Konsept · Matematikk S1

Standardavvik

Hva er standardavvik?

Standardavvik er et mål på hvor mye verdiene i et datasett sprer seg rundt gjennomsnittet $\bar{x}$ . Det er kvadratroten av variansen: $\sigma = \sqrt{\frac{1}{n}\sum (x_i-\bar{x})^2}$ . Et lite standardavvik betyr at tallene ligger tett samlet, mens et stort betyr stor spredning.

Les om Matematikk S1

Forklaring

Slik henger det sammen

Standardavvik, ofte skrevet $\sigma$ (sigma), er det vanligste spredningsmålet i statistikk. Det måler hvor langt observasjonene i gjennomsnitt ligger fra gjennomsnittsverdien $\bar{x}$ , og oppgis i samme enhet som selve dataene. Et lite standardavvik betyr at verdiene ligger tett rundt gjennomsnittet, mens et stort standardavvik betyr at de er mer spredt. Standardavvik brukes for å sammenligne hvor jevne eller ujevne to datasett er, selv om de har samme gjennomsnitt.

For å finne standardavviket regner du først ut gjennomsnittet. Deretter finner du hvor mye hver verdi avviker fra gjennomsnittet, kvadrerer avvikene og tar gjennomsnittet av dem. Dette gjennomsnittet kalles variansen $\sigma^2$ . Standardavviket er kvadratroten av variansen.

Har du for eksempel tallene $2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9$ , er gjennomsnittet $5$ . Summen av de kvadrerte avvikene blir $32$ , så variansen er $32/8 = 4$ og standardavviket $\sigma = \sqrt{4} = 2$ . Et standardavvik på $2$ betyr at observasjonene typisk ligger omtrent $2$ enheter unna gjennomsnittet.

Fremgangsmåte

Slik løser du det

Regn ut gjennomsnittet $\bar{x}$ av alle observasjonene.
Finn avviket $x_i - \bar{x}$ for hver verdi.
Kvadrer hvert avvik: $(x_i - \bar{x})^2$ .
Summer de kvadrerte avvikene og del på antallet $n$ — dette gir variansen $\sigma^2$ .
Ta kvadratroten av variansen: $\sigma = \sqrt{\sigma^2}$ .
Tolk resultatet: stort $\sigma$ betyr stor spredning, lite $\sigma$ betyr at verdiene ligger tett samlet.

Eksempel

Et gjennomregnet eksempel

Regneeksempel

En elev har fått karakterene $2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9$ på åtte prøver. Finn standardavviket.

Først regner vi ut gjennomsnittet: $\bar{x} = \frac{2+4+4+4+5+5+7+9}{8} = \frac{40}{8} = 5$ . Deretter finner vi de kvadrerte avvikene fra gjennomsnittet: $(2-5)^2 = 9$ , tre ganger $(4-5)^2 = 1$ , to ganger $(5-5)^2 = 0$ , $(7-5)^2 = 4$ og $(9-5)^2 = 16$ . Summen av disse blir $9+1+1+1+0+0+4+16 = 32$ . Variansen er gjennomsnittet av de kvadrerte avvikene, og standardavviket er kvadratroten av variansen: $\sigma = \sqrt{\frac{32}{8}} = \sqrt{4} = 2.$ Standardavviket er altså $2$ .

Vanlige spørsmål

Hva er forskjellen på varians og standardavvik?

Variansen er gjennomsnittet av de kvadrerte avvikene fra gjennomsnittet. Standardavviket er kvadratroten av variansen, og har derfor samme enhet som dataene, noe som gjør det lettere å tolke.

Hva betyr et stort standardavvik?

Et stort standardavvik betyr at observasjonene er spredt langt fra gjennomsnittet. Et lite standardavvik betyr at verdiene ligger tett samlet rundt gjennomsnittet.

Deler man på n eller n minus 1?

I Matematikk S1 deler man på antallet observasjoner n når man regner ut standardavviket for hele datasettet. Formelen med n minus 1 brukes for utvalg i mer avansert statistikk.

Fortsett i Matematikk S1

Her får du den korte forklaringen. I appen fortsetter du med videoer, oppgaver og eksamensrettet trening — standardavvik forklart steg for steg.

Start Matematikk S1