Matematikk R1 høst 2024

Funksjonen er definert for $x\ne0$. Vi bruker brøkregelen med $u=e^{2x}$ og $v=x$. Kjerneregelen gir $u'=2e^{2x}$, mens $v'=1$.

$$f'(x)=\frac{u'v-uv'}{v^2}=\frac{2e^{2x}x-e^{2x}}{x^2}.$$

Ved å sette $e^{2x}$ utenfor parentes får vi

$$\boxed{f'(x)=\frac{e^{2x}(2x-1)}{x^2}},\qquad x\ne0.$$

Programmet starter med $x=0$ og øker $x$ med 1 så lenge neste funksjonsverdi er større. Vi undersøker løkkebetingelsen algebraisk:

$$\begin{aligned}O(x+1)-O(x)&=-0{,}1\big((x+1)^2-x^2\big)+2000\\&=1999{,}9-0{,}2x.\end{aligned}$$

Løkka fortsetter når $1999{,}9-0{,}2x>0$, altså når $x<9999{,}5$. Siden $x$ bare tar heltallsverdier, er testen fortsatt sann ved $x=9999$. Da økes $x$ til $10000$. Ved neste test er differansen $-0{,}1$, så løkka stopper. Programmet skriver ut

Vi setter $u=10^x$. Da er $u>0$, og $100^x=(10^x)^2=u^2$. Likningen blir

$$u^2-3u-4=0\quad\Longleftrightarrow\quad(u-4)(u+1)=0.$$

Dette gir $u=4$ eller $u=-1$. Den negative verdien er umulig fordi $10^x>0$. Derfor er

$$10^x=4\quad\Longrightarrow\quad\boxed{x=\lg4}.$$

Vi dividerer teller og nevner med $x^2$:

$$\lim_{x\to\infty}\frac{x^2+x-12}{2x^2-18}=\lim_{x\to\infty}\frac{1+\frac1x-\frac{12}{x^2}}{2-\frac{18}{x^2}}.$$

Når $x\to\infty$, går alle leddene med $1/x$ eller $1/x^2$ mot null. Nevneren går mot $2\ne0$, så grenseverdien eksisterer og er $\boxed{\frac12}$.

Kvadratene av lengdene er

$$\begin{aligned}|\vec u|^2&=3^2+(-2)^2=13,&|\vec v|^2&=4^2+(-6)^2=52,\\|\vec w|^2&=2^2+(-3)^2=13,&|\vec p|^2&=8^2+12^2=208.\end{aligned}$$

Bare $\vec u$ og $\vec w$ er like lange; begge har lengde $\sqrt{13}$.

For ortogonalitet undersøker vi alle de seks ulike parene:

$$\begin{aligned}\vec u\cdot\vec v&=24,&\vec u\cdot\vec w&=12,&\vec u\cdot\vec p&=0,\\\vec v\cdot\vec w&=26,&\vec v\cdot\vec p&=-40,&\vec w\cdot\vec p&=-20.\end{aligned}$$

Bare $\boxed{\vec u\perp\vec p}$, siden dette er det eneste paret med skalarprodukt null.

Vi setter inn koordinatene:

$$\vec u+2\vec q=[3,-2]+2[2a-3,1+3b]=[4a-3,6b].$$

Likhet med $[7,5]$ gir $4a-3=7$ og $6b=5$. Dermed får vi

$$\boxed{a=\frac52,\qquad b=\frac56}.$$

Fra originalgrafen leser vi av

$$\begin{aligned}\frac{f(4)-f(0)}4&=\frac{2-0}4=\frac12,\\\frac{g(4)-g(0)}4&=\frac{4-2}4=\frac12,\\\frac{h(4)-h(0)}4&=\frac{4-4}4=0.\end{aligned}$$

Dermed kan vi utelukke $h$. Grafen til $g$ er en rett linje med stigningstall $1/2$, så $g'(1)=1/2$, ikke 1. Oppgaven opplyser at én av funksjonene oppfyller begge vilkårene. Derfor må svaret være $\boxed{f}$, den oransje grafen. Tangentretningen ved $x=1$ er også forenlig med stigningstall 1. Vi trenger ikke anta en funksjonsformel som ikke er oppgitt.

Ved start er $V(0)=10000+500=10500$ liter. Halvparten er 5250 liter, så vi løser

$$10000e^{-0{,}07t}+500=5250\quad\Longleftrightarrow\quad e^{-0{,}07t}=\frac{19}{40}.$$

Dette gir

$$t=-\frac{100}{7}\ln\!\left(\frac{19}{40}\right)\approx10{,}63.$$

Vannmengden er halvert etter omtrent $\boxed{10{,}6\text{ timer}}$. Vi halverer hele startvolumet, ikke bare eksponentialleddet.

I GeoGebra CAS skriver vi først definisjonen nedenfor. Vi skriver så likningen i neste rad og velger Løs-knappen ($x=$). Radhenvisningen i tredje rad evalueres numerisk med $\approx$-knappen.

Kjerneregelen gir

$$V'(t)=-700e^{-0{,}07t},\qquad V''(t)=49e^{-0{,}07t}.$$

Etter 12 timer får vi

$$\boxed{V'(12)\approx-302{,}2\ \text{L/time}},\qquad\boxed{V''(12)\approx21{,}15\ \text{L/time}^2}.$$

Vannmengden minker med omtrent 302 liter per time på dette tidspunktet. Den positive andrederiverte betyr at volumets endringsfart blir mindre negativ: lekkasjen målt i liter per time avtar. Økningen i $V'$ er omtrent 21,15 liter per time per time ved $t=12$.

Med den lagrede V-funksjonen skriver vi disse to uttrykkene i CAS og velger numerisk evaluering ($\approx$):

Når $t\to\infty$, går $e^{-0{,}07t}\to0$. Derfor er

$$\lim_{t\to\infty}V(t)=500,$$

og $\boxed{V=500}$ er en horisontal asymptote. Modellen sier at vannmengden nærmer seg 500 liter, men aldri når denne verdien ved et endelig tidspunkt.

Funksjonen er endelig og kontinuerlig for alle endelige t-verdier, så den har ingen vertikal asymptote. I den praktiske situasjonen bruker vi $t\ge0$. At 500 liter blir igjen, er en egenskap ved modellen og ingen garanti for hva det virkelige reservoaret gjør på lang sikt.

Påstanden er usann. Ett moteksempel er

$$f(x)=e^{-x^2},\qquad g(x)=2e^{-x^2},\qquad x\in\mathbb R.$$

Begge funksjonene går mot 0 både når $x\to\infty$ og når $x\to-\infty$. Likevel er $f(0)=1$ og $g(0)=2$, så de er ikke samme funksjon. Like grenseverdier i begge ender bestemmer ikke alle funksjonsverdiene.

Påstanden er sann. Vi kan skrive

$$|x|=\begin{cases}-x,&x<0,\\x,&x\ge0.\end{cases}$$

For $x<0$ er den deriverte $-1$, og for $x>0$ er den deriverte 1. Begge delene er derfor deriverbare utenfor null.

Ved null blir differansekvotienten $\frac{|h|-0}{h}$. Den går mot $-1$ når $h\to0^-$, og mot 1 når $h\to0^+$. De to grensene er ulike, så $f'(0)$ eksisterer ikke.

Påstanden er usann. Grunntallet $a=1$ er tillatt i den trykte påstanden. Velger vi $x=0$ og $y=2$, får vi

$$1^0=1^2=1,\qquad\text{men }0\ne2.$$

Dette ene moteksemplet er nok. Med vilkårene $a>0$ og $a\ne1$ ville eksponentialfunksjonen vært strengt monoton, og da ville likheten gitt $x=y$. Disse vilkårene er ikke med i påstanden.

Vi legger inn alle de ni punktene, med måneder som førstekoordinat og tusen fisk som andrekoordinat. I CAS bruker vi x som funksjonsvariabel; den representerer den samme tiden som t i oppgaven. Vi evaluerer lista og bruker numerisk evaluering ($\approx$) på FitGrowth-raden. Den lagrede modellen beholdes med full presisjon.

Regresjonen gir, med avrundede koeffisienter,

$$A(t)\approx1{,}6011562\cdot1{,}6340661^t.$$

Altså er $\boxed{A_0\approx1{,}601}$ tusen fisk og $\boxed{k\approx1{,}634}$. Modellen anslår omtrent 1601 fisk ved første registrering. Dette er en tilpasset startverdi, ikke den målte startverdien på 1000 fisk. Faktoren k betyr at antallet ifølge modellen vokser med omtrent $(1{,}6340661-1)\cdot100\%\approx63{,}4\%$ per måned. Skjermbildet viser også den logistiske tilpasningen som brukes i b.

Vi bruker samme punktliste L og numerisk evaluering ($\approx$) av FitLogistic. Med x som funksjonsvariabel lagres modellen for videre derivasjon.

Tilpasningen gir

$$N(t)\approx\frac{111{,}37344}{1+57{,}204756e^{-0{,}52439251t}}.$$

Vi sammenlikner dette med formen i oppgaven. Da er $B\approx111{,}37344$ og $r\approx0{,}52439251$. Fortegnet foran rt er allerede minus, så r er positiv.

Setter vi $C=57{,}204756$, har vi

$$C=\frac{B-N_0}{N_0}\quad\Longrightarrow\quad N_0=\frac{B}{1+C}\approx1{,}9134766.$$

Dermed er

$$\boxed{N_0\approx1{,}913,\quad B\approx111{,}373,\quad r\approx0{,}524393}.$$

N₀ og B måles i tusen fisk: modellen anslår omtrent 1913 fisk ved start og en bæreevne på omtrent 111 373 fisk. Vekstparameteren r har enhet per måned; den er ikke en konstant månedlig prosentvekst. De tilpassede parameterne er ikke eksakte biologiske størrelser.

For eksponentialmodellen får vi

$$A'(t)=A_0\ln(k)k^t\approx0{,}7862821e^{0{,}49107145t}.$$

Siden $k>1$, er A′ positiv og stadig økende. Modellen sier at antallet nye fisk per måned øker uten noen øvre grense.

For den logistiske modellen skriver vi $C=(B-N_0)/N_0$. Kjerneregelen gir

$$N'(t)=\frac{BrCe^{-rt}}{(1+Ce^{-rt})^2}.$$

Med de tilpassede koeffisientene kan dette skrives

$$N'(t)\approx\frac{3340{,}952e^{-0{,}52439251t}}{(1+57{,}204756e^{-0{,}52439251t})^2}.$$

Begge deriverte måles i tusen fisk per måned. Koeffisientene som vises, er avrundede; ekstra sifre i et produkt gir ikke mer presisjon i selve tilpasningen. Vi får de numeriske uttrykkene fra de lagrede modellene, uten å skrive inn avrundede modeller på nytt:

N′ er positiv, men øker ikke hele tiden. Setter vi $u=Ce^{-rt}>0$, får vi

$$N''(t)=\frac{Br^2u(u-1)}{(1+u)^3}.$$

Derfor øker vekstfarten så lenge $u>1$, og minker når $u<1$. Overgangen skjer ved

$$Ce^{-rt}=1\quad\Longrightarrow\quad t=\frac{\ln C}{r}\approx7{,}72\text{ måneder}.$$

N′ øker altså først, når et maksimum på omtrent $Br/4\approx14{,}60$ tusen fisk per måned, og avtar deretter mot null. Antallet fisk fortsetter å øke, men stadig langsommere etter vendepunktet.

Jeg velger den logistiske modellen. Den følger de registrerte punktene tett og tar høyde for at begrenset mat og plass kan gi en øvre bestand. Eksponentialmodellen fortsetter med samme prosentvise vekst og blir raskt svært stor. Dette gjør den mindre rimelig som langtidsmodell for innsjøen.

I figuren er den vannrette aksen måneder og den loddrette aksen tusen fisk. De ni punktene er observasjonene til og med måned 8. Den røde eksponentialkurven A vokser stadig brattere; den blå logistiske kurven N flater gradvis ut. Kurvene etter måned 8 er framskrivinger, ikke flere målinger. Praktisk tid er ikke-negativ; den lille negative margen i figuren er bare et utsnitt av koordinatsystemet.

Vi bruker den lagrede logistiske modellen til å regne ut antallet ved t=12:

CAS gir $N(12)\approx100{,}71625$ tusen fisk, altså omtrent 100 716 fisk. Et passende avrundet svar er $\boxed{101\,000\text{ fisk}}$.

Prognosen er fire måneder utenfor observasjonsperioden og er usikker: vi har bare observert de første åtte månedene, og bæreevnen er ikke sikkert bestemt. Mattilgang, konkurranse og andre endringer kan gjøre videre vekst annerledes enn modellen beskriver.

Grafen går gjennom $(5,1)$. Dermed er $\log_a5=1$, som etter definisjonen av logaritmen betyr

$$a^1=5\quad\Longrightarrow\quad\boxed{a=5}.$$

Dette stemmer også med punktet $(25,2)$, siden $5^2=25$. Grunntallet oppfyller kravene $a>0$ og $a\ne1$.

Klammene i figuren markerer endepunkter som er med, og vinkelmerkene endepunkter som ikke er med. Dermed er $D_f=[0,2)$, den stigende g-grenen er tegnet for $-2<x<1$ og den fallende g-grenen for $1\le x\le2$.

En funksjon er inverterbar når den er injektiv: en vannrett linje skal treffe grafen høyst én gang.

f er strengt voksende på den tegnede høyre grenen, og har derfor en omvendt funksjon. h tar samme y-verdi flere steder, for eksempel nær y=5, og har ingen omvendt funksjon på hele det tegnede området.

Den stigende g-grenen har verdimengde $(-3,0)$, mens den fallende grenen har verdimengde $[0,2]$. Hver gren er strengt monoton, og verdimengdene er atskilte. Dermed har også g en omvendt funksjon.

Med endepunktene fra a er f den høyre parabelformen $f(x)=x^2+3$ for $0\le x<2$. Vi løser

$$y=x^2+3\quad\Longrightarrow\quad x=\sqrt{y-3},$$

fordi den opprinnelige x-verdien er ikke-negativ. Dermed får vi

$$\boxed{f^{-1}(x)=\sqrt{x-3},\qquad D_{f^{-1}}=[3,7)}.$$

For g leser vi de rette grenene som

$$g(x)=\begin{cases}x-1,&-2<x<1,\\-2x+4,&1\le x\le2.\end{cases}$$

Vi inverterer hver gren på dens egen verdimengde. Fra $y=x-1$ får vi $x=y+1$, og fra $y=-2x+4$ får vi $x=(4-y)/2$. Derfor er

$$\boxed{g^{-1}(x)=\begin{cases}x+1,&-3<x<0,\\\dfrac{4-x}{2},&0\le x\le2,\end{cases}\qquad D_{g^{-1}}=(-3,2].}$$

h har ingen omvendt funksjon på hele det tegnede området.

Hastighetsvektorene er

$$\vec v_1(t)=\vec r_1'(t)=[6,-3],\qquad\vec v_2(t)=\vec r_2'(t)=[5,4].$$

Fart er lengden av hastighetsvektoren. Dermed får vi konstante farter

$$\boxed{|\vec v_1|=\sqrt{6^2+(-3)^2}=3\sqrt5\approx6{,}71\ \text{m/s}},$$

$$\boxed{|\vec v_2|=\sqrt{5^2+4^2}=\sqrt{41}\approx6{,}40\ \text{m/s}}.$$

I GeoGebra kaller vi de to posisjonsvektorene a og b. Vi evaluerer de eksakte lengdene og bruker deretter numerisk evaluering ($\approx$) på radhenvisningen:

Ved start er $\vec r_1(0)=[-10,35]$ og $\vec r_2(0)=[2,0]$. Avstanden er

$$|\vec r_2(0)-\vec r_1(0)|=|[12,-35]|=\sqrt{12^2+35^2}=\boxed{37\text{ m}}.$$

Med de samme vektordefinisjonene bruker vi Length på differansen ved t=0. CAS gir den eksakte avstanden 37:

Ved samme tid t er differansen mellom posisjonene $[12-t,7t-35]$. Kvadratet av avstanden er derfor

$$F(t)=(12-t)^2+(7t-35)^2=50t^2-514t+1369.$$

Kvadratroten er voksende, så F og $\sqrt F$ har minimum ved samme tidspunkt. Vi deriverer:

$$F'(t)=100t-514=0\quad\Longrightarrow\quad t=\frac{257}{50}=5{,}14.$$

Siden $F''(t)=100>0$ og $t\ge0$, er dette minste avstand etter start. Avstanden er

$$\sqrt{F(5{,}14)}=\sqrt{48{,}02}\approx6{,}93\text{ m}.$$

Småfuglene er nærmest hverandre etter $\boxed{5{,}14\text{ s}}$, med avstand $\boxed{6{,}93\text{ m}}$.

CAS kan også derivere selve avstandsfunksjonen D. Den komplette radfølgen nedenfor tar med vektordefinisjonene og beregningene fra a og b, slik at radhenvisningene stemmer. På raden $D'(t)=0$ bruker vi Løs ($x=$), som gir den eksakte tiden $257/50$. Deretter evaluerer vi tidsverdien og D i dette eksakte tidspunktet numerisk ($\approx$). Kvadratuttrykket over begrunner at det stasjonære punktet er et minimum.

Vi undersøker bare de første seks sekundene, altså $0\le t\le6$. Kvadratene av avstandene fra rovfuglen til småfugl 1 og 2 er

$$F_1(t)=|\vec r_R(t)-\vec r_1(t)|^2=t^2+(2t^2-3t-30)^2,$$

$$F_2(t)=|\vec r_R(t)-\vec r_2(t)|^2=(2t-12)^2+(2t^2-10t+5)^2.$$

Ved start er avstandene $\sqrt{F_1(0)}=30$ m og $\sqrt{F_2(0)}=13$ m. For å finne minste avstand på [0,6] undersøker vi alle stasjonære punkter i intervallet og begge endepunktene. Derivasjon gir

$$F_1'(t)=4(4t^3-9t^2-55t+45),$$

$$F_2'(t)=4(4t^3-30t^2+62t-37).$$

Den første likningen $F_1'(t)=0$ har røtter omtrent $-3{,}182$, $0{,}756$ og $4{,}676$. Den negative roten ligger utenfor tidsintervallet. Likningen $F_2'(t)=0$ har røtter omtrent $1{,}079$, $1{,}893$ og $4{,}528$, alle innenfor intervallet. Vi bruker de uavrundede røttene når vi beregner avstandene.

I en ny CAS-beregning kaller vi de to kvadrerte avstandene F og G, slik at $F=F_1$ og $G=F_2$. De måles i kvadratmeter. Vi evaluerer definisjonene og velger numerisk løsning ($x\approx$) på de to likningsradene. Alle røttene vises; den negative roten for F forkastes fordi $0\le t\le6$.

Vi fortsetter i samme CAS-vindu. Først undersøker vi endepunktene og de to tillatte røttene fra rad 3 for fugl 1. Element henter en lagret løsning fra løsningslista, og Substitute setter denne inn i kvadratroten av F. Slik får vi avstander i meter og bevarer presisjonen til røttene. Vi velger numerisk evaluering ($\approx$) på disse radene.

For fugl 2 gjør vi det samme med begge endepunktene og alle tre røttene fra rad 4. Skjermbildet er en fortsettelse av de foregående CAS-radene:

Tabellene samler alle kandidatene med tre desimaler. CAS-bildene viser de samme beregningene avrundet til to desimaler; avstandene er beregnet ved de lagrede, uavrundede tidspunktene.

Rovfuglen starter nærmest småfugl 2. Avstanden til denne fuglen avtar først, øker litt mellom omtrent 1,08 og 1,89 s, og avtar så igjen til det globale minimumet ved omtrent 4,53 s. Da er avstanden omtrent $\boxed{3{,}03\text{ m}}$.

Avstanden til småfugl 1 øker først fram til omtrent 0,76 s og avtar deretter til omtrent $\boxed{4{,}69\text{ m}}$ ved t≈4,68 s. Etter de respektive minimumene øker begge avstandene fram til t=6.

Rovfuglen kommer dermed nærmest småfugl 2. Ingen av minimumsavstandene er null, så rovfuglen får ikke samme posisjon som noen av småfuglene i punktmodellen i løpet av de seks sekundene. Modellen oppgir ikke størrelsen på fuglene; beregningene alene avgjør derfor ikke om fysisk fangst er mulig.

For en grafisk oversikt bruker vi de faktiske avstandene $p=\sqrt F$ og $q=\sqrt G$. I CAS definerer vi p og q. I grafikkfeltets inntastingsfelt begrenser vi kurvene u og v til intervallet [0,6]:

Vannrett akse viser sekunder, og loddrett akse viser meter. Den blå kurven er avstanden til fugl 1, og den røde er avstanden til fugl 2. Figuren støtter beskrivelsen av jakten, mens kandidatberegningene over begrunner de globale minimumene.