Konsept · Matematikk 1T

Andregradslikninger

Q: Hva skiller en andregradslikning fra en lineær likning?

En lineær likning har den ukjente i første potens, for eksempel 3x + 5 = 11, og har alltid nøyaktig én løsning (eller ingen/uendelig mange). En andregradslikning har den ukjente i andre potens og kan ha to, én eller ingen reelle løsninger avhengig av konstantene i likningen.

Q: Hvilken metode skal jeg velge for å løse en andregradslikning?

Prøv metodene i rekkefølge: Er likningen på formen x² = k, tar du kvadratroten. Kan venstresiden faktoriseres til et produkt lik null, bruker du produktregelen. Ellers fullfører du kvadratet — eller bruker abc-formelen, som er et eget tema i kapitlet.

Q: Kan en andregradslikning ha bare én løsning?

Ja! Det skjer når likningen er på formen x² = 0 eller (x + p)² = 0, fordi pluss-minus null er null. Grafisk betyr det at parabelen akkurat tangerer x-aksen i ett punkt — dette kalles en dobbeltrot.

Q: Er andregradslikninger på eksamen i 1T?

Ja, andregradslikninger er et sentralt tema i 1T og dukker opp i oppgaver om funksjoner, modellering og likningssystemer. Å beherske de tre metodene — kvadratrot, produktregelen og fullføre kvadratet — er forventet på eksamen.

Hva er andregradslikninger?

En andregradslikning har høyeste potens $x^2$ og kan skrives som $ax^2 + bx + c = 0$ , der $a \neq 0$ . Den enkleste typen har et tall på høyre side, for eksempel $x^2 = 4$ . Et positivt tall gir to løsninger, null gir én, og et negativt tall gir ingen. Vi kaller dette tallet $k$ og skriver $x^2 = k$ . Andre likninger kan løses ved å faktorisere eller bruke abc-formelen.

Sist oppdatert 2. september 2026 · Realfagsportalen

Prøv kurset gratis Les om Matematikk 1T

Forklaring

Slik henger det sammen

Når du har isolert $x^2$ , bestemmer tallet på høyre side hvor mange løsninger likningen har. Vi kaller dette tallet $k$ . Er $k > 0$ , finnes to løsninger: $x = \sqrt{k}$ og $x = -\sqrt{k}$ . Er $k = 0$ , er $x = 0$ den eneste løsningen. Er $k < 0$ , har likningen ingen reelle løsninger. Denne tredelingen er den samme du møter i diskriminanten i abc-formelen.

Metodene utfyller hverandre. Nullproduktregelen krever at likningen er faktorisert og lik null. Da setter du hver faktor lik null. Når du fullfører kvadratet, deler du først på $a$ hvis koeffisienten foran $x^2$ ikke er $1$ . Deretter legger du kvadratet av halvparten av koeffisienten foran $x$ til på begge sider. Målet er å få formen $x^2 = k$ eller $(x + p)^2 = k$ .

Andregradslikninger brukes videre når du finner nullpunkter til andregradsfunksjoner og arbeider med modeller for areal og bevegelse.

Fremgangsmåte

Slik løser du det

Ordne likningen: flytt alle ledd til venstre side slik at høyre side er $0$ , eller isoler $x^2$ på én side.
Er likningen på formen $x^2 = k$ ? Ta kvadratroten av begge sider og skriv $x = \pm\sqrt{k}$ . Husk alltid $\pm$ .
Er venstresiden et fullstendig kvadrat $(x + p)^2 = k$ ? Ta kvadratroten direkte. Hvis ikke, deler du først på koeffisienten foran $x^2$ og fullfører kvadratet.
Er høyre side $0$ og venstresiden faktoriserbar? Bruk nullproduktregelen: sett hver faktor lik null og løs. Del aldri på $x$ .
Skriv løsningene med ord og kontroller dem ved å sette dem inn i den opprinnelige likningen.

Eksempel

Et gjennomregnet eksempel

Regneeksempel

Løs andregradslikningen $x^2 - x - 6 = 0$ .

Likningen er allerede lik null på høyre side. Vi prøver å faktorisere venstresiden med parentesmetoden: vi søker to tall med produkt $-6$ og sum $-1$ .

Tallene $2$ og $-3$ passer: $2 \cdot (-3) = -6$ og $2 + (-3) = -1$ .

Vi faktoriserer og bruker nullproduktregelen:

$(x + 2)(x - 3) = 0$

Enten er $x + 2 = 0$ , eller så er $x - 3 = 0$ . Det gir $x = -2$ og $x = 3$ .

Kontroll: $(-2)^2 - (-2) - 6 = 0$ og $3^2 - 3 - 6 = 0$ . Begge løsningene passer.

Vanlige feil

Dette bør du passe på

Glemmer $\pm$ når de tar kvadratroten: skriver $x = \sqrt{k}$ i stedet for $x = \pm\sqrt{k}$ og mister den negative løsningen.
Deler likningen på $x$ i stedet for å flytte ledd til én side. For eksempel løses $6x^2 = 9x$ feil ved å dele på $x$ — da forsvinner løsningen $x = 0$ og man risikerer å dele på null.
Bruker produktregelen uten å ha $0$ på høyre side. Produktregelen gjelder kun når produktet er lik null — ikke et annet tall.
Antar at $\sqrt{x^2} = x$ . Riktig er $\sqrt{x^2} = |x|$ . For $x^2 = k$ med positiv $k$ får du derfor både $x = \sqrt{k}$ og $x = -\sqrt{k}$ .

Neste steg

Gå videre i Matematikk 1T

Pensum i Matematikk 1T

Se pensum →

Eksamensoppgaver i 1T

Se oppgavene →

Flere forklaringer i Matematikk 1T

Vanlige spørsmål

Hva skiller en andregradslikning fra en lineær likning?

En lineær likning har den ukjente i første potens, for eksempel 3x + 5 = 11, og har alltid nøyaktig én løsning (eller ingen/uendelig mange). En andregradslikning har den ukjente i andre potens og kan ha to, én eller ingen reelle løsninger avhengig av konstantene i likningen.

Hvilken metode skal jeg velge for å løse en andregradslikning?

Prøv metodene i rekkefølge: Er likningen på formen x² = k, tar du kvadratroten. Kan venstresiden faktoriseres til et produkt lik null, bruker du produktregelen. Ellers fullfører du kvadratet — eller bruker abc-formelen, som er et eget tema i kapitlet.

Kan en andregradslikning ha bare én løsning?

Ja! Det skjer når likningen er på formen x² = 0 eller (x + p)² = 0, fordi pluss-minus null er null. Grafisk betyr det at parabelen akkurat tangerer x-aksen i ett punkt — dette kalles en dobbeltrot.

Er andregradslikninger på eksamen i 1T?

Ja, andregradslikninger er et sentralt tema i 1T og dukker opp i oppgaver om funksjoner, modellering og likningssystemer. Å beherske de tre metodene — kvadratrot, produktregelen og fullføre kvadratet — er forventet på eksamen.

Fortsett i Matematikk 1T

Her får du den korte forklaringen. I appen fortsetter du med videoer, oppgaver og eksamensrettet trening — andregradslikninger forklart.

Kom i gang med kurset