Konsept · Matematikk R1

Kontinuitet

Hva er kontinuitet?

En funksjon $f$ er kontinuerlig i $x=a$ når grenseverdien finnes og er lik funksjonsverdien: $\lim_{x\to a} f(x)=f(a)$ . Da kan du tegne grafen uten å løfte blyanten – ingen hull, hopp eller asymptoter. Er $f$ kontinuerlig i hvert punkt i definisjonsmengden, kaller vi hele funksjonen kontinuerlig.

Les om Matematikk R1

Forklaring

Slik henger det sammen

Intuitivt betyr kontinuitet at grafen henger sammen i ett strekk – du kan tegne den uten å løfte blyanten. Formelt er $f$ kontinuerlig i $x=a$ dersom tre krav er oppfylt: $f(a)$ er definert, grenseverdien $\lim_{x\to a} f(x)$ finnes, og de to er like. Brytes ett av kravene, er funksjonen diskontinuerlig i punktet, og grafen får et hull, et hopp eller en loddrett asymptote.

Et eksempel: $f(x)=\frac{x^2-4}{x-2}$ er ikke definert i $x=2$ , så grafen har et hull der. For alle andre $x$ er $f(x)=x+2$ , og grenseverdien når $x\to 2$ blir $4$ . Funksjonen er derfor diskontinuerlig i $x=2$ , men kontinuerlig overalt ellers.

I R1 er alle polynomer, sinus og cosinus kontinuerlige overalt, mens rasjonale funksjoner er kontinuerlige der nevneren ikke er null. Kontinuitet er også en forutsetning for derivasjon: en funksjon må være kontinuerlig i et punkt for å kunne være deriverbar der.

Fremgangsmåte

Slik løser du det

Sjekk at $f(a)$ er definert – at $x=a$ ligger i definisjonsmengden.
Finn de ensidige grenseverdiene $\lim_{x\to a^-} f(x)$ og $\lim_{x\to a^+} f(x)$ .
Kontroller at de to ensidige grenseverdiene er like, slik at $\lim_{x\to a} f(x)$ finnes.
Sammenlign grenseverdien med funksjonsverdien: er $\lim_{x\to a} f(x)=f(a)$ ?
Er alle tre kravene oppfylt, er $f$ kontinuerlig i $x=a$ ; ellers er den diskontinuerlig.

Eksempel

Et gjennomregnet eksempel

Regneeksempel

Er funksjonen $f(x)=\begin{cases} x+1 & x\le 2 \\ 2x-1 & x>2\end{cases}$ kontinuerlig i $x=2$ ?

Først regner vi funksjonsverdien med øvre gren ( $x\le 2$ ): $f(2)=2+1=3$ . Deretter finner vi de ensidige grenseverdiene. Fra venstre brukes $x+1$ , og fra høyre brukes $2x-1$ :

$\lim_{x\to 2^-}(x+1)=3 \quad\text{og}\quad \lim_{x\to 2^+}(2x-1)=3$

Begge grenseverdiene er $3$ , så $\lim_{x\to 2} f(x)=3$ . Siden grenseverdien er lik funksjonsverdien $f(2)=3$ , er alle tre kravene oppfylt. Funksjonen er derfor kontinuerlig i $x=2$ , med felles verdi $3$ .

Vanlige spørsmål

Hva er forskjellen på kontinuerlig og deriverbar?

Alle deriverbare funksjoner er kontinuerlige, men ikke omvendt. En funksjon kan være kontinuerlig uten å være deriverbar, for eksempel f(x) = |x| i x = 0, der grafen har et knekkpunkt.

Når er en funksjon diskontinuerlig?

En funksjon er diskontinuerlig i et punkt hvis funksjonsverdien mangler, grenseverdien ikke finnes, eller grenseverdien er ulik funksjonsverdien. Da får grafen et hull, et hopp eller en asymptote.

Er polynomfunksjoner alltid kontinuerlige?

Ja, alle polynomfunksjoner er kontinuerlige for alle reelle tall. Det samme gjelder sinus og cosinus. Rasjonale funksjoner er kontinuerlige overalt unntatt der nevneren er null.

Fortsett i Matematikk R1

Her får du den korte forklaringen. I appen fortsetter du med videoer, oppgaver og eksamensrettet trening — kontinuitet forklart steg for steg.

Start Matematikk R1