Konsept · Matematikk R1

Eksponentialfunksjoner

Q: Hva er forskjellen på en eksponentialfunksjon og en potensfunksjon?

I en eksponentialfunksjon står den variable i eksponenten, som i 2 opphøyd i x. I en potensfunksjon står den variable i grunntallet, som i x opphøyd i 2. Derfor vokser eksponentialfunksjoner mye raskere for store x.

Q: Hva er det naturlige tallet e?

Det naturlige tallet e er omtrent 2,718 og er grunntallet i den naturlige eksponentialfunksjonen. Funksjonen e opphøyd i x er spesiell fordi den er sin egen deriverte.

Q: Hvordan finner jeg vekstfaktoren ut fra en prosent?

Legg prosenten til 100 og del på 100. En vekst på 8 prosent gir vekstfaktor 1,08, mens en nedgang på 8 prosent gir vekstfaktor 0,92.

Hva er eksponentialfunksjoner?

En eksponentialfunksjon har formen $f(x) = a \cdot b^x$ , der den variable $x$ står i eksponenten. Konstanten $a$ er startverdien ( $f(0)=a$ ), og $b>0$ , $b\neq 1$ er vekstfaktoren. Er $b>1$ , vokser funksjonen; er $0<b<1$ , avtar den. Den naturlige varianten skrives $f(x)=a\cdot e^{kx}$ .

Les om Matematikk R1

Forklaring

Slik henger det sammen

En eksponentialfunksjon skrives $f(x) = a \cdot b^x$ . Det som kjennetegner den, er at den variable $x$ står i eksponenten, ikke i grunntallet slik som i potensfunksjoner. Grunntallet $b$ kalles vekstfaktoren og må være positivt og ulik 1. Tallet $a = f(0)$ er startverdien, altså funksjonsverdien når $x = 0$ .

Vekstfaktoren bestemmer hvor raskt funksjonen endrer seg. Er $b = 1{,}05$ , vokser verdien med 5 % per steg; er $b = 0{,}90$ , avtar den med 10 %. For eksempel beskriver $f(x) = 2000 \cdot 1{,}05^x$ en konto med 2000 kr som vokser 5 % i året. Etter 3 år står det $2000 \cdot 1{,}05^3 \approx 2315$ kr.

I R1 bruker vi ofte det naturlige tallet $e \approx 2{,}718$ og skriver $f(x) = a \cdot e^{kx}$ . Den deriverte blir da $f'(x) = a k \cdot e^{kx}$ , fordi $e^x$ er sin egen deriverte.

Fremgangsmåte

Slik løser du det

Identifiser startverdien $a = f(0)$ og vekstfaktoren $b$ fra oppgaveteksten eller en tabell.
Sjekk at $b > 0$ og $b \neq 1$ . Er $b > 1$ , vokser funksjonen; er $0 < b < 1$ , avtar den.
Skriv funksjonen på formen $f(x) = a \cdot b^x$ .
Regn ut funksjonsverdier ved å sette inn $x$ , for eksempel $f(3) = a \cdot b^3$ .
Skal du finne $x$ når $f(x)$ er kjent, løs likningen med logaritmer: $x = \dfrac{\ln(f(x)/a)}{\ln b}$ .
For derivasjon: skriv om til $f(x) = a \cdot e^{kx}$ med $k = \ln b$ , slik at $f'(x) = ak \cdot e^{kx}$ .

Eksempel

Et gjennomregnet eksempel

Regneeksempel

En bakteriekultur har 500 bakterier og vokser med 20 % hver time. Hvor mange bakterier er det etter 6 timer?

Startverdien er $a = 500$ , og en vekst på 20 % gir vekstfaktoren $b = 1 + 0{,}20 = 1{,}20$ . Funksjonen blir $f(x) = 500 \cdot 1{,}20^x$ , der $x$ er antall timer. Vi setter inn $x = 6$ og regner ut potensen $1{,}20^6 = 2{,}985984$ : $f(6) = 500 \cdot 1{,}20^6 \approx 1493$ Det er altså omtrent 1493 bakterier etter 6 timer.

Vanlige spørsmål

Hva er forskjellen på en eksponentialfunksjon og en potensfunksjon?

I en eksponentialfunksjon står den variable i eksponenten, som i 2 opphøyd i x. I en potensfunksjon står den variable i grunntallet, som i x opphøyd i 2. Derfor vokser eksponentialfunksjoner mye raskere for store x.

Hva er det naturlige tallet e?

Det naturlige tallet e er omtrent 2,718 og er grunntallet i den naturlige eksponentialfunksjonen. Funksjonen e opphøyd i x er spesiell fordi den er sin egen deriverte.

Hvordan finner jeg vekstfaktoren ut fra en prosent?

Legg prosenten til 100 og del på 100. En vekst på 8 prosent gir vekstfaktor 1,08, mens en nedgang på 8 prosent gir vekstfaktor 0,92.

Fortsett i Matematikk R1

Her får du den korte forklaringen. I appen fortsetter du med videoer, oppgaver og eksamensrettet trening — eksponentialfunksjoner forklart steg for steg.

Start Matematikk R1