Konsept · Matematikk S2

Varians og standardavvik

Hva er varians og standardavvik?

Varians og standardavvik måler spredning i en sannsynlighetsfordeling. Variansen er et vektet gjennomsnitt av kvadrerte avvik fra forventningsverdien. Standardavviket er kvadratroten av variansen og har samme benevning som resultatene. Et større standardavvik betyr større spredning rundt forventningsverdien.

Sist oppdatert 2. september 2026 · Realfagsportalen

Prøv kurset gratis Les om Matematikk S2

Forklaring

Slik henger det sammen

To fordelinger kan ha samme forventningsverdi og ulik spredning. Variansen måler forskjellen ved å kvadrere hvert avvik fra forventningsverdien. Da blir alle bidrag positive, og store avvik får mer vekt. Vanlige avvik kan ikke summeres direkte fordi positive og negative avvik utligner hverandre.

For en teoretisk sannsynlighetsmodell vekter du hvert kvadratavvik med sannsynligheten: $\text{Var}(X) = \sum (x_i - \mu)^2 \cdot P(X = x_i)$ . Hvis et datasett beskriver hele populasjonen, deler du på antall observasjoner. Hvis et utvalg brukes til å anslå populasjonsvariansen, deler du vanligvis på én mindre enn antall observasjoner.

Standardavviket er enklere å tolke fordi det har samme enhet som dataene. Variansen har kvadrert enhet. For en binomisk fordeling med $n$ forsøk og sannsynlighet $p$ er variansen $np(1-p)$ .

Fremgangsmåte

Slik løser du det

Sett opp en tabell over alle mulige verdier $x_i$ og tilhørende sannsynligheter $P(X = x_i)$ .
Finn forventningsverdien $\mu = E(X) = \sum x_i \cdot P(X = x_i)$ .
Regn ut avviket $(x_i - \mu)$ og kvadrer det for hver verdi: $(x_i - \mu)^2$ .
Multipliser hvert kvadratavvik med tilhørende sannsynlighet og summer alt: $\text{Var}(X) = \sum (x_i - \mu)^2 \cdot P(X = x_i)$ .
Ta kvadratroten for å få standardavviket: $\sigma = \sqrt{\text{Var}(X)}$ .
Kontroller at $\sigma$ har samme benevning som $X$ — variansen er denne benevningen kvadrert.

Eksempel

Et gjennomregnet eksempel

Regneeksempel

En kasse inneholder kuler med vekter 4 kg, 5 kg og 10 kg. Sannsynligheten for å trekke en 4 kg-kule er $\frac{1}{4}$ , for en 5 kg-kule $\frac{1}{2}$ , og for en 10 kg-kule $\frac{1}{4}$ . La $X$ være vekten til en tilfeldig trukket kule. Bestem $\text{Var}(X)$ og $\sigma$ .

Vi regner først ut forventningsverdien:

$E(X) = 4 \cdot \frac{1}{4} + 5 \cdot \frac{1}{2} + 10 \cdot \frac{1}{4} = 1 + 2{,}5 + 2{,}5 = 6 \text{ kg}$

Med $\mu = 6$ setter vi inn i variansformelen og vekter hvert kvadratavvik med tilhørende sannsynlighet:

$\text{Var}(X) = (4-6)^2 \cdot \frac{1}{4} + (5-6)^2 \cdot \frac{1}{2} + (10-6)^2 \cdot \frac{1}{4}$

$= 4 \cdot \frac{1}{4} + 1 \cdot \frac{1}{2} + 16 \cdot \frac{1}{4} = 1 + 0{,}5 + 4$

$\text{Var}(X) = 5{,}5 \text{ kg}^2$

Standardavviket er kvadratroten av variansen:

$\sigma = \sqrt{\text{Var}(X)} = \sqrt{5{,}5} \approx 2{,}35 \text{ kg}$

Merk at $\sigma$ har samme benevning som de opprinnelige vektene — dette bekrefter at standardavviket er lettere å tolke direkte enn variansen.

Vanlige feil

Dette bør du passe på

Bruker gjennomsnittet av avvikene $(x_i - \mu)$ som spredningsmål — dette er alltid nøyaktig null fordi positive og negative avvik utligner hverandre, uansett fordeling.
Blander variansformlene: bruker $\frac{1}{N}\sum(x_i - \mu)^2$ på oppgaver med en sannsynlighetsmodell. For en teoretisk fordeling skal hvert ledd vektes med $P(X = x_i)$ , ikke deles på $N$ .
Glemmer å ta kvadratroten av variansen når oppgaven ber om standardavviket $\sigma$ — $\text{Var}(X)$ og $\sigma$ er ikke det samme.
Bruker utvalgsformelen uten å sjekke hva dataene representerer. Del på én mindre enn antall observasjoner når et utvalg brukes til å anslå populasjonsvariansen.

Neste steg

Gå videre i Matematikk S2

Pensum i Matematikk S2

Se pensum →

Eksamensoppgaver i S2

Se oppgavene →

Vanlige spørsmål

Hva er forskjellen på varians og standardavvik?

Variansen er gjennomsnittet av kvadrerte avvik fra forventningsverdien, og benevningen er dermed kvadrert (for eksempel kg²). Standardavviket er kvadratroten av variansen og har samme benevning som de opprinnelige observasjonene, noe som gjør det langt lettere å tolke. I praksis er standardavviket det mest brukte spredningsmålet i statistikk.

Hvilken variansformel skal jeg bruke — den med 1/N eller den med sannsynligheter?

Valget avhenger av situasjonen. Har du en teoretisk sannsynlighetsmodell med en tabell over P(X = x), bruker du Var(X) = Σ(xi − μ)² · P(X = xi). Har du konkrete observasjonsdata der den sanne forventningsverdien er ukjent, estimerer du den med gjennomsnittet og deler på N−1 i stedet for N.

Finnes det en enklere formel for varians i binomiske fordelinger?

Ja! For en binomisk fordeling med n forsøk og suksessannsynlighet p gjelder Var(X) = np(1−p) og SD(X) = √(np(1−p)). Denne snarveien sparer deg for å summere alle kvadratavvikene for hånd og er særlig nyttig når du raskt vil finne spredningen i et binomisk forsøk.

Hva er sammenhengen mellom standardavvik og normalfordelingen?

Normalfordelingen beskrives fullstendig av forventningsverdien μ og standardavviket σ — disse to parameterne bestemmer kurven. Et lite σ gir en smal, spiss kurve, mens et stort σ gir en bred, flat kurve. Forståelsen av standardavvik er derfor direkte nødvendig for å jobbe med normalfordelingen og hypotesetesting videre i S2-kurset.

Fortsett i Matematikk S2

Her får du den korte forklaringen. I appen fortsetter du med videoer, oppgaver og eksamensrettet trening — varians og standardavvik forklart.

Kom i gang med kurset