Formel · Matematikk 1T

Kvadratsetningene

Hva er kvadratsetningene?

Kvadratsetningene er tre algebraiske formler som gir snarveier ved multiplikasjon av parentesuttrykk. Den første sier $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ , den andre $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ , og konjugatsetningen $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$ . Du identifiserer mønsteret, setter inn $a$ og $b$ , og slipper å gange ut parentesene steg for steg.

Sist oppdatert 2. september 2026 · Realfagsportalen

Prøv kurset gratis Les om Matematikk 1T

Forklaring

Slik henger det sammen

Formlene utledes ved å gange ut parentesene på vanlig måte og deretter samle like ledd. For $(a+b)(a+b)$ får du fire ledd — $a^2 + ab + ab + b^2$ — der de to midterste slås sammen til $2ab$ og gir $a^2 + 2ab + b^2$ . I konjugatsetningen opphever de midterste leddene hverandre fullstendig fordi $+ab$ og $-ab$ kansellerer, og du sitter igjen med bare $a^2 - b^2$ . Det er nettopp dette som gjør konjugatsetningen så kraftig og elegant.

Kvadratsetningene brukes i to retninger: til å forenkle algebraiske uttrykk og som smarte verktøy for hoderegning. Ser du to tall som ligger symmetrisk rundt et rundt tall, for eksempel $47 = 50 - 3$ og $53 = 50 + 3$ , gir konjugatsetningen svaret på sekunder: $(50 - 3)(50 + 3) = 50^2 - 3^2 = 2491$ .

I neste tema i kapitlet, faktorisering med kvadratsetningene, bruker du de samme formlene baklengs — du gjenkjenner mønstrene $a^2 + 2ab + b^2$ og $a^2 - b^2$ i et uttrykk og skriver dem tilbake som produkter. Kvadratsetningene er dermed ikke bare praktiske snarveier, men grunnlaget for algebraiske teknikker du møter gjennom hele 1T, videre i R1 og i fysikk. Å beherske dem nå betaler seg mange ganger.

Fremgangsmåte

Slik løser du det

Les av uttrykket og avgjør hvilken formel som passer: kvadrat av sum $(a+b)^2$ , kvadrat av differanse $(a-b)^2$ , eller produkt av konjugerte $(a+b)(a-b)$ .
Identifiser hva $a$ og $b$ er i det konkrete uttrykket — $b$ er alt som legges til eller trekkes fra $a$ inni parentesen.
Sett inn $a$ og $b$ direkte i den valgte formelen.
Regn ut hvert ledd for seg og bruk potensreglene der det trengs, f.eks. $(3x)^2 = 9x^2$ og $(y^2)^2 = y^4$ .
Forenkle svaret og sjekk om du kan samle like ledd eller faktorisere ut fellesfaktorer.

Eksempel

Et gjennomregnet eksempel

Regneeksempel

Bruk konjugatsetningen til å regne ut $47 \cdot 53$ uten kalkulator.

Vi legger merke til at $47 = 50 - 3$ og $53 = 50 + 3$ — begge tallene ligger like langt fra $50$ . Vi setter $a = 50$ og $b = 3$ og bruker konjugatsetningen $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$ :

$47 \cdot 53 = (50 - 3)(50 + 3) = 50^2 - 3^2 = 2500 - 9$

$= 2491$

Vanlige feil

Dette bør du passe på

Glemmer midtleddet og skriver $(a+b)^2 = a^2 + b^2$ . Husk at $ab$ -leddet dukker opp to ganger ved utganging og gir $+2ab$ — denne feilen er den aller vanligste med kvadratsetningene.
Bruker feil fortegn og skriver $+2ab$ i stedet for $-2ab$ i andre kvadratsetning. Husk at $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ — midtleddet er alltid negativt.
Glemmer parentesen rundt konjugatsetningsleddet ved subtraksjon, f.eks. i $(5n+2)^2 - (5n+2)(5n-2)$ . Uten parentesen distribueres ikke minustegnet riktig, og konstantleddet får feil fortegn.
Klarer ikke å gjenkjenne konjugatsetningen når leddene er i ulik rekkefølge. Et uttrykk som $(3 - b)(b + 3)$ er fremdeles $(a-b)(a+b)$ — bare omorganiser leddene inni parentesene.

Neste steg

Gå videre i Matematikk 1T

Pensum i Matematikk 1T

Se pensum →

Eksamensoppgaver i 1T

Se oppgavene →

Flere forklaringer i Matematikk 1T

Vanlige spørsmål

Hva er konjugerte uttrykk?

Konjugerte uttrykk er to uttrykk som er like bortsett fra fortegnet mellom leddene, som (a+b) og (a-b). Produktet av slike uttrykk gir alltid formen a² - b², fordi de midterste leddene +ab og -ab opphever hverandre. Det er nettopp dette som gjør konjugatsetningen til en så effektiv snarvei.

Kan kvadratsetningene brukes til hoderegning med vanlige tall?

Ja, og det er en av de mest overraskende anvendelsene! Når to tall ligger symmetrisk rundt et rundt tall, kan du bruke konjugatsetningen. For eksempel er 47 · 53 = (50 - 3)(50 + 3) = 50² - 3² = 2500 - 9 = 2491, uten å gange ut på vanlig måte.

Hva er forskjellen på de to første kvadratsetningene?

Den eneste forskjellen er fortegnet på midtleddet: (a+b)² gir +2ab, mens (a-b)² gir -2ab. Begge formler gir positive ytterste ledd a² og b², men midtleddet skifter fortegn avhengig av om du starter med en sum eller en differanse.

Hvorfor er det viktig å lære kvadratsetningene i 1T?

Kvadratsetningene er en av hjørnesteinene i algebraen du bruker gjennom hele matematikkfaget. I samme kapittel bruker du dem baklengs til faktorisering, og i R1 og fysikk dukker de opp igjen i likninger, funksjoner og bevis. Å ha formlene automatisert nå sparer mye tid og energi senere.

Fortsett i Matematikk 1T

Her får du den korte forklaringen. I appen fortsetter du med videoer, oppgaver og eksamensrettet trening — kvadratsetningene forklart.

Kom i gang med kurset