Matematikk R2 vår 2025

$$\begin{aligned} \int_0^1(2e^x+2x^2)\,dx &=\left[2e^x+2\cdot\frac13x^3\right]_0^1\\ &=\textcolor{#008238}{\left(2e^1+\frac23\cdot1^3\right)}-\textcolor{#bd2e43}{\left(2e^0+\frac23\cdot0^3\right)}\\ &=2e+\frac23-2\\ &=2e+\frac23-\frac63\\ &=\boxed{2e-\frac43}. \end{aligned}$$

Vi kan bruke delbrøkoppspalting, men vi sjekker først variabelskifte.

Vi setter

$$\textcolor{#008238}{u=x^2-x-6},\qquad u'=2x-1,\qquad du=(2x-1)\,dx.$$

Da får vi

$$\begin{aligned} \int\frac{2x-1}{x^2-x-6}\,dx &=\int\frac1u\,du\\ &=\ln|u|+C\\ &=\boxed{\ln|x^2-x-6|+C}. \end{aligned}$$

Uttrykket gjelder på intervaller som ikke inneholder $x=-2$ eller $x=3$, der nevneren er null.

Først bruker vi opplysningen om den deriverte:

$$\begin{aligned} f(x)&=\int f'(x)\,dx=\int-\frac2{x^3}\,dx\\ &=\int-2x^{-3}\,dx\\ &=-2\cdot\frac1{-2}x^{-2}+C\\ &=\frac1{x^2}+C. \end{aligned}$$

Deretter bruker vi arealet. Området ligger over $x$-aksen, så

$$\int_1^2f(x)\,dx=\frac{11}{14}\quad\Longleftrightarrow\quad\int_1^2\left(\frac1{x^2}+C\right)\,dx=\frac{11}{14}.$$

Vi regner ut integralet:

$$\begin{aligned} \int_1^2\left(\frac1{x^2}+C\right)\,dx &=\int_1^2(x^{-2}+C)\,dx\\ &=\left[\frac1{-1}x^{-1}+Cx\right]_1^2\\ &=\left[-\frac1x+Cx\right]_1^2\\ &=\left(-\frac12+2C\right)-(-1+C)\\ &=-\frac12+2C+1-C=C+\frac12. \end{aligned}$$

Dermed får vi

$$\begin{aligned} C+\frac12&=\frac{11}{14}\\ C&=\frac{11}{14}-\frac12=\frac{11}{14}-\frac7{14}=\frac4{14}=\frac27. \end{aligned}$$

Altså er

$$\boxed{f(x)=\frac1{x^2}+\frac27},\qquad x\ne0.$$

$a_1=2$ representerer første ledd. $n=5$ er antall ledd som skal skrives ut. Tallmønsteret beskrives av den rekursive sammenhengen

$$a_{n+1}=a_n+(n+2).$$

Resultatet av programmet:

$$\begin{aligned} a_1&=2&&\text{(printes ut)}\\ a_2&=a_1+(1+2)=2+3=5&&\text{(printes ut)}\\ a_3&=a_2+(2+2)=5+4=9&&\text{(printes ut)}\\ a_4&=a_3+(3+2)=9+5=14&&\text{(printes ut)}\\ a_5&=a_4+(4+2)=14+6=20&&\text{(printes ut)}\\ a_6&=a_5+(5+2)=20+7=27&&\text{(printes ikke ut)}. \end{aligned}$$

Programmet skriver derfor ut $2$, $5$, $9$, $14$ og $20$, på hver sin linje.

Bonus: Tallmønsteret kan også beskrives med en eksplisitt sammenheng:

$$\begin{aligned} a_1&=2,\\ a_2&=2+3,\\ a_3&=2+3+4,\\ a_4&=2+3+4+5,\\ a_5&=2+3+4+5+6,\\ a_6&=2+3+4+5+6+7. \end{aligned}$$

Hvert ledd er en sum av en aritmetisk rekke med $n$ ledd, første ledd 2 og siste ledd $n+1$:

$$a_n=2+3+4+\cdots+(n+1)=\frac{n(2+(n+1))}{2}=\frac{n(n+3)}2.$$

Vi har samme tallfølge som i stad, men nå skal vi summere de $n=5$ leddene.

$$S_5=2+5+9+14+20=\boxed{50}.$$

Programmet printer ut 50.

Først viser vi at formelen er sann for $n=1$:

$$a_1=\frac{1\cdot(1+3)}2=\frac42=2.$$

Dette stemmer med første ledd i tallfølgen.

Vi antar så at formelen er sann for et vilkårlig heltall $n=k\ge1$:

$$a_k=\frac{k(k+3)}2.$$

Vi må vise at dersom formelen er sann for $n=k$, vil den også være sann for $n=k+1$. Uttrykket vi skal komme fram til, er

$$\frac{(k+1)((k+1)+3)}2=\frac{(k+1)(k+4)}2.$$

Vi bruker den rekursive sammenhengen og induksjonsantakelsen:

$$\begin{aligned} a_{k+1}&=a_k+(k+2)\\ &=\frac{k(k+3)}2+(k+2)\\ &=\frac{k(k+3)}2+\frac{2(k+2)}2\\ &=\frac{k^2+3k}2+\frac{2k+4}2\\ &=\frac{k^2+5k+4}2\\ &=\frac{(k+1)(k+4)}2. \end{aligned}$$

Ved induksjon har vi vist at $a_n=\dfrac{n(n+3)}2$ for alle heltall $n\ge1$.

Generelt kan harmoniske svingninger skrives som

$$f(x)=A\sin(cx+\varphi)+d.$$

Her gir $|A|$ amplituden, $d$ likevektslinja og $c$ perioden $p=\dfrac{2\pi}{|c|}$.

Vi har

$$f(x)=2\sqrt3\sin\left(2x+\frac\pi6\right)+0.$$

Amplituden er $2\sqrt3$, og likevektslinja er $y=0$.

Perioden er

$$p=\frac{2\pi}{2}=\pi.$$

Fasekonstanten er $\varphi=\dfrac\pi6$. For å finne forskyvningen langs $x$-aksen skriver vi

$$2x+\frac\pi6=2\left(x+\frac\pi{12}\right).$$

Faseforskyvningen er derfor $-\dfrac\pi{12}$, altså $\dfrac\pi{12}$ mot venstre.

$$\begin{aligned} f(x)=\sqrt3 &\quad\Longleftrightarrow\quad2\sqrt3\sin\left(2x+\frac\pi6\right)=\sqrt3\\ &\quad\Longleftrightarrow\quad\sin\left(2x+\frac\pi6\right)=\frac12. \end{aligned}$$

Vi får to muligheter, der $n\in\mathbb Z$:

$$2x+\frac\pi6=\frac\pi6+n\cdot2\pi\quad\text{eller}\quad2x+\frac\pi6=\frac{5\pi}6+n\cdot2\pi.$$

Vi trekker fra $\dfrac\pi6$ og deler på 2:

$$2x=n\cdot2\pi\quad\text{eller}\quad2x=\frac{2\pi}3+n\cdot2\pi,$$

$$x=n\pi\quad\text{eller}\quad x=\frac\pi3+n\pi.$$

I det åpne intervallet $0<x<\dfrac\pi2$ er bare $n=0$ i den andre familien tillatt. Endepunktet $x=0$ er ikke med. Løsningen er

$$\boxed{x=\frac\pi3}.$$

Her bør vi bruke omskriving til sinus på $g(x)$ før vi løser likningen:

$$g(x)=3\sin(2x)+\sqrt3\cos(2x)=A\sin(cx+\varphi).$$

Med $a=3$, $b=\sqrt3$ og $c=2$ får vi

$$\begin{aligned} A&=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{3^2+(\sqrt3)^2}\\ &=\sqrt{9+3}=\sqrt{12}=\sqrt{4\cdot3}=2\sqrt3. \end{aligned}$$

For vinkelen har vi

$$\tan\varphi=\frac ba=\frac{\sqrt3}3\quad\Longrightarrow\quad\varphi=\frac\pi6+n\pi.$$

Punktet $(a,b)=(3,\sqrt3)$ ligger i første kvadrant, så vi velger $\varphi=\dfrac\pi6$.

Dermed er funksjonsuttrykket

$$g(x)=2\sqrt3\sin\left(2x+\frac\pi6\right),$$

det samme som for $f$. Likningen gir derfor de samme løsningsfamiliene som i b):

$$x=n\pi\quad\text{eller}\quad x=\frac\pi3+n\pi.$$

Nå er definisjonsområdet $0<x<2\pi$. Den første familien gir $x=\pi$, og den andre gir $x=\dfrac\pi3$ og $x=\dfrac{4\pi}3$.

$$\boxed{L=\left\{\frac\pi3,\pi,\frac{4\pi}3\right\}}.$$

For vinkelen $\theta$ mellom to vektorer som ikke er nullvektorer, har vi

$$\begin{aligned} \vec u\cdot\vec v>0&\quad\Longrightarrow\quad\theta<90^\circ,\\ \vec u\cdot\vec v=0&\quad\Longrightarrow\quad\theta=90^\circ,\\ \vec u\cdot\vec v<0&\quad\Longrightarrow\quad\theta>90^\circ. \end{aligned}$$

Vi starter med vinkelen $\alpha$ ved $A$:

$$\begin{aligned} \textcolor{#008238}{\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}} &=[2,3,0]\cdot[1,4,1]\\ &=2\cdot1+3\cdot4+0\cdot1=14>0. \end{aligned}$$

Dermed er $\alpha<90^\circ$.

For vinkelen $\beta$ ved $B$ får vi

$$\begin{aligned} \textcolor{#7030a0}{\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}} &=[-2,-3,0]\cdot[-1,1,1]\\ &=(-2)(-1)+(-3)\cdot1+0\cdot1\\ &=2-3=-1<0. \end{aligned}$$

Altså er $\beta>90^\circ$.

Dersom en trekant har en vinkel som er større enn $90^\circ$, må de to andre vinklene være mindre enn $90^\circ$:

$$\alpha+\beta+\gamma=180^\circ\quad\Longrightarrow\quad\alpha+\gamma=180^\circ-\beta<90^\circ.$$

Det er kun vinkelen ved $B$ som er større enn $90^\circ$.

Arealet er

$$A=\frac12\left|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}\right|.$$

Vi regner ut kryssproduktet. Diagonalene viser hvilke produkter vi legger sammen og trekker fra:

$$\begin{aligned} \overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC} &=\begin{vmatrix}\vec e_x&\vec e_y&\vec e_z\\2&3&0\\1&4&1\end{vmatrix}\\ &=[\textcolor{#008238}{3}-\textcolor{#007783}{0},\ \textcolor{#008238}{0}-\textcolor{#007783}{2},\ \textcolor{#008238}{8}-\textcolor{#007783}{3}]\\ &=[3,-2,5]. \end{aligned}$$

Lengden blir

$$\left|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}\right|=\sqrt{3^2+(-2)^2+5^2}=\sqrt{9+4+25}=\sqrt{38}.$$

Enhetene langs aksene er desimeter, så arealet av bordplaten er

$$\boxed{A=\frac{\sqrt{38}}2\ \text{dm}^2}.$$

Nå kan vi tenke oss at bordplaten utvides til et uendelig stort plan. Deretter kan vi sjekke om den rette linjen, grenen, skjærer planet. Om linjen skjærer planet, må vi i tillegg sjekke om skjæringen er innenfor eller utenfor trekanten.

Vi undersøker først om linjen skjærer planet. Fra b) har planet en normalvektor $\textcolor{#008238}{\vec n_\alpha=[3,-2,5]}$. En retningsvektor for linjen er

$$\textcolor{#7030a0}{\vec v_\ell=\overrightarrow{ED}=[3-2,7-3,3-2]=[1,4,1]}.$$

Linjen har retning parallelt med planet når retningsvektoren er vinkelrett på normalvektoren:

$$\vec n_\alpha\cdot\vec v_\ell=[3,-2,5]\cdot[1,4,1]=3-8+5=0.$$

Vi må også sjekke at linjen ikke ligger i selve planet. Planet går gjennom $A(0,0,0)$, så likningen er

$$3x-2y+5z=0.$$

For punktet $E(2,3,2)$ får vi

$$3\cdot2-2\cdot3+5\cdot2=10\ne0.$$

Linjen ligger derfor utenfor og parallelt med planet. Den skjærer ikke planet, så grenen treffer aldri bordplaten.

Programmet tilnærmer summen av de to integralene:

$$\int_0^2f(x)\,dx+\int_0^2g(x)\,dx=\int_0^2(f(x)+g(x))\,dx.$$

Vi regner ut den eksakte verdien til integralet:

$$\begin{aligned} \int_0^2(x^3-2x^2)\,dx &=\left[\frac14x^4-\frac23x^3\right]_0^2\\ &=\left(\frac14\cdot2^4-\frac23\cdot2^3\right)-0\\ &=4-\frac{16}3\\ &=\frac{12}3-\frac{16}3=-\frac43. \end{aligned}$$

Programmet skriver ut en numerisk tilnærming til $-\dfrac43$, altså omtrent $-1{,}33333333$. Ved kjøring av den oppgitte Python-koden blir utskriften $-1{,}3333333300001438$. Integralverdien er eksakt $-\dfrac43$; rektangelsummen er en tilnærming.

I radianer er vinkelen

$$v=\frac br=\boxed{\frac43}.$$

For å regne om til grader bruker vi at $2\pi$ radianer svarer til $360^\circ$. Hvis $v_g$ er vinkelen i grader, får vi

$$\frac{v_g}{360^\circ}=\frac v{2\pi}.$$

Dermed er

$$\begin{aligned} v_g&=\frac v{2\pi}\cdot360^\circ\\ &=\frac{\frac43}{2\pi}\cdot360^\circ\\ &=\frac2{3\pi}\cdot360^\circ\\ &=\boxed{\frac{240^\circ}\pi}. \end{aligned}$$

Vinkelen ligger i første kvadrant. Derfor må både $\sin u$ og $\cos u$ være positive.

Vi har

$$\tan u=\frac{\sin u}{\cos u}=2\quad\Longleftrightarrow\quad\sin u=2\cos u.\tag{I}$$

Vi har to ukjente, $\sin u$ og $\cos u$, og trenger derfor to likninger. Den andre sammenhengen er enhetsformelen:

$$\sin^2u+\cos^2u=1.\tag{II}$$

Setter vi (I) inn i (II), får vi

$$\begin{aligned} (2\cos u)^2+\cos^2u&=1\\ 4\cos^2u+\cos^2u&=1\\ 5\cos^2u&=1\\ \cos^2u&=\frac15. \end{aligned}$$

Vi velger den positive verdien fordi $u$ ligger i første kvadrant:

$$\cos u=\sqrt{\frac15}=\frac1{\sqrt5}=\frac{\sqrt5}5.$$

Til slutt bruker vi (I):

$$\sin u=2\cos u=\frac{2\sqrt5}5.$$

De eksakte verdiene er $\boxed{\sin u=\dfrac{2\sqrt5}5}$ og $\boxed{\cos u=\dfrac{\sqrt5}5}$.

Den tredje koordinaten er høyden. Etter 5 sekunder er høyden

$$5+\frac13\cdot5=\frac{20}3\approx6{,}67\ \text{m}.$$

I GeoGebra CAS definerer vi posisjonsvektoren med

Vi bruker $\approx$ på den siste raden og får $6{,}67$. Bilen er omtrent $6{,}67$ meter over bakkenivået.

Fartsvektoren er den deriverte av posisjonsvektoren, og farten er lengden av fartsvektoren:

$$\vec v(t)=\vec r\,'(t),\qquad v(t)=|\vec v(t)|\quad\Longrightarrow\quad v(10)=|\vec v(10)|.$$

Vi bruker definisjonen av $r(t)$ fra a) i GeoGebra CAS:

Den første raden gir

$$\boxed{\vec v(t)=\left[-\frac{4\pi}5\sin\left(\frac\pi5t\right),\ \frac{4\pi}5\cos\left(\frac\pi5t\right),\ \frac13\right]}.$$

Vi bruker $\approx$ på den siste raden og får $V_{10}\approx2{,}54$. Farten etter 10 sekunder er derfor omtrent $2{,}54\ \text{m/s}$.

Vi antar at spiralen har én runde per etasje. Avstanden mellom etasjene blir da høydeforskjellen etter én runde i spiralen.

Vi må finne perioden $p$ til spiralen, altså hvor lang tid det tar før både $x$- og $y$-koordinatene gjentar seg.

I begge de trigonometriske leddene er $c=\dfrac\pi5$, så

$$p=\frac{2\pi}c=\frac{2\pi}{\frac\pi5}=2\pi\cdot\frac5\pi=10.$$

Vi regner ut høydeforskjellen i GeoGebra CAS:

Med $\approx$ får vi $3{,}33$. Under antakelsen om én runde per etasje er en mulig avstand mellom etasjene

$$\boxed{h\approx3{,}33\ \text{m}}.$$

La det årlige innskuddet være $x$ kroner. Nora setter inn sparebeløpet 30 ganger, og vi tar med rentene til og med 31. desember 2055.

La oss starte med å sette opp sparediagrammet:

Beløpene ved slutten av 2055 danner en geometrisk rekke:

$$x\cdot1{,}025+x\cdot1{,}025^2+\cdots+x\cdot1{,}025^{30}=3\,750\,000.$$

Vi setter $a_1=x\cdot1{,}025$ og $k=1{,}025$. Da er summen

$$S_n=a_1\cdot\frac{k^n-1}{k-1}.$$

Vi skriver i GeoGebra CAS:

På likningen i siste rad bruker vi $x\approx$. Skjermbildet viser $x\approx83\,332{,}83$.

Nora må spare $\boxed{83\,333\ \text{kr}}$ hvert år når innskuddet avrundes opp til hele kroner.

Vi kunne også løst oppgaven ved hjelp av programmeringsverktøy. Her er programmet fra lærerens løsning:

Programmet skriver ut «Nødvendig innskudd: 83333».

Det er $2058-2026+1=33$ terminer. Vi sammenlikner verdien av alle innbetalingene i januar 2026, rett før den første betalingen. La den årlige rentesatsen være $p$ prosent og vekstfaktoren være $k=1+\dfrac p{100}$.

Den første betalingen har verdi $150\,000$ kroner på dette tidspunktet. Betalingen ett år senere har nåverdi $\dfrac{150\,000}k$, og den siste betalingen, 32 år senere, har nåverdi $\dfrac{150\,000}{k^{32}}$.

Summen av nåverdiene skal være lik lånet:

$$150\,000+\frac{150\,000}k+\frac{150\,000}{k^2}+\cdots+\frac{150\,000}{k^{32}}=3\,000\,000.$$

Vi kan skrive summen og likningen direkte i GeoGebra CAS:

Vi bruker numerisk løsning, $x\approx$. GeoGebra viser startgjetningen $p=1$ i raden; dette er bare et utgangspunkt for beregningen, ikke en antakelse om den faktiske renten. Skjermbildet viser svaret avrundet til $p\approx3{,}53$.

Nora har dermed regnet med en årlig rentesats på omtrent $\boxed{3{,}5\,\%}$. At første betaling skjer med en gang, er grunnen til at summen starter med eksponent 0.

Akselerasjonen er den deriverte av farten:

$$a(t)=v'(t)\quad\Longrightarrow\quad a(t)=0\ \Longleftrightarrow\ v'(t)=0.$$

Vi definerer farten og skriver likningen i GeoGebra CAS:

Vi bruker numerisk løsning, $x\approx$, på likningen og får $t\approx0{,}97$.

Akselerasjonen er null etter omtrent $0{,}97$ sekunder. Før dette er den positiv, og etterpå er den negativ: farten øker først og avtar deretter. Det betyr at haren har nådd toppfarten sin etter omtrent $\boxed{0{,}97\ \text{s}}$.

Strekningen fra start til tidspunktet $t$ er

$$s(t)=\int_0^t v(u)\,du.$$

Vi bruker den definerte fartsfunksjonen i GeoGebra CAS:

Med $\approx$ får vi $s_7\approx103{,}39$. Haren løper omtrent $\boxed{103{,}4\ \text{m}}$ i løpet av de første 7 sekundene.

Vi trenger $x$ for å finne snittfarten. Vi må derfor finne ut hvor mange sekunder haren bruker på å tilbakelegge de første 200 meterne.

Vi skriver likningen i GeoGebra CAS:

$$\int_0^xv(t)\,dt=200.$$

NSolve er kommandoen for numerisk løsning. Vi oppgir $x$ som den ukjente og 15 som en positiv startgjetning, siden $t$ bare er integrasjonsvariabelen. Vi får den positive tiden $x\approx14{,}9539053273$ sekunder; skjermbildet viser den avrundet til $14{,}95$.

Nå kan vi bruke denne tiden til å finne snittfarten de første 200 meterne. Vi beholder den uavrundede løsningen i CAS og regner ut

$$v_g(x)=\frac1x\int_0^xv(t)\,dt.$$

Siden integralet er 200 ved denne tiden, blir

$$v_g(x)=\frac{200}{x}\approx13{,}37443267.$$

Snittfarten de første 200 meterne er dermed omtrent $\boxed{13{,}37\ \text{m/s}}$.

I skjermbildet står løsningen i rad 4. Vi viser til denne raden i neste kommando, slik at GeoGebra setter inn resultatet med full presisjon, og velger $\approx$. Bruk ditt eget radnummer dersom likningen står i en annen rad.

Vi har en geometrisk rekke gitt ved

$$1+x+x^2+x^3+\cdots,\qquad -1<x<1,$$

der summen er

$$S=\frac{a_1}{1-k}=\frac1{1-x}.$$

Vi får oppgitt at vi kan integrere leddvis:

$$\int(1+x+x^2+x^3+\cdots)\,dx=\int\frac1{1-x}\,dx.$$

Når vi ser bort fra integrasjonskonstantene som oppgaven tillater, får vi

$$x+\frac12x^2+\frac13x^3+\frac14x^4+\cdots=-\ln|1-x|.$$

Vi skal vise at

$$\frac12+\frac12\cdot\frac1{2^2}+\frac13\cdot\frac1{2^3}+\frac14\cdot\frac1{2^4}+\cdots=\ln2.$$

Denne rekken er den integrerte rekken vår med $x=\dfrac12$. Verdien ligger i intervallet $-1<x<1$, så vi kan sette den inn:

$$\begin{aligned} \frac12+\frac12\cdot\frac1{2^2}+\frac13\cdot\frac1{2^3}+\frac14\cdot\frac1{2^4}+\cdots &=-\ln\left|1-\frac12\right|\\ &=-\ln\left(\frac12\right)\\ &=-\ln(2^{-1})\\ &=\boxed{\ln2}. \end{aligned}$$