Konsept · Matematikk R1

Kjerneregelen

Hva er kjerneregelen?

Kjerneregelen brukes til å derivere sammensatte funksjoner. Hvis $y = f(u)$ og $u = g(x)$ , deriverer du den ytre funksjonen med hensyn på kjernen og ganger med den deriverte av kjernen: $\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$ . Kort sagt: deriver det ytre, behold kjernen, gang med kjernens deriverte.

Les om Matematikk R1

Forklaring

Slik henger det sammen

En sammensatt funksjon er en funksjon inni en annen funksjon, og vi kaller den indre funksjonen for kjernen. Når du skal derivere et uttrykk som $f(x) = (2x + 3)^4$ , kan du ikke bare bruke potensregelen direkte, fordi grunntallet ikke er $x$ alene, men hele uttrykket $2x + 3$ . Da trenger du kjerneregelen.

Kjerneregelen sier at du først deriverer den ytre funksjonen og lar kjernen stå urørt, og deretter ganger med den deriverte av kjernen. For $f(x) = (2x + 3)^4$ setter vi kjernen $u = 2x + 3$ , som gir $u' = 2$ . Den ytre funksjonen $u^4$ deriveres til $4u^3$ . Til slutt ganger vi sammen: $f'(x) = 4(2x + 3)^3 \cdot 2 = 8(2x + 3)^3$ .

Et godt tips er å spørre deg selv: hva er kjernen her? Deriver gjerne kjernen for seg selv først, så blir det enklere å sette sammen. Kjerneregelen brukes svært ofte i R1, gjerne kombinert med produktregelen og kvotientregelen når uttrykkene blir mer sammensatte. Den er også grunnlaget for å derivere funksjoner som $e^{2x}$ og $\sqrt{3x+1}$ .

Fremgangsmåte

Slik løser du det

Identifiser kjernen $u = g(x)$ , altså det indre uttrykket som ligger inni funksjonen.
Deriver kjernen for seg selv og finn $u' = \frac{du}{dx}$ .
Deriver den ytre funksjonen med hensyn på kjernen, og la kjernen stå urørt ( $\frac{dy}{du}$ ).
Gang de to deriverte sammen: $\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$ .
Sett uttrykket for kjernen inn igjen og forenkle svaret.

Eksempel

Et gjennomregnet eksempel

Regneeksempel

Deriver funksjonen $f(x) = (3x^2 + 1)^5$ .

Vi kjenner igjen en sammensatt funksjon. Kjernen er $u = 3x^2 + 1$ , som gir $u' = 6x$ . Den ytre funksjonen er $u^5$ , og dens deriverte med hensyn på kjernen er $5u^4$ . Kjerneregelen gir da $f'(x) = 5u^4 \cdot u' = 5(3x^2 + 1)^4 \cdot 6x$ Vi forenkler ved å gange sammen tallene og sette kjernen inn igjen: $f'(x) = 30x(3x^2 + 1)^4$ .

Vanlige spørsmål

Når bruker jeg kjerneregelen?

Du bruker kjerneregelen når du skal derivere en sammensatt funksjon, altså en funksjon som har et annet uttrykk enn x alene inni seg. Et typisk eksempel er en parentes opphøyd i en potens.

Hva er kjernen i en funksjon?

Kjernen er det indre uttrykket, altså funksjonen som ligger inni den ytre funksjonen. I uttrykket (2x+3) opphøyd i 4 er 2x+3 kjernen.

Hva er forskjellen på kjerneregelen og produktregelen?

Kjerneregelen brukes på funksjoner satt sammen ved innsetting, altså en funksjon inni en annen. Produktregelen brukes når to funksjoner ganges med hverandre.

Fortsett i Matematikk R1

Her får du den korte forklaringen. I appen fortsetter du med videoer, oppgaver og eksamensrettet trening — kjerneregelen forklart steg for steg.

Start Matematikk R1