Konsept · Matematikk R1

Derivasjonsregler

Hva er derivasjonsregler?

Derivasjonsregler er faste regler for å derivere funksjoner. De viktigste er potensregelen $\frac{d}{dx}x^n = nx^{n-1}$ , sumregelen $(f+g)'=f'+g'$ , produktregelen $(fg)'=f'g+fg'$ , kvotientregelen $\left(\frac{f}{g}\right)'=\frac{f'g-fg'}{g^2}$ og kjerneregelen $(f(g(x)))'=f'(g(x))\cdot g'(x)$ . Et konstantledd deriveres alltid til $0$ .

Les om Matematikk R1

Forklaring

Slik henger det sammen

Derivasjonsregler er de faste reglene du bruker for å finne den deriverte $f'(x)$ , altså stigningstallet til tangenten i hvert punkt på grafen. Den mest brukte er potensregelen: du multipliserer med eksponenten og senker den med 1. For eksempel blir $\frac{d}{dx}x^5 = 5x^4$ . En ren konstant deriveres alltid til $0$ , og en konstant faktor beholdes, slik at $(7x^3)' = 21x^2$ .

For mer sammensatte uttrykk trenger du sum-, produkt-, kvotient- og kjerneregelen. Sumregelen lar deg derivere ledd for ledd. Produktregelen bruker du når to funksjoner multipliseres, kvotientregelen når de divideres, og kjerneregelen når én funksjon ligger inni en annen, som i $(x^2+1)^3$ . Da deriverer du det ytre uttrykket og ganger med den deriverte av kjernen.

I R1 deriverer du også eksponential- og logaritmefunksjoner, der $(e^x)' = e^x$ og $(\ln x)' = \frac{1}{x}$ . Et typisk eksempel: $f(x) = 3x^2 - 4x + 5$ gir $f'(x) = 6x - 4$ . Setter du inn $x = 2$ , får du stigningstallet $f'(2) = 8$ .

Fremgangsmåte

Slik løser du det

Skriv funksjonen som en sum av ledd, og bruk sumregelen til å derivere ett ledd om gangen.
På hvert potensledd $a x^n$ bruker du potensregelen: $(a x^n)' = a\cdot n\, x^{n-1}$ .
Et konstantledd deriveres til $0$ .
Er det et produkt eller en brøk, bruk produktregelen $(fg)'=f'g+fg'$ eller kvotientregelen $\left(\frac{f}{g}\right)'=\frac{f'g-fg'}{g^2}$ .
Ligger en funksjon inni en annen, bruk kjerneregelen: deriver det ytre uttrykket og gang med den deriverte av kjernen.
Trekk sammen og forenkle uttrykket for $f'(x)$ .

Eksempel

Et gjennomregnet eksempel

Regneeksempel

Deriver $f(x) = 2x^3 - 5x^2 + 4x - 7$ , og finn stigningstallet i $x = 3$ .

Vi deriverer ledd for ledd med potensregelen. Hvert potensledd $ax^n$ blir $a\cdot n\, x^{n-1}$ , og konstantleddet $-7$ blir $0$ .

$f'(x) = 3\cdot 2x^{2} - 2\cdot 5x^{1} + 4 = 6x^2 - 10x + 4$

Vi setter inn $x = 3$ : $f'(3) = 6\cdot 3^2 - 10\cdot 3 + 4 = 54 - 30 + 4 = 28$ . Stigningstallet er altså $28$ .

Vanlige spørsmål

Hva er forskjellen på produktregelen og kjerneregelen?

Produktregelen bruker du når to funksjoner multipliseres med hverandre. Kjerneregelen bruker du når en funksjon ligger inne i en annen, altså en sammensatt funksjon, som en parentes opphøyd i en potens.

Hva blir den deriverte av en konstant?

Den deriverte av et konstantledd er alltid null, fordi en konstant ikke endrer seg når x endrer seg. Grafen er vannrett og har stigningstall null.

Må jeg kunne alle derivasjonsreglene til eksamen i R1?

Ja, du bør kunne potensregelen, produktregelen, kvotientregelen og kjerneregelen utenat. I tillegg må du kunne derivere e opphøyd i x og den naturlige logaritmen.

Fortsett i Matematikk R1

Her får du den korte forklaringen. I appen fortsetter du med videoer, oppgaver og eksamensrettet trening — derivasjonsregler forklart steg for steg.

Start Matematikk R1