Konsept · Matematikk R1

Polynomdivisjon

Hva er polynomdivisjon?

Polynomdivisjon er en metode for å dele ett polynom $P(x)$ på et annet $D(x)$ , slik at $P(x) = D(x)\cdot Q(x) + R(x)$ , der kvotienten er $Q(x)$ og resten $R(x)$ har lavere grad enn $D(x)$ . Den fungerer som vanlig lang divisjon med tall.

Les om Matematikk R1

Forklaring

Slik henger det sammen

Polynomdivisjon fungerer på akkurat samme måte som lang divisjon med tall, men nå deler vi ett polynom på et annet. Du deler det leddet med høyest grad i telleren på det leddet med høyest grad i nevneren, ganger opp, trekker fra, og gjentar til graden av resten er lavere enn graden av divisoren.

Et eksempel: når vi deler $x^3 - 6x^2 + 11x - 6$ på $x - 1$ , får vi kvotienten $x^2 - 5x + 6$ og rest $0$ . Slik kan vi skrive $x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = (x-1)(x^2 - 5x + 6)$ . At resten blir null, betyr at $x - 1$ er en faktor, og at $x = 1$ er et nullpunkt.

I R1 brukes polynomdivisjon særlig til å faktorisere polynomer av tredje grad eller høyere. Når du har funnet ett nullpunkt $a$ , kan du dele på $x - a$ og redusere problemet til et andregradsuttrykk du løser videre med abc-formelen. Dette er en effektiv vei til alle nullpunktene.

Fremgangsmåte

Slik løser du det

Ordne både dividenden $P(x)$ og divisoren $D(x)$ etter synkende grad, og sett av plass for ledd som mangler (skriv f.eks. $0x^2$ ).
Del leddet med høyest grad i $P(x)$ på leddet med høyest grad i $D(x)$ — dette blir første ledd i kvotienten $Q(x)$ .
Gang dette leddet med hele divisoren, og trekk produktet fra $P(x)$ .
Bruk resten som nytt dividend, og gjenta divisjon, multiplikasjon og subtraksjon.
Stopp når graden av resten er lavere enn graden av divisoren. Da er $P(x) = D(x)\cdot Q(x) + R(x)$ .

Eksempel

Et gjennomregnet eksempel

Regneeksempel

Utfør polynomdivisjonen $(x^3 - 6x^2 + 11x - 6) : (x - 1)$ .

Vi deler $x^3$ på $x$ og får $x^2$ . Vi ganger: $x^2(x-1) = x^3 - x^2$ , og trekker fra, slik at resten blir $-5x^2 + 11x - 6$ . Deretter deler vi $-5x^2$ på $x$ og får $-5x$ . Vi ganger: $-5x(x-1) = -5x^2 + 5x$ , og trekker fra, slik at resten blir $6x - 6$ . Til slutt deler vi $6x$ på $x$ og får $6$ ; her er $6(x-1) = 6x - 6$ , som gir rest $0$ .

$x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = (x - 1)(x^2 - 5x + 6)$

Kvotienten er $x^2 - 5x + 6$ og resten er $0$ .

Vanlige spørsmål

Når går polynomdivisjon opp uten rest?

Det skjer når divisoren er en faktor i polynomet. Hvis du deler på x minus a og a er et nullpunkt, blir resten null.

Kan jeg bruke polynomdivisjon til å faktorisere?

Ja. Finn først ett nullpunkt a, del polynomet på x minus a, og faktoriser deretter kvotienten videre, gjerne med abc-formelen.

Hva betyr resten i en polynomdivisjon?

Resten er det som blir igjen når divisoren ikke går helt opp. Den har alltid lavere grad enn divisoren, og blir null bare når divisoren er en faktor.

Fortsett i Matematikk R1

Her får du den korte forklaringen. I appen fortsetter du med videoer, oppgaver og eksamensrettet trening — polynomdivisjon steg for steg.

Start Matematikk R1