Matematikk R2 høst 2024

Logaritmen blir enklere når vi deriverer den. Vi velger $u=\ln x$ og $v'=x^2$, slik at $u'=1/x$ og $v=x^3/3$. Formelen $\int uv'\,dx=uv-\int u'v\,dx$ gir

$$\begin{aligned}\int x^2\ln x\,dx&=\frac{x^3}{3}\ln x-\int\frac1x\cdot\frac{x^3}{3}\,dx\\&=\frac{x^3}{3}\ln x-\frac13\int x^2\,dx\\&=\frac{x^3}{3}\ln x-\frac{x^3}{9}+C.\end{aligned}$$

Uttrykket gjelder for $x>0$, siden $\ln x$ er med. Vi kan kontrollere svaret ved å derivere: ekstraleddene $x^2/3$ og $-x^2/3$ kansellerer, og vi står igjen med $x^2\ln x$.

En stamfunksjon er $-\frac1\pi\cos(\pi t+\pi/4)$. Når vi setter inn grensene, får vi

$$\begin{aligned}\int_0^x\sin\left(\pi t+\frac\pi4\right)\,dt&=\left[-\frac1\pi\cos\left(\pi t+\frac\pi4\right)\right]_0^x\\&=\frac{\cos(\pi/4)-\cos(\pi x+\pi/4)}{\pi}.\end{aligned}$$

Integralverdien er null når $\cos(\pi x+\pi/4)=\cos(\pi/4)$. Begge løsningstypene må være med:

$$\begin{aligned}\pi x+\frac\pi4&=\frac\pi4+2\pi k &&\Rightarrow x=2k,\\\pi x+\frac\pi4&=-\frac\pi4+2\pi k &&\Rightarrow x=-\frac12+2k,\end{aligned}\qquad k\in\mathbb Z.$$

I det åpne intervallet $0<x<\pi$ gir den første typen $x=2$, og den andre gir $x=\frac32$. Verdien $x=0$ er utelatt av definisjonsmengden. Svaret er derfor $$x=\frac32\quad\text{eller}\quad x=2.$$

Tenk at $v(t)=\sin(\pi t+\pi/4)$ beskriver hastigheten langs en rett linje, der positiv og negativ hastighet betyr bevegelse i hver sin retning. Da er $\int_0^x v(t)\,dt$ forflytningen fra startposisjonen.

Ved både $x=1{,}5$ og $x=2$ er forflytningen null. Gjenstanden er tilbake ved startposisjonen: bevegelsene i de to retningene har opphevet hverandre. Den har likevel beveget seg underveis, så tilbakelagt strekning er ikke null.

Første ledd er $a_1=3$, differansen er $d=4$, og siste ledd er $a_n=399$. Antall ledd finner vi fra

$$399=3+4(n-1)\quad\Rightarrow\quad396=4(n-1)\quad\Rightarrow\quad n=100.$$

Summen av en aritmetisk rekke er antall ledd ganger gjennomsnittet av første og siste ledd: $$S_{100}=\frac{100(3+399)}2=50\cdot402=20\,100.$$

Vi bruker sumformelen og løser med hensyn på $k$:

$$18=\frac{12}{1-k}\quad\Rightarrow\quad18(1-k)=12\quad\Rightarrow\quad1-k=\frac23\quad\Rightarrow\quad k=\frac13.$$

Dette passer med kravet om konvergens, fordi $|k|=1/3<1$.

Hver gjentakelse av «75» står to desimalplasser lenger til høyre. Derfor er

$$0{,}757575\dots=\frac{75}{100}+\frac{75}{100^2}+\frac{75}{100^3}+\dots.$$

Rekken har første ledd $75/100$ og kvotient $1/100$. Siden $|1/100|<1$, kan vi bruke formelen for en uendelig geometrisk sum:

$$0{,}757575\dots=\frac{75/100}{1-1/100}=\frac{75}{99}=\frac{25}{33}.$$

Når vi legger til heltallsdelen, får vi $$1{,}757575\dots=1+\frac{25}{33}=\frac{33+25}{33}=\frac{58}{33}.$$

Vi bruker de to sidene som starter i $A$: $$\overrightarrow{AB}=[3,1,2],\qquad\overrightarrow{AC}=[-1,3,1].$$ Kryssproduktet er

$$\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}=\begin{vmatrix}\mathbf i&\mathbf j&\mathbf k\\3&1&2\\-1&3&1\end{vmatrix}=[-5,-5,10].$$

Lengden av kryssproduktet er arealet av parallellogrammet som vektorene spenner ut. Trekanten har halvparten av dette arealet:

$$A_{\triangle ABC}=\frac12\sqrt{(-5)^2+(-5)^2+10^2}=\frac{\sqrt{150}}2=\frac{5\sqrt6}{2}.$$

Vi skriver $T=(t,t,4t)$ og finner $\overrightarrow{CT}=[t+1,t-3,4t-1]$. Lengdebetingelsen gir

$$\begin{aligned}(t+1)^2+(t-3)^2+(4t-1)^2&=17\\18t^2-12t+11&=17\\3t^2-2t-1&=0\\(3t+1)(t-1)&=0.\end{aligned}$$

Algebraisk får vi både $t=1$ og $t=-1/3$. Vi må også bruke at teltet står over bakken. Normalvektoren fra a kan forkortes til $[1,1,-2]$, så bakkeplanet gjennom $A$ har likningen $x+y-2z=0$. Ved $(x,y)=(t,t)$ ligger bakken i høyden $z=t$, mens $T$ har høyde $z=4t$. Forskjellen er $3t$.

For $t=-1/3$ ligger $T$ under bakkeplanet. Vi velger derfor $t=1$, som gir $$T=(1,1,4).$$ Som kontroll er $\overrightarrow{CT}=[2,-2,3]$, med lengde $\sqrt{4+4+9}=\sqrt{17}$.

La $s$ være buelengden vinkelen spenner over i en sirkel med radius $r$. Det absolutte vinkelmålet er $$v=\frac sr.$$ En vinkel på én radian spenner altså over en bue som er like lang som radiusen.

Siden $180^\circ$ tilsvarer $\pi$ radianer, får vi $$80^\circ=\frac{80}{180}\pi=\frac{4\pi}{9}\text{ radianer}.$$

Den oppgitte sinusverdien plasserer vinkelen inne i tredje kvadrant. Der er cosinus negativ. Identiteten gir

$$\cos^2v=1-\sin^2v=1-\left(-\frac14\right)^2=\frac{15}{16},\qquad\cos v=-\frac{\sqrt{15}}4.$$

Tangens er forholdet mellom sinus og cosinus: $$\tan v=\frac{\sin v}{\cos v}=\frac{-1/4}{-\sqrt{15}/4}=\frac1{\sqrt{15}}=\frac{\sqrt{15}}{15}.$$

Vi bruker $\sin u=\cos(u-\pi/2)$ med $u=\pi x/4-\pi/2$. Da får vi

$$f(x)=2\cos\left(\frac\pi4x-\frac\pi2-\frac\pi2\right)-1=2\cos\left(\frac\pi4x-\pi\right)-1.$$

Et svar er derfor $$g(x)=2\cos\left(\frac\pi4x-\pi\right)-1,$$ med $A=2$, $c=\pi/4$, $\varphi=-\pi$ og $d=-1$. For eksempel gir $x=4$ en topp med verdi $1$, som stemmer med figuren.

Vi setter argumentet lik de to vinkelfamiliene:

$$\begin{aligned}\frac\pi4x-\pi&=\frac\pi3+2\pi k &&\Rightarrow x=\frac{16}3+8k,\\\frac\pi4x-\pi&=-\frac\pi3+2\pi k &&\Rightarrow x=\frac83+8k,\end{aligned}\qquad k\in\mathbb Z.$$

Bare $k=0$ gir verdier i $[0,3\pi]$. Dermed er $$x=\frac83\quad\text{eller}\quad x=\frac{16}3.$$

Når cosinusleddet er $1/2$, blir $g(x)=2\cdot\frac12-1=0$. Siden $f=g$, ligger løsningene der originalgrafen skjærer $x$-aksen, ved $x\approx2{,}67$ og $x\approx5{,}33$.

Ballen starter ved $t=0$. Da er $\vec r(0)=[0,0,6]$, så takkanten ligger $6$ m over bakken.

Etter et halvt sekund setter vi $t=0{,}5$ inn i alle tre koordinatene:

$$\begin{aligned}\vec r(0{,}5)&=[2\cdot0{,}5,\;4\cdot0{,}5,\;6-0{,}7\cdot0{,}5-4{,}9\cdot0{,}5^2]\\&=[1,\;2,\;4{,}425].\end{aligned}$$

Posisjonen er altså $(1,2,4{,}425)$, med koordinatene målt i meter.

Vi finner først tidspunktet for bakketreffet fra $$6-0{,}7t-4{,}9t^2=0.$$ Den positive løsningen er $t\approx1{,}03744105$ s. Den negative løsningen ligger før ballen forlot taket og brukes ikke.

Hastighetsvektoren får vi ved å derivere posisjonen, og farten er lengden av denne vektoren:

$$\vec r\,'(t)=[2,4,-0{,}7-9{,}8t],\qquad v(t)=\sqrt{2^2+4^2+(-0{,}7-9{,}8t)^2}.$$

Skriv én kommando per rad i CAS, og trykk Enter etter hver rad. Vi bruker Solve med betingelsen $t>0$. Solve gir den eksakte løsningen, tilsvarende løseknappen $x=$. Numeric evaluerer et eksisterende resultat med åtte gjeldende siffer; kommandoen løser ikke en ny likning. Substitute i siste rad setter den eksakte tiden fra rad 3 inn i fartsfunksjonen, slik at mellomavrunding unngås.

Vi evaluerer $v$ ved den positive løsningen med full presisjon. Da får vi $$v\approx11{,}75117\text{ m/s}.$$ Farten når ballen treffer bakken er omtrent $11{,}8$ m/s. Vi tar med alle tre komponentene; den vertikale farten alene er ikke hele farten.

Vi løser likningen $$\sqrt{20+(-0{,}7-9{,}8t)^2}=10.$$ Begge sider er ikke-negative, så vi kan kvadrere:

$$(-0{,}7-9{,}8t)^2=80.$$

For $t\ge0$ er den vertikale hastigheten negativ. Derfor bruker vi $-0{,}7-9{,}8t=-\sqrt{80}$, som gir

$$t=\frac{\sqrt{80}-0{,}7}{9{,}8}\approx0{,}84125224\text{ s}.$$

I det samme CAS-arket kan vi kontrollere svaret ved å løse $v(t)=10$ med $t>0$. Den nye likningen står i rad 6. Den siste kommandoen henter løsningen fra denne raden og evaluerer den numerisk.

Dette tidspunktet ligger mellom start og bakketreffet ved omtrent $1{,}04$ s. Ballen har altså farten $10$ m/s omtrent $0{,}84$ s etter at den forlater taket.

Påstanden er usann. Punktene $(0,0,0)$, $(1,0,0)$ og $(2,0,0)$ ligger alle på $x$-aksen. Både planet $y=0$ og planet $z=0$ inneholder disse tre punktene, selv om dette er to forskjellige plan.

Tre punkter bestemmer ett entydig plan når de ikke ligger på samme rette linje. Ordet «alltid» gjør derfor påstanden feil.

Setter vi $x=1/e$, får vi $$k=\ln(1/e)-1=-1-1=-2.$$ Rekken blir da $1-2+4-8+\dots$. Leddverdiene nærmer seg ikke null, og $|k|=2>1$, så rekken divergerer.

Påstanden er usann. Regnestykket $1/(1-(-2))=1/3$ bruker en sumformel utenfor området der den gjelder. Det gir ingen sum for denne uendelige rekken.

Forskjellen mellom funksjonene er $$h(x)=f(x)-g(x)=x^3-(a+1)x=x\bigl(x^2-(a+1)\bigr).$$ Når $a>-1$, har vi tre forskjellige skjæringsverdier: $$x=-\sqrt{a+1},\quad x=0,\quad x=\sqrt{a+1}.$$

Sett $b=\sqrt{a+1}>0$. Funksjonen $h$ er odd, altså $h(-x)=-h(x)$. På $(0,b)$ er $h(x)<0$, mens den er positiv på $(-b,0)$. Derfor får de to områdene samme areal:

$$\begin{aligned}A_{\text{høyre}}&=\int_0^b\bigl((a+1)x-x^3\bigr)\,dx\\&=\left[\frac{a+1}{2}x^2-\frac{x^4}{4}\right]_0^b\\&=\frac{(a+1)^2}{2}-\frac{(a+1)^2}{4}=\frac{(a+1)^2}{4},\\A_{\text{venstre}}&=\int_{-b}^0 h(x)\,dx=-\int_0^b h(x)\,dx=A_{\text{høyre}}.\end{aligned}$$

Påstanden er sann. Symmetrien gjelder forskjellen mellom funksjonene; hver av de to opprinnelige grafene trenger ikke være symmetrisk om origo.

Vi legger $x$-aksen langs jordbæret fra den avbildede enden til venstre mot stilken til høyre. Vi bruker linjalen som målestokk og ser bort fra bladene. Fruktkroppen strekker seg omtrent $4$ cm langs denne aksen. Ved hvert målepunkt anslår vi radiusen som halvparten av hele tykkelsen på bildet. Dette jevner ut forskjellen mellom øvre og nedre kant. Midtpunktene i bildet ligger ikke helt på en rett linje; i modellen legger vi dem på den samme rotasjonsaksen.

Vi legger punktene inn i GeoGebra og tilpasser et fjerdegradspolynom. Skriv én kommando per rad i CAS, og trykk Enter etter hver rad. En slik kurve kan beskrive at jordbæret først blir bredere og deretter smalere mot stilken. Vi kaller den tilpassede radiusfunksjonen $f$. Den avrundede modellen er

$$f(x)\approx-0{,}0069930x^4-0{,}0093758x^3-0{,}0026030x^2+0{,}8660580x+0{,}5885004,\qquad0\le x\le4.$$

Rad 2 i CAS viser koeffisientene grovt avrundet. Rad 3 bruker Numeric til å evaluere det eksisterende resultatet og vise flere siffer, men definisjonen av $f$ beholder presisjonen fra regresjonen. Integralberegningen bruker denne lagrede funksjonen.

For å vise bare den delen av modellen vi bruker, tegner vi en avgrenset funksjon. Vi skjuler grafen til den uavgrensede $f$ og beholder målepunktene. Begge aksene har samme målestokk og er målt i centimeter.

Når profilen roteres om $x$-aksen, har en tynn skive areal $\pi f(x)^2$. Vi bruker regresjonsfunksjonen med full presisjon i integralet:

$$V=\pi\int_0^4 f(x)^2\,dx\approx44{,}06\text{ cm}^3.$$ Et rimelig anslag med denne modellen er omtrent $44\text{ cm}^3$, altså omtrent $44$ mL.

Modellen gir et rotasjonssymmetrisk legeme som er smalere i venstre ende og bredest nær stilken. Den har flate endeflater fordi de målte enderadiusene ikke er null. Et virkelig jordbær er ujevnt og ikke helt rotasjonssymmetrisk, og både aksen og målepunktene er anslag. Vi bør derfor ikke tolke desimalene i $44{,}06$ som målenøyaktighet. Andre rimelige målepunkter kan gi et annet volum.

Vi tolker gjennomsnittsfarten over tidsrommet fra motoren begynner å fuske til tidspunktet $t>0$. Siden $v(t)$ alltid er positiv, er strekningen $s(t)=\int_0^t v(u)\,du$, og gjennomsnittsfarten er $s(t)/t$.

Vi kan skrive $v(t)=54+6\cos(360t)$. Det gir

$$\begin{aligned}s(t)&=\int_0^t\bigl(54+6\cos(360u)\bigr)\,du\\&=\left[54u+\frac1{60}\sin(360u)\right]_0^t\\&=54t+\frac1{60}\sin(360t).\end{aligned}$$

Kravet til gjennomsnittsfart blir $$\frac{s(t)}t=54\quad\Rightarrow\quad\frac{\sin(360t)}{60t}=0\quad\Rightarrow\quad\sin(360t)=0.$$ Den første positive løsningen er $360t=\pi$.

Skriv kommandoene i CAS, én per rad, og trykk Enter etter hver. Solve gir en eksakt symbolsk løsning, tilsvarende knappen $x=$. Numeric evaluerer det eksisterende resultatet numerisk. Fartsfunksjonen har periode $2\pi/360=\pi/180$ timer. Avgrensningen $0<t<\pi/180$ i Solve søker etter løsningen inne i den første perioden og utelater $t=0$. Den siste kommandoen setter den eksakte løsningen fra rad 3 inn i $3600t$, slik at vi får tiden i sekunder.

Dermed er $$t=\frac\pi{360}\text{ timer}=10\pi\text{ sekunder}\approx31{,}4\text{ sekunder}.$$ Vi har brukt gjennomsnittet over hele tidsrommet, ikke farten i ett enkelt øyeblikk.

Akselerasjonen er $$a(t)=v'(t)=-2160\sin(360t).$$ Fordi $t$ er målt i timer, har dette uttrykket enheten km/t$^2$. Den største verdien er $2160$, og den oppnås når $\sin(360t)=-1$.

Alle tidspunktene etter at motoren begynner å fuske er derfor gitt ved

$$360t=\frac{3\pi}{2}+2\pi k\quad\Rightarrow\quad t=\frac\pi{240}+k\frac\pi{180}\text{ timer},\qquad k=0,1,2,\dots.$$

I sekunder er dette $t=15\pi+20\pi k$, altså omtrent $47{,}1$ s, $110{,}0$ s, $172{,}8$ s og så videre, så lenge fartsmodellen gjelder.

Maksimal akselerasjon kan også uttrykkes i SI-enheter: $$2160\frac{\text{km}}{\text{t}^2}=2160\frac{1000}{3600^2}\frac{\text{m}}{\text{s}^2}=\frac16\frac{\text{m}}{\text{s}^2}\approx0{,}167\text{ m/s}^2.$$

Vi bruker strekningen fra a og løser $$54t+\frac1{60}\sin(360t)=2.$$ Denne likningen løser vi numerisk. Siden $48\le v(t)\le60$, er strekningen strengt voksende. Det finnes derfor bare ett positivt tidspunkt da bilen når garasjen.

I det samme CAS-arket bruker vi NSolve, den numeriske løsekommandoen som svarer til knappen $x\approx$, med startgjetningen $t=0{,}04$ timer. Rad 5 viser først et sterkt avrundet svar, $0{,}04$. Substitute bruker likevel den lagrede løsningen med full presisjon. Rad 6 viser sekunder, og rad 7 viser flere siffer i antall timer.

Løsningen er $t\approx0{,}03683921061$ timer. Vi beholder presisjonen når vi regner om til sekunder:

$$t\approx0{,}03683921061\cdot3600\text{ s}\approx132{,}6\text{ s}.$$ De må kjøre i omtrent $2$ minutter og $13$ sekunder.

Forskjellene mellom naboleddene er $$2-1=1,\quad6-2=4,\quad15-6=9,\quad31-15=16,\quad56-31=25.$$ Dette er kvadrattallene $1^2,2^2,3^2,4^2,5^2$.

For å gå fra ledd nummer $n$ til ledd nummer $n+1$ legger vi derfor til $n^2$. Den rekursive formelen, med startverdi, er $$a_1=1,\qquad a_{n+1}=a_n+n^2\quad\text{for }n\ge1.$$ For eksempel gir $a_3=a_2+2^2=2+4=6$.

Vi starter med $a_1=1$ og legger dette første leddet i summen. Løkken bruker deretter $n=1,2,\dots,29$ til å beregne $a_{n+1}$. Hvert nytt ledd legges til summen én gang.

Programmet skriver ut $67455$. Summen av de $30$ første leddene er dermed $$S_{30}=67\,455.$$ Vi bruker $29$ runder i løkken fordi det første leddet allerede er tatt med før løkken starter.

Sirkellikningen er $$(x-a)^2+y^2=R^2.$$ Ved en høyde $y\in[-R,R]$ ligger sirkelens to sider ved $$x=a-\sqrt{R^2-y^2}\quad\text{og}\quad x=a+\sqrt{R^2-y^2}.$$

Siden $a>R>0$, ligger hele sirkelen til høyre for $y$-aksen. Når vi roterer, blir et horisontalt tverrsnitt en ring med indre radius $a-\sqrt{R^2-y^2}$ og ytre radius $a+\sqrt{R^2-y^2}$. Ringarealet er

$$\begin{aligned}A(y)&=\pi\left[\left(a+\sqrt{R^2-y^2}\right)^2-\left(a-\sqrt{R^2-y^2}\right)^2\right]\\&=4\pi a\sqrt{R^2-y^2}.\end{aligned}$$

Volumet blir summen av disse tverrsnittene: $$V=4\pi a\int_{-R}^{R}\sqrt{R^2-y^2}\,dy.$$ Integralet er arealet under den øvre halvsirkelen med radius $R$, altså $\pi R^2/2$. Derfor

$$V=4\pi a\cdot\frac{\pi R^2}{2}=2\pi^2R^2a,$$ som vi skulle vise.