Matematikk S1 høst 2024

Funksjonen er definert for $x\ne0$. Vi bruker brøkregelen med $u=e^{2x}$ og $v=x$. Kjerneregelen gir $u'=2e^{2x}$, og $v'=1$.

$$\begin{aligned}f'(x)&=\frac{u'v-uv'}{v^2}\\&=\frac{2e^{2x}\cdot x-e^{2x}\cdot1}{x^2}\\&=\frac{e^{2x}(2x-1)}{x^2},\qquad x\ne0.\end{aligned}$$

Programmet starter i $x=0$ og øker $x$ med 1 så lenge neste funksjonsverdi er større enn den nåværende. Løkken stopper altså første gang $O$ ikke lenger vokser. Da står $x$ ved toppunktet til andregradsfunksjonen $$O(x)=-0{,}1x^2+2000x-50\,000.$$

Vi deriverer og finner toppunktet: $$O'(x)=-0{,}2x+2000=0\quad\Longleftrightarrow\quad x=\frac{2000}{0{,}2}=10\,000.$$ Grafen er en parabel som vender den hule siden ned. Derfor vokser $O$ for $x<10\,000$ og avtar for $x>10\,000$.

Vi kontrollerer stoppkriteriet med differansen $$O(x+1)-O(x)=-0{,}1\big((x+1)^2-x^2\big)+2000=1999{,}9-0{,}2x.$$ Den er positiv når $x<9999{,}5$. For $x=9999$ er betingelsen sann, så $x$ blir $10\,000$. For $x=10\,000$ er differansen $-0{,}1<0$, så løkken stopper. Programmet skriver ut $$10\,000.$$

Siden $100^x=(10^2)^x=(10^x)^2$, setter vi $u=10^x$. Merk at $u>0$ for alle $x$. Likningen blir $$u^2-3u-4=0.$$

abc-formelen gir $$u=\frac{3\pm\sqrt{(-3)^2-4\cdot1\cdot(-4)}}{2}=\frac{3\pm\sqrt{25}}{2}=\frac{3\pm5}{2},$$ altså $u=4$ eller $u=-1$. Det stemmer med faktoriseringen $u^2-3u-4=(u-4)(u+1)$.

Løsningen $u=-1$ forkastes, fordi $10^x>0$. Dermed er $10^x=4$, som gir $$x=\lg4.$$ Svaret kan også skrives $x=2\lg2$.

Vi deler teller og nevner med $x^2$: $$\lim_{x\to\infty}\frac{x^2+x-12}{2x^2-18}=\lim_{x\to\infty}\frac{1+\frac1x-\frac{12}{x^2}}{2-\frac{18}{x^2}}.$$ Når $x\to\infty$, går $\frac1x$, $\frac{12}{x^2}$ og $\frac{18}{x^2}$ mot $0$. Grenseverdien eksisterer og er $$\frac{1+0-0}{2-0}=\frac12.$$

Det er 9 kuler, og Audun trekker uten tilbakelegging. Produktsetningen gir $$P(\text{to røde})=\frac49\cdot\frac38=\frac{12}{72},\quad P(\text{to blå})=\frac39\cdot\frac28=\frac6{72},\quad P(\text{to gule})=\frac29\cdot\frac18=\frac2{72}.$$ Hendelsene utelukker hverandre, så vi legger sammen: $$P(\text{samme farge})=\frac{12+6+2}{72}=\frac{20}{72}=\frac5{18}.$$

Kontroll med kombinatorikk: $$\frac{\binom42+\binom32+\binom22}{\binom92}=\frac{6+3+1}{36}=\frac{10}{36}=\frac5{18}.$$

Det er 2 gule og 7 andre kuler. Vi kan trekke gul først og en annen farge etterpå, eller omvendt: $$P(\text{nøyaktig én gul})=\frac29\cdot\frac78+\frac79\cdot\frac28=\frac{14}{72}+\frac{14}{72}=\frac{28}{72}=\frac7{18}.$$

Kontroll med kombinatorikk: $$\frac{\binom21\cdot\binom71}{\binom92}=\frac{14}{36}=\frac7{18}.$$

Vi leser av funksjonsverdiene i $x=0$ og $x=4$ og regner ut gjennomsnittlig vekstfart for hver funksjon.

Funksjonen $h$ har gjennomsnittlig vekstfart 0 og faller bort. Grafen til $g$ er en rett linje med stigningstall $\frac12$. Da er $g'(x)=\frac12$ for alle $x$, også for $x=1$, så også $g$ faller bort. Bare $f$ kan oppfylle begge kravene.

Vi kontrollerer at $f'(1)=1$. Grafen til $f$ er en parabel med nullpunkter i $x=0$ og $x=6$, og den går gjennom $(2,2)$. Vi kan derfor skrive $f(x)=ax(x-6)$. Punktet $(2,2)$ gir $a\cdot2\cdot(-4)=2$, altså $a=-\frac14$. Da er $$f(x)=-\frac14x^2+\frac32x,\qquad f'(x)=-\frac12x+\frac32,\qquad f'(1)=-\frac12+\frac32=1.$$ Forskriften passer også med $f(4)=2$ og med toppunktet i $x=3$. Du kan også tegne tangenten i punktet $(1,f(1))$ og se at stigningstallet er omtrent 1.

Funksjonen er $f$.

Multiplikasjonsprinsippet gir $$10\cdot20\cdot15\cdot15\cdot5=225\,000.$$ Det er mulig å lage 225 000 forskjellige antrekk.

De 5 skoparene består av 10 enkeltsko. Tore får med seg et skopar når begge skoene fra ett av parene er blant de tre. Det er $\binom{10}3=120$ like sannsynlige måter å velge 3 av 10 sko på. Med tre sko kan det være høyst ett helt par. Vi velger hvilket par (5 måter) og den tredje skoen blant de 8 andre (8 måter). Det gir $5\cdot8=40$ gunstige utvalg: $$P(\text{et skopar})=\frac{40}{120}=\frac13\approx33{,}3\,\%.$$

Kontroll med komplementet: Tre sko fra tre ulike par kan velges på $\binom53\cdot2^3=80$ måter. Da er $$P(\text{et skopar})=1-\frac{80}{120}=\frac13.$$

CAS gir $\frac13$.

Vi trenger mer enn $542\,000$ antrekk. I dag er det $225\,000$, så antallet må ganges med mer enn $\frac{542\,000}{225\,000}\approx2{,}41$. Ett nytt plagg i en gruppe med $n$ plagg ganger antallet antrekk med $\frac{n+1}{n}$. Denne faktoren er størst når $n$ er minst. Det lønner seg derfor å legge til i den minste gruppen.

Skoparene er den minste gruppen. Fem nye skopar gir 10 skopar og dobler antallet til $450\,000$. Da har både hodeplagg og skopar 10 enheter. En sjette ny enhet gir høyst $450\,000\cdot\frac{11}{10}=495\,000$ antrekk. Seks nye enheter er altså ikke nok.

Med sju nye enheter kan vi ta 6 nye skopar og 1 nytt hodeplagg: $$11\cdot20\cdot15\cdot15\cdot11=544\,500>542\,000.$$ Til sammenlikning gir 7 nye skopar bare $10\cdot20\cdot15\cdot15\cdot12=540\,000$ antrekk, som er for lite.

Vi kontrollerer med et program som prøver alle fordelinger med opptil 9 nye enheter i hver gruppe. Variablene h, s, j, b og p er antall nye hodeplagg, skjorter, jakker, bukser og skopar. Programmet tar vare på den minste summen av nye enheter som gir mer enn 542 000 antrekk.

Programmet skrev ut 7 og (1, 0, 0, 0, 6, 544500). Det minste antallet er 7: ett nytt hodeplagg og seks nye skopar. Da kan de lage 544 500 antrekk.

Vi har $f(4)=16+2=18$ og $f(1)=1+2=3$. Da er $$\frac{f(4)-f(1)}{4-1}=\frac{18-3}{3}=\frac{15}3=5.$$ Påstanden er sann.

Grenseverdiene forteller bare hva funksjonene nærmer seg når $x$ blir stor positiv eller stor negativ. De sier ingenting om funksjonsverdiene ellers. Et moteksempel er $$f(x)=\frac1{x^2+1}\qquad\text{og}\qquad g(x)=\frac2{x^2+1}.$$ Begge er definert for alle $x$, og begge går mot 0 når $x\to\infty$ og når $x\to-\infty$. Likevel er $f(0)=1$ og $g(0)=2$, så $f(x)\ne g(x)$. Påstanden er usann.

For $a=1$ er $1^x=1$ for alle $x$. Da er for eksempel $1^2=1^5$, selv om $2\ne5$. Likningen har altså løsninger med $x\ne y$, og påstanden er usann. Det samme skjer for $a=0$, for eksempel $0^1=0^2$, og for $a=-1$, for eksempel $(-1)^2=(-1)^4$.

Påstanden stemmer når $a>0$ og $a\ne1$. Da er $a^x$ enten strengt voksende eller strengt avtakende, så ulike eksponenter gir ulike verdier. Men påstanden skal gjelde for alle $a\in\mathbb{R}$, og da er den usann.

Grafen går gjennom punktet $(5,1)$. Det betyr $$\log_a(5)=1\quad\Longleftrightarrow\quad a^1=5\quad\Longleftrightarrow\quad a=5.$$

Vi kontrollerer med to andre punkter på grafen. Grafen går gjennom $(1,0)$, og $\log_5(1)=0$. Den går også gjennom $(25,2)$, og $\log_5(25)=2$ fordi $5^2=25$. Alle tre punktene passer med $a=5$.

GeoGebra tegner grafen til $\log_5(x)$ i sitt eget koordinatsystem og gir $A=(5,1)$ og $B=(25,2)$. Grafen og punktene kan sammenliknes med figuren, og de stemmer. Svaret er $$a=5.$$

Hver dag er et delforsøk med to utfall: gavekort eller ikke gavekort. Sannsynligheten for gavekort er $p=\frac1{1000}=0{,}001$ hver dag. Trollmat selger svært mange pakker, så vi kan regne med at sannsynligheten er den samme hver dag, og at dagene er uavhengige av hverandre. Antall gavekort $X$ på $n$ dager er derfor binomisk fordelt med $n$ forsøk og $p=0{,}001$.

Sannsynligheten for minst én reise er $$P(X\ge1)=1-P(X=0)=1-0{,}999^n.$$ Vi løser $1-0{,}999^n=0{,}2$: $$0{,}999^n=0{,}8\quad\Longleftrightarrow\quad n=\frac{\ln0{,}8}{\ln0{,}999}\approx223{,}03.$$

CAS gir $n\approx223{,}03$. Velg fem desimaler i avrundingen. Da gir de to neste linjene $1-0{,}999^{223}\approx0{,}19997$ og $1-0{,}999^{224}\approx0{,}20077$. Etter 223 dager er sannsynligheten litt under 20 %, og etter 224 dager har den nådd 20 %. Det tar altså 224 dager, det vil si 32 uker.

Vi regner med at hver reise koster Trollmat 5000 kroner. For de vanlige pakkene gir det i gjennomsnitt $\frac{5000}{1000}=5$ kroner i reisekostnad per pakke. Overskuddet per vanlig pakke er $$40-10-5=25\text{ kroner}.$$

For Gullknekk er reisekostnaden $\frac{5000}{100}=50$ kroner per pakke. Med prisen $p$ kroner blir overskuddet per pakke $p-10-50=p-60$. Vi krever $$p-60=25\quad\Longleftrightarrow\quad p=85.$$ Trollmat AS må ta 85 kroner per pakke Gullknekk.

Hver uke har 5 hverdager med sannsynlighet $0{,}001$ for gavekort og 2 helgedager med sannsynlighet $0{,}01$. Vi antar at kjøpene er uavhengige, som i a. Programmet simulerer ett år om gangen. Variabelen vunnet blir True hvis Hassan finner minst ett gavekort i løpet av året. Andelen slike år er et estimat for sannsynligheten.

En kjøring med Python 3.9 og startverdien 2024 ga utskriften 0.72911. Sannsynligheten for at Hassan vinner minst én reise i løpet av 52 uker er altså omtrent $73\,\%$. Med en annen startverdi blir svaret litt annerledes. Med 100 000 simuleringer endrer det seg vanligvis bare med noen tusendeler.

Kontroll ved regning: Året har $52\cdot5=260$ hverdager og $52\cdot2=104$ helgedager. Da er $$P(\text{minst én reise})=1-0{,}999^{260}\cdot0{,}99^{104}\approx0{,}7289.$$ Simuleringen stemmer godt med dette.

La $n$ være antall plasser. Nå er inntekten $1000n$ kroner per måned. Prisen 1500 kroner svarer til $\frac{1500-1000}{50}=10$ økninger på 50 kroner, så da er $n-10$ plasser utleid. Inntekten er den samme: $$\begin{aligned}1000n&=1500(n-10)\\1000n&=1500n-15\,000\\500n&=15\,000\\n&=30.\end{aligned}$$ Stephanie har 30 parkeringsplasser.

Etter $x$ prisøkninger er prisen $1000+50x$ kroner, og $30-x$ plasser er utleid. Her er $0\le x\le30$. Den månedlige inntekten er $$I(x)=(1000+50x)(30-x)=-50x^2+500x+30\,000.$$ Vi deriverer: $I'(x)=-100x+500$, som er null for $x=5$.

CAS gir $x=5$ og $I(5)=31\,250$. Grafen til $I$ er en parabel som vender den hule siden ned, så $x=5$ gir toppunktet. Det svarer til prisen $1000+50\cdot5=1250$ kroner og $30-5=25$ utleide plasser. Den største mulige månedlige inntekten er $$1250\cdot25=31\,250\text{ kroner}.$$

$$I'(x)=250-x,\qquad I'(15)=250-15=235.$$ Enheten er 1000 kroner per motor.

CAS gir $235$. Når Skipsmotor AS produserer og selger 15 motorer per år, øker inntekten med omtrent 235 000 kroner per ekstra motor. Den 16. motoren gir altså omtrent 235 000 kroner mer i inntekt. Den eksakte økningen er $I(16)-I(15)=234{,}5$, altså 234 500 kroner.

Overskuddet er $$O(x)=I(x)-K(x)=-0{,}5x^2+180x-600.$$ Vi deriverer: $O'(x)=-x+180$. Den deriverte er positiv for $x<180$ og negativ for $x>180$, så $O$ har toppunkt for $x=180$.

CAS gir $x=180$ og $O(180)=15\,600$. Skipsmotor AS må selge 180 båtmotorer. Da er overskuddet $15\,600$ tusen kroner, altså 15,6 millioner kroner.

Vi leser antakelsen slik at bedriften bare får 90 % av inntekten $I(x)$ når den produserer mer enn 50 motorer, mens kostnaden $K(x)$ gjelder alle produserte motorer. For $x>50$ blir overskuddet $$P(x)=0{,}9\cdot I(x)-K(x)=-0{,}45x^2+155x-600.$$

CAS gir $x\approx172{,}2$. Det er et toppunkt, fordi $P'(x)=-0{,}9x+155$ skifter fra positiv til negativ der. Antall motorer må være et helt tall. CAS gir $P(172)=12\,747{,}2$ og $P(173)=12\,746{,}95$, så 172 motorer er best.

For $x\le50$ er det ingen feil, og overskuddet er $O(x)$ fra b. Det vokser fram til $x=50$, der $O(50)=7150$. Det er mindre enn ovenfor. Det største overskuddet er derfor omtrent $12\,747$ tusen kroner, altså omtrent 12,75 millioner kroner.

La $S$ være hendelsen at personen er smittet, og $T$ hendelsen at testen viser smittet. Vi vet at $$P(S)=0{,}01,\qquad P(T\mid S)=0{,}99,\qquad P(T\mid\overline{S})=1-0{,}98=0{,}02.$$ Loven om total sannsynlighet gir $$P(T)=0{,}01\cdot0{,}99+0{,}99\cdot0{,}02=0{,}0099+0{,}0198=0{,}0297.$$

Bayes' setning gir $$P(S\mid T)=\frac{P(S)\cdot P(T\mid S)}{P(T)}=\frac{0{,}0099}{0{,}0297}=\frac13\approx33{,}3\,\%.$$

Av de 297 positive testene kommer 99 fra smittede personer, og $\frac{99}{297}=\frac13$. Sannsynligheten for at personen faktisk har covid-19, er omtrent $33{,}3\,\%$. Den er lav fordi så få er smittet. De mange ikke-smittede gir flere falske positive tester enn det finnes ekte positive tester.