Konsept · Matematikk 1T

Faktorisering

Hva er faktorisering?

Faktorisering betyr å skrive et matematisk uttrykk som et produkt av faktorer i stedet for en sum. For et andregradsuttrykk gjelder $ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)$ , der $x_1$ og $x_2$ er nullpunktene. Vanlige metoder er å sette utenfor felles faktor og bruke kvadratsetningene.

Les om Matematikk 1T

Forklaring

Slik henger det sammen

Å faktorisere et uttrykk vil si å skrive det om fra en sum til et produkt av faktorer. Det motsatte av å faktorisere er å gange ut parentesene. Faktorisering brukes blant annet til å forkorte brøker, løse likninger og finne nullpunkter til funksjoner, og er derfor et helt sentralt verktøy i 1T.

Den enkleste metoden er å sette utenfor felles faktor. For eksempel er $6x^2 + 9x = 3x(2x + 3)$ , fordi $3x$ er den største felles faktoren i begge ledd. Har uttrykket formen til en kvadratsetning, kan du bruke disse direkte. Konjugatsetningen $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ gir for eksempel $x^2 - 16 = (x - 4)(x + 4)$ .

For et andregradsuttrykk finner du først nullpunktene $x_1$ og $x_2$ med abc-formelen, og skriver deretter $ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$ . Husk at hvert nullpunkt $x_1$ svarer til faktoren $(x - x_1)$ . Du kan alltid kontrollere svaret ved å gange ut igjen og se at du får tilbake det opprinnelige uttrykket.

Fremgangsmåte

Slik løser du det

Sjekk først om alle ledd har en felles faktor, og sett den eventuelt utenfor en parentes, f.eks. $6x^2 + 9x = 3x(2x + 3)$ .
Se om uttrykket passer en av kvadratsetningene, som konjugatsetningen $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ .
For et andregradsuttrykk: finn nullpunktene $x_1$ og $x_2$ med abc-formelen.
Skriv uttrykket som $a(x - x_1)(x - x_2)$ .
Kontroller ved å gange ut parentesene og se at du får tilbake det opprinnelige uttrykket.

Eksempel

Et gjennomregnet eksempel

Regneeksempel

Faktoriser andregradsuttrykket $x^2 - 5x + 6$ .

Her er $a = 1$ , $b = -5$ og $c = 6$ . Vi finner nullpunktene med abc-formelen: $x = \frac{5 \pm \sqrt{(-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1} = \frac{5 \pm 1}{2}$ Dette gir $x_1 = 3$ og $x_2 = 2$ . Da blir $x^2 - 5x + 6 = (x - 3)(x - 2)$ . Kontroll: $(x - 3)(x - 2) = x^2 - 5x + 6$ . Svar: $(x - 3)(x - 2)$ .

Vanlige spørsmål

Hva er forskjellen på faktorisering og å løse en likning?

Når du faktoriserer skriver du om et uttrykk til et produkt uten å endre verdien. Når du løser en likning finner du hvilke x-verdier som gjør likningen sann. De henger sammen, fordi nullpunktene du finner når du løser likningen er nettopp tallene som gir faktorene.

Når er et uttrykk ferdig faktorisert?

Et uttrykk er ferdig faktorisert når det er skrevet som et produkt av faktorer som ikke kan deles opp i enklere faktorer. For et andregradsuttrykk betyr det vanligvis to førstegradsparenteser.

Hva gjør jeg hvis andregradsuttrykket ikke har nullpunkter?

Hvis abc-formelen gir et negativt tall under rottegnet, har uttrykket ingen reelle nullpunkter og kan ikke faktoriseres med reelle tall. Da lar du uttrykket stå som det er.

Fortsett i Matematikk 1T

Her får du den korte forklaringen. I appen fortsetter du med videoer, oppgaver og eksamensrettet trening — faktorisering forklart steg for steg.

Start Matematikk 1T