Matematikk R2 vår 2026

En antiderivert til $e^{2x}$ er $\frac12e^{2x}$, fordi kjernen $2x$ har derivert $2$. En antiderivert til $x$ er $\frac12x^2$. Derfor får vi

$$\begin{aligned} \int_0^2(e^{2x}+x)\,dx &=\left[\frac12e^{2x}+\frac12x^2\right]_0^2\\ &=\left(\frac12e^4+2\right)-\left(\frac12e^0+0\right)\\ &=\boxed{\frac{e^4+3}{2}}. \end{aligned}$$

Vi må også trekke fra verdien i nedre grense. Her er $e^0=1$.

Vi setter $u=\ln x$. Da er $du=\frac1x\,dx$, og hele faktoren $\frac1x\,dx$ blir erstattet av $du$:

$$\int\frac{\sin(\ln x)}x\,dx=\int\sin u\,du=-\cos u+C.$$

Setter vi tilbake $u=\ln x$, får vi

$$\boxed{-\cos(\ln x)+C},\qquad x>0.$$

Definisjonsområdet kommer fra $\ln x$. En kontroll med kjerneregelen gir $\bigl(-\cos(\ln x)\bigr)'=\sin(\ln x)/x$, som er integranden.

Først finner vi alle funksjoner som har den oppgitte deriverte:

$$f(x)=\int2x^{-2}\,dx=-2x^{-1}+C=-\frac2x+C.$$

Punktet $(2,2)$ betyr at $f(2)=2$. Vi setter dette inn:

$$-\frac22+C=2\quad\Longrightarrow\quad C=3.$$

Dermed er

$$\boxed{f(x)=3-\frac2x},\qquad x>0.$$

Vi finner først skjæringspunktene. Siden $x>0$, kan vi gange likningen med $x$:

$$\begin{aligned} x&=-\frac3x+4\\ x^2-4x+3&=0\\ (x-1)(x-3)&=0. \end{aligned}$$

Skjæringene har $x$-koordinater $1$ og $3$. Mellom dem er

$$h(x)-g(x)=-\frac{(x-1)(x-3)}x>0,$$

fordi $x-1>0$, $x-3<0$ og $x>0$. Derfor skal vi integrere $h-g$:

$$\begin{aligned} A&=\int_1^3\left(-\frac3x+4-x\right)\,dx\\ &=\left[-3\ln x+4x-\frac{x^2}{2}\right]_1^3\\ &=\left(-3\ln3+12-\frac92\right)-\left(0+4-\frac12\right)\\ &=\boxed{4-3\ln3}. \end{aligned}$$

Dette er et positivt areal, omtrent $0{,}704$ arealenheter.

Enhetsformelen gir

$$\sin^2v=1-\cos^2v=1-\left(\frac23\right)^2=\frac59.$$

Dermed er $\sin v=\pm\frac{\sqrt5}{3}$. I 4. kvadrant er sinus negativ, så

$$\boxed{\sin v=-\frac{\sqrt5}{3}}.$$

Tangens finner vi ved å dele sinus på cosinus:

$$\tan v=\frac{\sin v}{\cos v}=\frac{-\sqrt5/3}{2/3}=\boxed{-\frac{\sqrt5}{2}}.$$

Vi deler først på $2$:

$$\cos\left(\frac\pi3x\right)=\frac{\sqrt3}{2}.$$

Cosinus har denne verdien ved vinklene $\frac\pi6$ og $-\frac\pi6$, og gjentar seg hver $2\pi$. Derfor er

$$\frac\pi3x=\pm\frac\pi6+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z.$$

Etter å ha ganget med $3/\pi$ får vi to løsningsfamilier:

$$x=\frac12+6k\quad\text{eller}\quad x=-\frac12+6k.$$

Den første gir $\frac12$ og $\frac{13}2$ i det oppgitte intervallet. Den andre gir $\frac{11}2$. Dermed er

$$\boxed{x\in\left\{\frac12,\frac{11}2,\frac{13}2\right\}}.$$

Intervallet er åpent: bare verdier som oppfyller $0<x<10$ skal tas med.

Grafen har toppverdi $1$ og bunnverdi $-3$. Midtlinjen og amplituden blir derfor

$$d=\frac{1+(-3)}2=-1,\qquad A=\frac{1-(-3)}2=2.$$

To nabobunnpunkter ligger ved $x=0$ og $x=\pi$. Perioden er altså $T=\pi$, slik at vinkelfrekvensen er

$$c=\frac{2\pi}{T}=2.$$

Cosinus har toppverdi ved $x=0$. Ved å bruke $-2\cos(2x)$ får vi i stedet et bunnpunkt der. Et mulig uttrykk er

$$\boxed{f(x)=-2\cos(2x)-1}.$$

Vi kontrollerer at $f(0)=-3$ og $f(\pi/2)=1$. Et likeverdig sinusuttrykk er $f(x)=2\sin(2x-\pi/2)-1$.

På intervallet $[1,3]$ er $f(x)>0$, og sirkelradiusen er $2x-1$. Skivemetoden gir

$$\begin{aligned} V&=\pi\int_1^3(2x-1)^2\,dx\\ &=\pi\int_1^3(4x^2-4x+1)\,dx\\ &=\pi\left[\frac43x^3-2x^2+x\right]_1^3\\ &=\pi\left((36-18+3)-\left(\frac43-2+1\right)\right)\\ &=\pi\left(21-\frac13\right)=\boxed{\frac{62\pi}{3}}. \end{aligned}$$

Volumet er målt i kubikkenheter. Oppgaven gir ingen bestemt lengdeenhet.

Sidelengdene, målt i meter, er $5$, $4{,}9$, $4{,}8$ og så videre. Summen beskrives av den aritmetiske rekken

$$5+4{,}9+4{,}8+\cdots+a_n,$$

med

$$a_n=5-0{,}1(n-1)=5{,}1-0{,}1n.$$

En plate må ha positiv sidelengde. Derfor krever vi

$$5{,}1-0{,}1n>0\quad\Longleftrightarrow\quad n<51.$$

Det største mulige heltallet er $n=50$. Den siste platen har da sidelengde $a_{50}=0{,}1$ m. Den neste ville hatt sidelengde null, og er ingen plate.

Selma kan ha maksimalt $\boxed{50\text{ treplater}}$, og den fullstendige rekken blir $5+4{,}9+\cdots+0{,}1$.

Når begge sidene i et kvadrat ganges med $0{,}9$, ganges arealet med

$$k=0{,}9^2=0{,}81.$$

Arealene danner derfor den geometriske rekken

$$19+19\cdot0{,}81+19\cdot0{,}81^2+\cdots.$$

Siden $|0{,}81|<1$, har den uendelige rekken summen

$$S=\frac{19}{1-0{,}81}=\frac{19}{0{,}19}=\boxed{100\text{ m}^2}.$$

Det samlede arealet kan nærme seg 100 m² så mye vi vil i den matematiske modellen. Et tårn med endelig mange plater får litt mindre areal: $S_n=100(1-0{,}81^n)<100$.

Vi setter koordinatene til $D$ inn i venstresiden:

$$2\cdot3-5\cdot1+4\cdot(-1)=6-5-4=-3.$$

Dette er ikke lik høyresiden $-4$. Dermed ligger $\boxed{D\text{ ikke i planet }\alpha}$.

To vektorer i planet er

$$\overrightarrow{AB}=[1,-2,-3],\qquad\overrightarrow{AC}=[-2,0,1].$$

Kryssproduktet blir

$$\begin{aligned} \overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC} &=[(-2)\cdot1-(-3)\cdot0,\;(-3)(-2)-1\cdot1,\;1\cdot0-(-2)(-2)]\\ &=[-2,5,-4]. \end{aligned}$$

Produktet er ikke null, så de to vektorene er ikke parallelle. Kryssproduktet står vinkelrett på begge, og er dermed normalt på planet. En vektor i motsatt retning er også normal:

$$\boxed{\vec n=-[-2,5,-4]=[2,-5,4]}.$$

Vi bruker

$$y^2-18y=(y-9)^2-81,\qquad z^2+2z=(z+1)^2-1.$$

Da blir kulelikningen

$$x^2+(y-9)^2-81+(z+1)^2-1+k=0,$$

altså

$$x^2+(y-9)^2+(z+1)^2=82-k.$$

Sammenlikner vi med $(x-x_0)^2+(y-y_0)^2+(z-z_0)^2=r^2$, leser vi av

$$\boxed{S=(0,9,-1)}.$$

Linjen fra sentrum $S$ til tangeringspunktet $P$ står normalt på planet. Vi bruker derfor normalvektoren $[2,-5,4]$ som retningsvektor og $S=(0,9,-1)$ som fast punkt:

$$[x,y,z]=[0,9,-1]+t[2,-5,4].$$

En parameterframstilling er dermed

$$\boxed{\begin{cases}x=2t\\y=9-5t\\z=-1+4t\end{cases}},\qquad t\in\mathbb R.$$

Vi skriver planet som $2x-5y+4z+4=0$. Avstanden fra $S=(0,9,-1)$ til planet er kulens radius:

$$r=\frac{|2\cdot0-5\cdot9+4\cdot(-1)+4|}{\sqrt{2^2+(-5)^2+4^2}}=\frac{45}{\sqrt{45}}=\sqrt{45}.$$

Fra kulelikningen i c) vet vi at $r^2=82-k$. Derfor får vi

$$45=82-k\quad\Longrightarrow\quad\boxed{k=37}.$$

Som kontroll kan vi sette linjen fra d) inn i planet. Det gir $45t-49=-4$, altså $t=1$ og $P=(2,4,3)$. Da er $|SP|^2=2^2+(-5)^2+4^2=45$, som stemmer.

Utregningen er riktig for de to vektorene eleven har valgt. Men påstanden gjelder alle par av ortogonale vektorer.

Ett eksempel viser bare at påstanden stemmer i dette ene tilfellet. Det utelukker ikke at et annet vektorpar kunne gitt et annet resultat. Et bevis må derfor bruke vilkårene som er felles for vilkårlige ortogonale vektorer, uten å velge bestemte koordinater.

La $\vec p$ og $\vec q$ være vilkårlige ortogonale vektorer. Da er $\vec p\cdot\vec q=0$. Vi får

$$\begin{aligned} |\vec p+\vec q|^2 &=(\vec p+\vec q)\cdot(\vec p+\vec q)\\ &=\vec p\cdot\vec p+2\vec p\cdot\vec q+\vec q\cdot\vec q\\ &=|\vec p|^2+2\cdot0+|\vec q|^2\\ &=\boxed{|\vec p|^2+|\vec q|^2}. \end{aligned}$$

Vi brukte bare at vektorene var ortogonale. Derfor gjelder argumentet for alle vektorpar som oppfyller vilkåret, og påstanden er bevist.

Vi velger en sinusmodell. Observasjonene viser én tydelig bølgedal og én bølgetopp, og en harmonisk funksjon kan beskrive dette forløpet uten et polynom av høy grad.

Vi bruker alle åtte observasjonene. Åpne et tomt CAS-ark i GeoGebra, skriv én kommando på hver rad og trykk Enter etter hver rad. $L$ er punktlisten, FitSin tilpasser sinusmodellen til punktene, og Numeric viser flere siffer i det lagrede resultatet.

GeoGebra viser den lagrede modellen med få desimaler på rad 2. Numeric på rad 3 viser flere siffer; dette endrer ikke modellen. En avrundet framstilling er

$$\boxed{S(t)\approx63196{,}608+37213{,}657\sin(0{,}24263946t-2{,}95557263)},\qquad0\le t\le24.$$

$S$ måles i gigabit per time. Modellen beskriver den lave trafikken tidlig om morgenen og den høye trafikken om kvelden, men går ikke nøyaktig gjennom alle observasjonene. Det er normalt ved regresjon.

Den tilpassede perioden er omtrent $2\pi/0{,}24263946=25{,}9$ timer. Vi bruker derfor modellen for dette observerte døgnet, og antar ikke at den gjentar framtidige døgn nøyaktig. I de neste deloppgavene skal vi bruke den oppgitte modellen $D$, selv om den ligner på $S$.

Vi må løse

$$63000+37000\sin(0{,}24t-3)>90000,$$

altså

$$\sin(0{,}24t-3)>\frac{27}{37}.$$

Vi finner først grensene ved likhet. Sett $\alpha=\arcsin(27/37)$. Når $0\le t\le24$, ligger vinkelen $0{,}24t-3$ i $[-3,2{,}76]$. De to aktuelle vinklene er derfor $\alpha$ og $\pi-\alpha$. Vi løser $0{,}24t-3=\alpha$ og $0{,}24t-3=\pi-\alpha$, og får $t_1=(3+\alpha)/0{,}24$ og $t_2=(3+\pi-\alpha)/0{,}24$.

På et tomt CAS-ark skriver vi disse radene og trykker Enter etter hver. asin beregner invers sinus i radianer. Numeric gir desimalverdier av de to uttrykkene; vi bruker ingen løseknapp her.

I døgnet $0\le t\le24$ får vi grensene

$$t_1\approx15{,}90802743,\qquad t_2\approx22{,}18194196.$$

For å avgjøre hvor ulikheten gjelder, kan vi bruke sinuskurven: den er over $27/37$ mellom vinklene $\alpha=\arcsin(27/37)$ og $\pi-\alpha$. Vinkelen $0{,}24t-3$ øker med $t$, så modellen er over grensen mellom de to tidspunktene:

$$\boxed{15{,}90802743<t<22{,}18194196}.$$

Dette er omtrent fra klokken 15:54 til klokken 22:11. Tidene i klokkeslett er avrundet til nærmeste minutt; de nøyaktige grensene bestemmes av likningen. Endepunktene er ikke med, siden oppgaven spør om mer enn 90 000.

Vi deriverer den oppgitte modellen med kjerneregelen:

$$D'(t)=37000\cdot0{,}24\cos(0{,}24t-3)=8880\cos(0{,}24t-3).$$

Størst økning betyr størst positiv verdi av $D'$. Cosinus er høyst $1$, og denne verdien får vi når

$$0{,}24t-3=2k\pi\quad\Longrightarrow\quad t=12{,}5+\frac{2k\pi}{0{,}24}.$$

Bare $k=0$ gir et tidspunkt i $[0,24]$. Dermed økte trafikken raskest

$$\boxed{\text{klokken }12{:}30},\qquad\boxed{D'(12{,}5)=8880\ \text{gigabit per time}^2}.$$

Enheten betyr at trafikkraten i dette øyeblikket øker med 8880 gigabit per time for hver time. Dette er endringen i trafikkraten, ikke den datamengden som overføres.

Datamengden i hele døgnet er integralet av $D$ fra $0$ til $24$. Datamengden i arbeidsdagen er integralet fra $8$ til $16$. Vi kaller disse størrelsene $M$ og $W$:

$$M=\int_0^{24}D(t)\,dt,\qquad W=\int_8^{16}D(t)\,dt.$$

På et nytt CAS-ark skriver vi én rad om gangen og trykker Enter. Integral regner ut de bestemte integralene. Numeric viser desimaltall, mens variablene $M$ og $W$ beholder sine lagrede verdier.

Vi får

$$M\approx1502454{,}033\text{ gigabit},\qquad W\approx473762{,}604\text{ gigabit}.$$

Andelen blir

$$\frac WM\approx0{,}315325856.$$

Altså ble omtrent $\boxed{31{,}5\,\%}$ av døgnets datamengde overført mellom klokken 8 og 16. Vi bruker de lagrede integralverdiene i divisjonen, ikke avrundede mellomresultater.

Vi starter med $a=5$. Løkken skal kjøre seks ganger. Hver gang skriver den ut gjeldende ledd og beregner deretter neste ledd fra den rekursive formelen.

range(1, 7) gir verdiene $1,2,3,4,5,6$, altså seks runder. Python bruker to stjerner etter hverandre som operator for potenser. Programmet skriver ut

$$\begin{gathered} 5\\16\\225\\50176\\2517530625\\6337960442777829376. \end{gathered}$$

Vi bruker heltall gjennom hele beregningen. Python beholder dermed alle sifrene også i det siste store tallet. Utskriften kommer før oppdateringen, slik at det første leddet faktisk blir med.

Her betyr en konvergent rekke at summen $a_1+a_2+\cdots$ nærmer seg en endelig verdi. En nødvendig betingelse er da at $a_n\to0$.

Anta at rekken konvergerer. Da må både $a_n$ og $a_{n-1}$ gå mot null. Men rekursjonsformelen gir samtidig

$$a_n=(a_{n-1}-1)^2\longrightarrow(0-1)^2=1.$$

Leddet kan ikke gå mot både $0$ og $1$. Antakelsen er derfor umulig:

$$\boxed{\text{Ingen heltallsverdi av }a_1\text{ gjør rekken konvergent.}}$$

Vi kan også se hva som skjer for alle heltall. Startverdiene $0$, $1$ og $2$ fører etter hvert til vekslingen $0,1,0,1,\ldots$. For et heltall $a\ge3$ er

$$(a-1)^2-a=a^2-3a+1\ge1,$$

så leddene fortsetter å vokse og går ikke mot null. Starter vi med $a_1\le-1$, blir $a_2=(a_1-1)^2\ge4$, og vi er i det samme voksende tilfellet. Dermed er alle heltallsstartene dekket.

Høyden er tredje koordinat, altså $z(t)=50(1-t/10)^2$. Ved $t=4$ får vi

$$z(4)=50\left(1-\frac4{10}\right)^2=50\cdot0{,}6^2=\boxed{18\text{ m}}.$$

Flyet er 18 meter over motorveien etter fire sekunder.

Flyet lander når tredje koordinat er null:

$$50\left(1-\frac t{10}\right)^2=0\quad\Longrightarrow\quad t=10.$$

Den fysiske nødlandingen beskrives derfor for $0\le t\le10$. Vi deriverer hver koordinat:

$$\vec r\,'(t)=\left[30-2t,\;\frac{4\pi}{5}\cos\left(\frac\pi{10}t\right),\;t-10\right].$$

Den siste koordinaten følger av kjerneregelen: $100(1-t/10)(-1/10)=t-10$. Ved landing er

$$\vec r\,'(10)=\left[10,-\frac{4\pi}{5},0\right].$$

Banefarten blir dermed

$$\left|\vec r\,'(10)\right|=\sqrt{10^2+\left(-\frac{4\pi}{5}\right)^2}=\sqrt{100+\frac{16\pi^2}{25}}\approx\boxed{10{,}31\text{ m/s}}.$$

Vi bruker banefarten

$$v(t)=\sqrt{(30-2t)^2+\left(\frac{4\pi}{5}\cos\left(\frac\pi{10}t\right)\right)^2+(t-10)^2}.$$

Likningen $v(t)=14{,}3$ inneholder både polynom og trigonometriske ledd, så vi løser den numerisk. Åpne et tomt CAS-ark og trykk Enter etter hver rad. NSolve svarer til numerisk løsning med knappen $x\approx$. Her er $t=8$ en startgjetning for søket, ikke en avgrensning av intervallet. Numeric viser flere siffer i resultatet fra rad 3.

Vi får

$$\boxed{t\approx7{,}993881092\text{ s}},$$

altså omtrent 8,0 sekunder etter at nødlandingen begynte. Dette ligger i det fysiske tidsrommet $[0,10]$.

For å kontrollere at vi ikke mangler en løsning i dette tidsrommet, undersøker vi kvadratet av banefarten:

$$\frac{d}{dt}\bigl(v(t)^2\bigr)=10t-140-\frac{8\pi^3}{125}\sin\left(\frac{\pi t}{5}\right).$$

For $0\le t\le10$ er dette høyst $-40+8\pi^3/125<0$. Dermed avtar $v^2$, og også den positive banefarten $v$, gjennom hele nødlandingen. Den funne løsningen er derfor den eneste i det aktuelle tidsrommet.

Vi kaller krysningspunktet $Q=(125,8,25/2)$. For flyet finner vi

$$\vec r(5)=[150-25,\;8\sin(\pi/2),\;50(1-1/2)^2]=\left[125,8,\frac{25}{2}\right].$$

Flyet er altså i $Q$ etter 5 sekunder. Fuglen må tilbakelegge avstanden

$$\begin{aligned} |FQ|&=\sqrt{(125-131)^2+(8-67)^2+(12{,}5-23)^2}\\ &=\sqrt{36+3481+110{,}25}=\sqrt{3627{,}25}\text{ m}. \end{aligned}$$

Med jevn fart 12 m/s bruker fuglen

$$t_{\text{fugl}}=\frac{\sqrt{3627{,}25}}{12}\approx5{,}018887936\text{ s}.$$

Fuglen kommer bare om lag $0{,}019$ s etter flyet. Da er flyet i

$$\vec r(t_{\text{fugl}})\approx[125{,}38;\;8{,}00;\;12{,}41],$$

som er omtrent $0{,}39$ m fra $Q$. Det er langt mindre enn størrelsen til et fly.

$$\boxed{\text{Ja, fuglen treffer flyet (etter omtrent 5,0 s).}}$$

I en ren punktmodell treffes ikke punktene nøyaktig samtidig, men avstanden er under en halv meter.

Vi lager én mulig modell. La $x$ være høyden over bunnen i centimeter, og la $f(x)$ være vasens innvendige radius. Vi dreier grafen om $x$-aksen og bruker intervallet $0\le x\le20$.

Fotoet viser en bredere nedre del og en smalere hals. Vi velger én hel sinussvingning over høyden 20 cm. Da blir

$$c=\frac{2\pi}{20}=\frac\pi{10}.$$

Vi velger $\varphi=0$. Sinus øker da fra midtlinjen ved bunnen, får et maksimum ved $x=5$, et minimum ved $x=15$ og øker igjen mot åpningen ved $x=20$. Det gir den ønskede vekslingen mellom kropp, hals og åpning.

Vi velger amplituden $A=1$ cm. Radiusen varierer dermed 1 cm på hver side av midtlinjen. Dette er et forenklet valg av form, ikke en nøyaktig måling fra fotografiet. Modellen blir foreløpig

$$f(x)=\sin\left(\frac\pi{10}x\right)+d.$$

Vi bestemmer $d$ slik at kapasiteten er $1{,}5\text{ L}=1500\text{ cm}^3$. Skivemetoden gir

$$\begin{aligned} V&=\pi\int_0^{20}\left(\sin\left(\frac\pi{10}x\right)+d\right)^2\,dx\\ &=\pi\left(\int_0^{20}\sin^2\left(\frac\pi{10}x\right)\,dx +2d\int_0^{20}\sin\left(\frac\pi{10}x\right)\,dx+20d^2\right). \end{aligned}$$

Over én hel periode er sinusintegralet null. Ved å bruke $\sin^2u=(1-\cos(2u))/2$ finner vi at integralet av sinus i andre er $10$. Dermed er

$$V=\pi(10+20d^2).$$

Kravet $V=1500$ gir

$$d^2=\frac{75}{\pi}-\frac12,\qquad d=\sqrt{\frac{75}{\pi}-\frac12}\approx4{,}834588.$$

Vi velger den positive roten fordi $d$ er en radiusverdi. Et mulig funksjonsuttrykk er derfor

$$\boxed{f(x)=\sin\left(\frac\pi{10}x\right)+\sqrt{\frac{75}{\pi}-\frac12}},\qquad0\le x\le20.$$

For å tegne hele den aktuelle grafen i GeoGebra skriver vi følgende i algebrafeltet, én linje om gangen, og trykker Enter. If avgrenser grafen til vasens høyde. ZoomIn velger utsnittet, og SetAxesRatio gir samme målestokk langs begge aksene. Begge aksene har centimeter som enhet.

Grafen går fra radius omtrent $4{,}83$ cm ved bunnen til maksimal radius $5{,}83$ cm ved høyde 5 cm. Ved halsen, i høyde 15 cm, er radiusen omtrent $3{,}83$ cm. Den øker så til $4{,}83$ cm ved åpningen. Radiusen er positiv over hele intervallet, og volumet er 1500 cm³ med de uavrundede parameterne.

Vi tolker grafen som den innvendige formen og ser bort fra tykkelsen på glass og bunn. I en virkelig vase må disse tilpasses, slik at høyde og vannkapasitet fortsatt blir omtrent som ønsket. Fotografiet gir ikke én entydig fasit; andre begrunnede parametere kan også gi en passende vase.