\,\%.$$ Det betyr at 30 prosent av togene Anita observerte denne dagen, hadde 6 vogner.

En vekstfaktor $v$ gir prosentendring $(v-1)\cdot100\,\%$. Omvendt er $v=1+\frac{p}{100}$, der $p$ er negativ ved nedgang.

For eksempel er $1-0{,}28=0{,}72$, og $(0{,}67-1)\cdot100\,\%=-33\,\%$. Vekstfaktor 2 betyr en dobling, altså 100 prosent vekst.

Kall prisen før endringene $P$. Etter nedgangen er prisen $0{,}8P$. Oppgangen regnes av dette mindre beløpet, slik at sluttprisen blir $$P\cdot0{,}8\cdot1{,}2=0{,}96P.$$ Varen koster mindre enn før: prisen er 4 prosent lavere.

Faktoren $1{,}05$ betyr én prisøkning på 5 prosent. Faktoren $0{,}85$ betyr en prisreduksjon på 15 prosent. Den er opphøyd i andre, så prisen er redusert med 15 prosent to ganger.

Sluttprisen er $40\,000$ kroner. Ganger vi prisen før endringene med alle tre faktorene, får vi sluttprisen; derfor divideres sluttprisen med produktet for å finne den gamle prisen. Rekkefølgen på de tre endringene kan ikke bestemmes fra produktet alene.

Indeksen i basisåret er 100. Forholdet mellom prisene er derfor $\frac{125}{100}=1{,}25$. Dagens pris blir $$160\cdot\frac{125}{100}=200\text{ kr}.$$

2015 er basisåret. Konsumprisindeksen er definert som 100 i basisåret.

Reallønnen må fortsatt være 500 000 kroner, målt i samme basisårs kroneverdi. Reallønn er lønn korrigert for prisnivå; samme reallønn gir samme kjøpekraft. Det er den nominelle lønnen som må øke når prisnivået øker.

Lønnen må øke med samme faktor som prisnivået: $$1\,000\,000\cdot\frac{137{,}7}{100}=1\,377\,000\text{ kr}.$$ Den nominelle lønnen må være 1 377 000 kroner.

$5{,}0\text{ cm}=50\text{ mm}$. Målestokken er forholdet tegning : virkelighet: $$50:2=25:1.$$ Tegningen er en forstørrelse der lengdene er 25 ganger de virkelige lengdene.

Vi regner fra venstre mot høyre. Den første trekanten har grunnlinje 6 og høyde 4: $$A_1=\frac{6\cdot4}{2}=12.$$ Den andre har grunnlinje $10-8=2$ og høyde 4. Høyden faller utenfor grunnlinjen, men formelen gjelder likevel: $$A_2=\frac{2\cdot4}{2}=4.$$

Trapesets parallelle sider er $19-10=9$ og $20-14=6$. Høyden er 4: $$A_3=\frac{9+6}{2}\cdot4=30.$$ Den siste figuren er tre firedeler av en sirkel med sentrum $(24,2)$ og radius 2: $$A_4=\frac34\pi\cdot2^2=3\pi\approx9{,}42.$$ Arealene er 12, 4, 30 og $3\pi$ arealenheter; figuren angir ingen bestemt lengdeenhet som centimeter.

Minst én av faktorene må være null: $$x-2=0\quad\text{eller}\quad x+3=0.$$ Dermed er løsningene $$x=2\quad\text{eller}\quad x=-3.$$ Begge gjør en faktor i det opprinnelige produktet lik null.

Legg sammen de to likningene. Da forsvinner $y$: $$4x+y+3x-y=8+6\quad\Rightarrow\quad7x=14\quad\Rightarrow\quad x=2.$$

Sett $x=2$ inn i den første likningen: $$4\cdot2+y=8\quad\Rightarrow\quad y=0.$$ Løsningen er $(x,y)=(2,0)$. Kontroll i den andre likningen gir $3\cdot2-0=6$.

Skriv likningene som $y=8-4x$ og $y=3x-6$. Første linje går gjennom $(0,8)$ og $(2,0)$. Andre linje går gjennom $(0,-6)$ og $(2,0)$. Tegn begge linjene med linjal i samme koordinatsystem, med navn på aksene og tydelig skala.

Linjenes skjæringspunkt er $(2,0)$, så $x=2$ og $y=0$. Dette er del 1 uten hjelpemidler; på eksamen tegner du for hånd. Illustrasjonen nedenfor viser hvordan tegningen kan se ut.

Listen inneholder fem tall: $2,4,8,16,20$. Variabelen $a$ blir antallet $5$, og $s$ blir summen $50$. Dermed blir $$g=\frac{s}{a}=\frac{50}{5}=10.$$

Programmet skriver først Resultat: og deretter 10.0. Verdien er gjennomsnittet av tallene i listen.

$A=(50,70)$ betyr at 70 prosent av personene er yngre enn 50 år. Det svarer til $$0{,}70\cdot200=140\text{ personer}.$$ Aldersgruppene er halvåpne, slik at personer som er nøyaktig 50 år, tilhører neste gruppe.

Ved 20 år er den kumulative frekvensen 30 prosent, og ved 30 år er den 60 prosent. Medianen avleses ved 50 prosent, altså 20 av de 30 prosentpoengene inn i dette intervallet: $$20+\frac{50-30}{60-30}\cdot(30-20)=26\frac23\approx26{,}7\text{ år}.$$

Hun kan derfor anta at medianalderen er omtrent 26–27 år. Hun må anta at alderen er omtrent jevnt fordelt innen intervallet 20–30 år, slik at avlesning langs et rett linjestykke er rimelig. Tabellen alene gir ikke den nøyaktige medianen.

En eksponentialmodell med startverdi 16 000 har formen $U(x)=16\,000\cdot a^x$. Etter seks år skal verdien være 8000: $$16\,000a^6=8000\quad\Rightarrow\quad a^6=\frac12.$$

Vekstfaktoren er positiv, så $$a=\sqrt[6]{\frac12}\approx0{,}8908987\approx0{,}89.$$ Avrunding til to desimaler gir modellen ledelsen foreslår. Den avrundede modellen halverer ikke helt nøyaktig hvert sjette år; en eksakt halveringsmodell ville vært $16\,000\cdot(1/2)^{x/6}$.

Faktoren $0{,}89$ betyr at 89 prosent av forrige års verdi står igjen. Reduksjonen er $$100\,\%-89\,\%=11\,\%$$ per år.

Vi bruker den oppgitte modellen med faktor $0{,}89$: $$U(0)=16\,000,\qquad U(5)=16\,000\cdot0{,}89^5\approx8934{,}495.$$

Gjennomsnittlig endring er $$\frac{U(5)-U(0)}{5-0}\approx\frac{8934{,}495-16\,000}{5}\approx-1413{,}1.$$ Det årlige utslippet reduseres i gjennomsnitt med omtrent 1413 tonn for hvert år som går i denne femårsperioden. Det negative fortegnet i endringsraten viser nedgang.

Summen er 45 dager, og det er 15 ansatte. Gjennomsnittet er $$\overline{x}=\frac{45}{15}=3\text{ dager}.$$ Sortert blir dataene $0,0,0,0,1,1,1,1,1,2,2,4,5,12,15$. Den åttende observasjonen er 1, så medianen er 1 dag.

Dataene omfatter alle de 15 ansatte. Vi bruker derfor standardavvik med nevner 15. Summen av de kvadrerte observasjonene er 423, så $$\sigma=\sqrt{\frac{423}{15}-3^2}=\sqrt{19{,}2}\approx4{,}38\text{ dager}.$$

I et regneark kan du legge observasjonene i A1:A15 og bruke GJENNOMSNITT(A1:A15), MEDIAN(A1:A15) og STDAV.P(A1:A15). De to store verdiene 12 og 15 trekker gjennomsnittet og spredningen opp.

Bare to ansatte har mer enn 5 fraværsdager: de med 12 og 15. Kumulativ frekvens for 5 dager er derfor 15 − 2 = 13. Det betyr at 13 ansatte hadde høyst 5 fraværsdager i 2025.

Begge bedriftene har 15 ansatte og gjennomsnitt 3 dager. De har dermed samme totale fravær: $15\cdot3=45$ dager.

Høyere median betyr at den midterste observasjonen i bedrift B er større enn 1 dag. Lavere standardavvik betyr at fraværsdagene samlet ligger tettere rundt gjennomsnittet 3 dager, målt ved kvadrerte avvik. Det betyr ikke at hver ansatt i B har mer fravær, eller at maksimum eller antallet under en bestemt grense er fastlagt.

Nei. Et moteksempel for bedrift B er $$2,2,2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,6,6,6.$$

Det er 15 observasjoner med sum $9\cdot2+3\cdot3+3\cdot6=45$, altså gjennomsnitt 3. Medianen er 2, som er høyere enn 1. Standardavviket er $$\sqrt{\frac{9(2-3)^2+3(3-3)^2+3(6-3)^2}{15}}=\sqrt{2{,}4}\approx1{,}55,$$ som er lavere enn 4,38.

Likevel har bare 12 av de ansatte høyst 5 fraværsdager, mot 13 i A. Alle opplysningene om B er oppfylt, mens Karis påstand er usann. Derfor trenger ikke den kumulative frekvensen være høyere.

Dette er ett mulig presentasjonsutvalg. Vi sammenligner nyhetskildene mellom årene med et gruppert stolpediagram og viser fordelingen av nyhetsunngåelse med et sektordiagram.

Smarttelefon øker fra 32 til 50 prosent: $50-32=18$ prosentpoeng. Relativ økning er $$\frac{50-32}{32}\cdot100\,\%=56{,}25\,\%.$$ Papiravis faller fra 7 til 2 prosent, altså 5 prosentpoeng og en relativ nedgang på $$\frac{7-2}{7}\cdot100\,\%\approx71{,}4\,\%.$$

Radio faller fra 19 til 14 prosent: 5 prosentpoeng eller $\frac{5}{19}\cdot100\,\%\approx26{,}3\,\%$. PC faller 3 prosentpoeng, TV 2 og nettbrett 1. «Ingen av disse» er uendret på 4 prosent; «Vet ikke» faller 2 prosentpoeng.

Lag et gruppert stolpediagram med alle åtte kategoriene, én serie for 2019 og én for 2025, felles prosentskala fra null og en tydelig årsforklaring. Det viser at smarttelefon har økt, mens de øvrige navngitte mediene har falt.

I nyhetsunngåelsen svarer $29+23+7=59\,\%$ at de unngår nyheter med en av de oppgitte hyppighetene. $23+7=30\,\%$ svarer noen ganger eller ofte. 37 prosent svarer aldri og 4 prosent vet ikke.

Et sektordiagram viser hele 2025-fordelingen: Aldri 37 %, En gang iblant 29 %, Noen ganger 23 %, Ofte 7 % og Vet ikke 4 %. Bruk alle fem kategoriene, prosentetiketter og forklaring. Andelene summerer til 100 prosent.

Diagrammene viser disse to valgene. Tallene beskriver svarfordelingen. De forteller ikke alene hvorfor vanene har endret seg eller om de samme personene både bruker en bestemt kilde og unngår nyheter.

Vi antar betaling ved slutten av hver måned og ingen gebyrer. Renten er $0{,}975\,\%=0{,}00975$ per måned. I denne planen avrundes hver måneds rente til nærmeste øre.

For hver måned beregner vi rente = inngående restgjeld $\cdot0{,}00975$, avdrag = betaling − rente, og utgående restgjeld = inngående restgjeld − avdrag. Siste betaling begrenses til restgjeld pluss rente.

Første måned blir renten $75\,000\cdot0{,}00975=731{,}25$ kr. Avdraget blir $3520-731{,}25=2788{,}75$ kr, og restgjelden blir $72\,211{,}25$ kr.

Etter 24 betalinger på 3520 kroner gjenstår 0,32 kroner. Den siste raden betaler dette restbeløpet; avrundet rente blir 0,00 kroner. Totalt er betalt 84 480,32 kroner, hvorav 9480,32 kroner er renter.

Alternativt kan siste ordinære betaling økes fra 3520,00 til 3520,32 kroner, slik at lånet avsluttes etter 24 måneder. Dette må oppgis uttrykkelig. Uten øreavrunding underveis gjenstår omtrent 0,33 kroner etter 24 terminer; forskjellen skyldes avrundingsmåten.

I GeoGebras regneark legger vi lånebeløpet 75000 i A2, månedsrenten 0.00975 i B2 og terminbeløpet 3520 i C2. Rad 4 har overskriftene Måned, Startgjeld, Rente, Betaling, Avdrag og Restgjeld i kolonnene A–F. Første måned ligger i rad 5. Tabellen viser formlene som brukes; desimalpunkt og komma som argumentskille følger GeoGebras engelske inndata.

Fortsett med samme rente-, betalings-, avdrags- og restgjeldsformler i hver rad, med radnummeret til den aktuelle måneden. Måned 25 ligger i rad 29. Rad 30 summerer renter, betalinger og avdrag. MIN-funksjonen begrenser siste betaling til gjelden pluss renten, og avrunding til to desimaler gir hele øre. Et norsk regneark kan bruke AVRUND og SUMMER samt semikolon mellom argumentene. I skjermbildene er månedsrenten vist med fem desimaler; pengebeløp har høyst to desimaler, og avsluttende nuller vises ikke alltid.