Konsept · Matematikk 1T

Polynomdivisjon

Hva er polynomdivisjon?

Polynomdivisjon er en metode for å dele et polynom på et annet, akkurat som langdivisjon med tall. Du finner en kvotient og eventuelt en rest. Hvis resten er $0$ , er divisoren en faktor i polynomet. Dette er særlig nyttig for å faktorisere tredjegradspolynomer og løse tredjegradslikninger.

Sist oppdatert 2. september 2026 · Realfagsportalen

Prøv kurset gratis Les om Matematikk 1T

Forklaring

Slik henger det sammen

Polynomdivisjon virker også når divisjonen ikke går opp. Da får du en kvotient og en rest. Hvis resten er null, er divisoren en faktor. Når $P(k) = 0$ , er derfor $(x-k)$ en faktor i $P(x)$ . Dette knytter nullpunkter til faktorisering.

Hvis målet er å faktorisere et tredjegradspolynom, kan du først lete etter et enkelt nullpunkt. Heltallskandidater må dele konstantleddet. For polynomer som ikke er moniske, kan også brøker være aktuelle. Når du har en faktor $(x-k)$ , deler du ledd for ledd: del høyeste ledd, multipliser tilbake, trekk fra og ta med neste ledd.

Kontroller divisjonen ved å multiplisere divisoren med kvotienten og legge til resten. Du skal da få det opprinnelige polynomet. Hvis kvotienten kan faktoriseres videre, gjør du det. Hvis ikke, lar du den stå.

Fremgangsmåte

Slik løser du det

Skriv polynomet i synkende graderekkefølge og sett inn $0$ for eventuelle manglende ledd, f.eks. $0 \cdot x^2$ .
Finn et nullpunkt $k$ : prøv enkle heltall som $\pm 1$ og $\pm 2$ i $P(k)$ inntil du får $P(k) = 0$ .
Del leddet med høyest grad på divisorens ledende ledd og skriv resultatet som første ledd i kvotienten.
Multipliser dette leddet med divisoren, trekk fra polynomet og bring ned neste ledd.
Gjenta steg 3–4 til resten har lavere grad enn divisoren (eller er $0$ ).
Faktoriser kvotienten videre og sett alle faktorer lik null for å finne samtlige løsninger av likningen.

Eksempel

Et gjennomregnet eksempel

Regneeksempel

Faktoriser $P(x) = x^3 - 2x^2 - x + 2$ fullstendig og løs likningen $P(x) = 0$ .

Vi prøver enkle heltall for å finne et nullpunkt. Test $x = 1$ :

$P(1) = 1^3 - 2 \cdot 1^2 - 1 + 2 = 0$

Siden $P(1) = 0$ , er $(x - 1)$ en faktor. Vi utfører divisjonen:

$x^3 - 2x^2 - x + 2 \;:\; (x - 1) = x^2 - x - 2$

Resten er $0$ . Kvotienten faktoriseres videre:

$x^2 - x - 2 = (x + 1)(x - 2)$

Dermed er $P(x) = (x - 1)(x + 1)(x - 2)$ . Løsningene av $P(x) = 0$ er $x = 1$ , $x = -1$ og $x = 2$ .

Vanlige feil

Dette bør du passe på

Glemmer å sette inn $0$ -ledd for manglende potenser — for eksempel må $3x^3 + 4x + 5$ skrives som $3x^3 + 0 \cdot x^2 + 4x + 5$ i oppstillingen, ellers forskyves leddene og divisjonen går galt.
Glemmer minustegnet ved subtraksjon: i hvert steg trekker man fra hele produktet, og det er lett å glemme å skifte fortegn på alle ledd i uttrykket som trekkes fra.
Blander om fortegnet i faktoren: hvis $P(2) = 0$ , er faktoren $(x - 2)$ , ikke $(x + 2)$ . Fortegnet inne i parentesen er alltid motsatt av nullpunktet $k$ .
Stopper etter divisjonen uten å faktorisere kvotienten videre — andregradsuttrykket kan nesten alltid brytes ned, og uten det mangler man de resterende løsningene av tredjegradslikningen.

Neste steg

Gå videre i Matematikk 1T

Pensum i Matematikk 1T

Se pensum →

Eksamensoppgaver i 1T

Se oppgavene →

Flere forklaringer i Matematikk 1T

Vanlige spørsmål

Hva er polynomdivisjon, kort forklart?

Polynomdivisjon er en divisjonsalgoritme for polynomer som fungerer på nøyaktig samme måte som langdivisjon med tall. Du deler et polynom på et annet og får en kvotient og en rest. Hvis resten er null, er divisoren en eksakt faktor i polynomet.

Hvordan vet jeg hvilken faktor jeg skal dele polynomet på?

Du leter etter et nullpunkt k ved å sette inn enkle heltall som ±1 og ±2 i polynomet P(x). Når du finner en verdi k slik at P(k) = 0, vet du at (x − k) er en faktor og at divisjonen går opp uten rest.

Hva gjør jeg hvis resten ikke er null etter divisjonen?

En rest forskjellig fra null betyr at divisoren ikke er en faktor. Selve divisjonen er fortsatt gyldig og gir både kvotient og rest. Hvis målet er faktorisering, må du velge en annen kandidat til nullpunkt.

Er polynomdivisjon på eksamen i 1T, og er det vanskelig?

Ja, polynomdivisjon er pensum i 1T og kan komme på eksamen, særlig i oppgaver om faktorisering og tredjegradslikninger. Metoden virker krevende første gang, men etter noen øvingsoppgaver sitter algoritmen godt — det er egentlig bare langdivisjon med polynomer i stedet for tall.

Fortsett i Matematikk 1T

Her får du den korte forklaringen. I appen fortsetter du med videoer, oppgaver og eksamensrettet trening — polynomdivisjon forklart.

Kom i gang med kurset