Formel · Matematikk R1

Kjerneregelen

Hva er kjerneregelen?

Kjerneregelen brukes til å derivere sammensatte funksjoner — funksjoner der én funksjon er «inni» en annen. Hvis $f(x) = g(u(x))$ , gjelder $f'(x) = g'(u(x)) \cdot u'(x)$ : du deriverer den ytre funksjonen evaluert i kjernen, og ganger med den deriverte av kjernen.

Sist oppdatert 2. september 2026 · Realfagsportalen

Prøv kurset gratis Les om Matematikk R1

Forklaring

Slik henger det sammen

En sammensatt funksjon oppstår når én funksjon ligger inni en annen, for eksempel $(x+2)^9$ eller $e^{\sqrt{2x+1}}$ . Identifiser først den indre kjernen $u(x)$ og den ytre funksjonen $g$ . Skriv gjerne funksjonen som $f(x) = g(u(x))$ før du deriverer. For $(x+2)^9$ er kjernen $x+2$ . Du deriverer først niende potens og ganger deretter med den deriverte av $x+2$ . Resultatet blir $9(x+2)^8$ .

Kjerneregelen brukes også til å finne nye derivasjonsregler. Du kan blant annet vise at $(e^{kx})' = k \cdot e^{kx}$ og at $(a^x)' = \ln a \cdot a^x$ for positiv $a$ . Dette knytter regelen til både eksponentialfunksjoner og logaritmer.

Hvis kjernen selv er sammensatt, bruker du kjerneregelen én gang til. Identifiser lagene utenfra og innover. Deriver så hvert lag, multipliser faktorene og forenkle svaret.

Fremgangsmåte

Slik løser du det

Skriv funksjonen på formen $f(x) = g(u(x))$ og identifiser kjernen $u(x)$ — det indre uttrykket som «sitter inni» den ytre funksjonen.
Finn den deriverte av den ytre funksjonen $g'$ , men behold $u$ som én samlet størrelse foreløpig.
Finn den deriverte av kjernen $u'(x)$ . Er kjernen selv sammensatt, bruker du kjerneregelen én gang til på den.
Sett inn i kjerneregelen: $f'(x) = g'(u(x)) \cdot u'(x)$ .
Erstatt $u$ med det opprinnelige uttrykket og forenkle svaret.

Eksempel

Et gjennomregnet eksempel

Regneeksempel

Deriver $f(x) = e^{\sqrt{2x+1}}$ .

Vi identifiserer lag for lag. Sett $u = \sqrt{2x+1}$ , slik at $f(x) = e^u$ . Kjerneregelen gir $f'(x) = e^u \cdot u'$ .

Nå gjenstår det å finne $u'$ . Siden $u = \sqrt{2x+1}$ selv er en sammensatt funksjon, bruker vi kjerneregelen én gang til. Sett $v = 2x+1$ , slik at $u = v^{1/2}$ og $v' = 2$ :

$u' = \frac{1}{2} v^{-\frac{1}{2}} \cdot v' = \frac{1}{2\sqrt{v}} \cdot 2 = \frac{1}{\sqrt{2x+1}}$

Nå setter vi alt sammen og erstatter $u = \sqrt{2x+1}$ :

$f'(x) = e^{\sqrt{2x+1}} \cdot \frac{1}{\sqrt{2x+1}} = \frac{e^{\sqrt{2x+1}}}{\sqrt{2x+1}}$

Vanlige feil

Dette bør du passe på

Glemmer å gange med den deriverte av kjernen $u'(x)$ — mange deriverer bare den ytre funksjonen og stopper der. For eksempel skriver de $(e^{x^2})' = e^{x^2}$ i stedet for $2x \cdot e^{x^2}$ .
Evaluerer den ytre funksjonen i $x$ i stedet for i kjernen $u(x)$ , slik at sammensetningen mistes og svaret blir feil.
Blander indre og ytre funksjon og identifiserer feil hva som er kjernen, særlig når uttrykket ser komplisert ut. Ta deg tid til å skrive om til $f(x) = g(u(x))$ før du deriverer.
Glemmer å bruke kjerneregelen en ekstra gang når kjernen selv er sammensatt — for eksempel deriveres $\sqrt{2x+1}$ feil til $\frac{1}{2\sqrt{2x+1}}$ i stedet for $\frac{1}{\sqrt{2x+1}}$ fordi man ikke ganger med $v' = 2$ .

Neste steg

Gå videre i Matematikk R1

Pensum i Matematikk R1

Se pensum →

Eksamensoppgaver i R1

Se oppgavene →

Flere forklaringer i Matematikk R1

Vanlige spørsmål

Når trenger jeg kjerneregelen?

Du trenger kjerneregelen når du skal derivere en sammensatt funksjon — det vil si en funksjon der ett uttrykk er «inni» et annet, som (3x+1)^5 eller e^(x²). Ser du en funksjon av en funksjon, er kjerneregelen verktøyet du skal bruke.

Hva er forskjellen på kjerneregelen og produktregelen?

Kjerneregelen gjelder for sammensatte funksjoner, der én funksjon er satt inn i en annen — som sin(x²). Produktregelen gjelder derimot for produktet av to separate funksjoner, som x² · sin(x). Strukturen i funksjonsuttrykket avgjør hvilken regel du skal bruke.

Kan jeg bruke kjerneregelen flere ganger i samme oppgave?

Ja, absolutt. Hvis kjernen selv er en sammensatt funksjon, bruker du kjerneregelen én ekstra gang for å derivere den. Du arbeider deg innenfra og utover, ett lag om gangen, til hele uttrykket er derivert.

Er kjerneregelen viktig på R1-eksamen?

Ja, kjerneregelen er en av de mest brukte derivasjonsreglene og dukker opp i mange eksamensoppgaver. Den brukes også til å utlede derivasjonsregler for eksponentialfunksjoner som a^x, noe som er typisk eksamenspensum i R1.

Fortsett i Matematikk R1

Her får du den korte forklaringen. I appen fortsetter du med videoer, oppgaver og eksamensrettet trening — kjerneregelen forklart.

Kom i gang med kurset