Konsept · Matematikk R1

Logaritmer

Hva er logaritmer?

En logaritme er den eksponenten et grunntall må opphøyes i for å gi et bestemt tall. $\log_a x = y$ betyr at $a^y = x$ , der $a>0$ , $a\neq 1$ og $x>0$ . I R1 brukes oftest tierlogaritmen $\lg x = \log_{10} x$ for å løse eksponentiallikninger.

Les om Matematikk R1

Forklaring

Slik henger det sammen

En logaritme svarer på spørsmålet: hvilken eksponent må grunntallet opphøyes i for å gi et bestemt tall? Skrivemåten $\log_a x = y$ betyr nemlig at $a^y = x$ . For at dette skal gi mening må grunntallet være positivt og ulik én, altså $a>0$ og $a\neq 1$ , og tallet vi tar logaritmen av må være positivt, $x>0$ . I R1 bruker vi oftest tierlogaritmen $\lg x = \log_{10} x$ . For eksempel er $\lg 1000 = 3$ , fordi $10^3 = 1000$ , og $\lg 1 = 0$ , fordi $10^0 = 1$ .

Logaritmer følger tre viktige regneregler: produktregelen $\lg(xy) = \lg x + \lg y$ , kvotientregelen $\lg\frac{x}{y} = \lg x - \lg y$ og potensregelen $\lg(x^p) = p\lg x$ . Potensregelen er den mest nyttige, fordi den lar oss flytte en ukjent eksponent ned som en faktor vi kan regne videre med.

Nettopp derfor er logaritmer det sentrale verktøyet for å løse eksponentiallikninger som $2^x = 50$ . Vi tar logaritmen på begge sider, bruker potensregelen og deler for å finne den ukjente. Logaritmen er altså den omvendte (inverse) operasjonen til å opphøye i en potens, på samme måte som subtraksjon er det motsatte av addisjon.

Fremgangsmåte

Slik løser du det

Sørg for at potensen står alene på én side av likningen, f.eks. $a^x = b$ .
Ta logaritmen på begge sider (tierlogaritmen $\lg$ fungerer alltid): $\lg(a^x) = \lg b$ .
Bruk potensregelen og flytt eksponenten ned: $x\lg a = \lg b$ .
Del på $\lg a$ for å isolere den ukjente: $x = \dfrac{\lg b}{\lg a}$ .
Regn ut på kalkulator og rund av svaret til ønsket antall desimaler.

Eksempel

Et gjennomregnet eksempel

Regneeksempel

Løs eksponentiallikningen $2^x = 50$ .

Vi tar tierlogaritmen på begge sider: $\lg(2^x) = \lg 50$ . Med potensregelen er $\lg(2^x) = x\lg 2$ , så vi får $x\lg 2 = \lg 50$ . Vi deler på $\lg 2$ : $x = \frac{\lg 50}{\lg 2} = \frac{1{,}699}{0{,}301} \approx 5{,}64.$ Kontroll: $2^{5{,}64} \approx 50$ . Svar: $x \approx 5{,}64$ .

Vanlige spørsmål

Hva er forskjellen på lg, ln og log?

lg er logaritmen med grunntall 10 (tierlogaritmen), mens ln er den naturlige logaritmen med grunntall e, cirka 2,718. I norsk videregående skole betyr log uten oppgitt grunntall som regel tierlogaritmen, og i R1 brukes mest lg.

Hvorfor kan man ikke ta logaritmen av et negativt tall eller null?

Fordi logaritmen er den omvendte operasjonen til en potens med positivt grunntall, og en slik potens er alltid positiv. Det finnes derfor ingen eksponent som gir et negativt tall eller null.

Hvordan løser jeg en eksponentiallikning med logaritmer?

Ta logaritmen på begge sider av likningen, bruk potensregelen til å flytte eksponenten ned som faktor, og del til slutt for å finne den ukjente.

Fortsett i Matematikk R1

Her får du den korte forklaringen. I appen fortsetter du med videoer, oppgaver og eksamensrettet trening — logaritmer forklart steg for steg.

Start Matematikk R1