Konsept · Matematikk R1

Vektor

Hva er en vektor?

En vektor er en størrelse med både retning og lengde. I et koordinatsystem skrives den som $\vec{u} = [x, y]$ , der $x$ angir horisontal bevegelse og $y$ angir vertikal bevegelse. To vektorer er like hvis de har nøyaktig samme koordinater — uansett plassering i planet. Lengden beregnes med $|\vec{u}| = \sqrt{x^2 + y^2}$ .

Sist oppdatert 2. september 2026 · Realfagsportalen

Prøv kurset gratis Les om Matematikk R1

Forklaring

Slik henger det sammen

Koordinatene $[x, y]$ forteller hvordan vektoren beveger seg, ikke hvor den starter. To vektorer med samme koordinater er derfor like selv om de ligger på ulike steder. En posisjonsvektor starter i origo. Nullvektoren $\vec{0} = [0, 0]$ har lengde $0$ og ingen bestemt retning. Fra punktet $A=(1,2)$ til $B=(4,4)$ går du tre enheter mot høyre og to opp. Vektoren fra $A$ til $B$ er derfor $[3,2]$ .

Lengdeformelen er Pytagoras brukt på komponentene. For vektoren $[3,2]$ er lengden $\sqrt{3^2+2^2}=\sqrt{13}$ . Generelt er $\sqrt{25t^2} = 5|t|$ . Hvis oppgaven sier at $t$ er positiv, kan du skrive dette som $5t$ .

På oversiktssiden om vektorer bygger du videre med sum, differanse, parallelle vektorer og skalarprodukt. Alle metodene tar utgangspunkt i koordinatene og lengden du lærer her.

Fremgangsmåte

Slik løser du det

Identifiser om størrelsen har både størrelse og retning — kun da er det en vektor (og ikke en skalar).
Finn $x$ -endringen (horisontal) og $y$ -endringen (vertikal) fra startpunkt til sluttpunkt, og skriv vektoren på koordinatform $\vec{u} = [x, y]$ .
Sammenlign to vektorer ved å sjekke om koordinatene er nøyaktig like — plassering i planet spiller ingen rolle.
Finn den motsatte vektoren ved å bytte fortegn på begge koordinatene: $-\vec{u} = [-x, -y]$ .
Beregn lengden med formelen $|\vec{u}| = \sqrt{x^2 + y^2}$ , og sjekk at svaret er rimelig — lengde er alltid ikke-negativ.

Eksempel

Et gjennomregnet eksempel

Regneeksempel

Bestem $t > 0$ slik at vektoren $\vec{u} = [3t,\, 4t]$ har lengde $10$ .

Vi setter koordinatene inn i lengdeformelen:

$|\vec{u}| = \sqrt{(3t)^2 + (4t)^2} = \sqrt{9t^2 + 16t^2} = \sqrt{25t^2} = 5t$

Nøkkeltrikset er at $\sqrt{25t^2}$ kan forenkles til $5t$ . Vi setter lengden lik $10$ og løser:

$5t = 10 \implies t = 2$

Vektoren blir $\vec{u} = [6,\, 8]$ . Kontroll: $\sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$ . ✓

Vanlige feil

Dette bør du passe på

Tror at to vektorer er ulike fordi de er plassert forskjellig i koordinatsystemet — to vektorer med samme koordinater er like uansett startpunkt.
Bytter fortegn på bare én koordinat når den motsatte vektoren skal finnes: $-[3, 4]$ er $[-3, -4]$ , ikke $[-3, 4]$ .
Forveksler posisjonsvektoren med selve punktet — koordinatene er identiske, men posisjonsvektoren er en pil fra origo, ikke et punkt.
Forenkler $\sqrt{x^2 + y^2}$ til $x + y$ — kvadratroten av en sum er ikke det samme som summen av kvadratrøttene.

Neste steg

Gå videre i Matematikk R1

Pensum i Matematikk R1

Se pensum →

Eksamensoppgaver i R1

Se oppgavene →

Flere forklaringer i Matematikk R1

Vanlige spørsmål

Hva er forskjellen på en vektor og en skalar?

En skalar har bare en tallverdi, som temperatur eller avstand. En vektor har i tillegg en retning — for eksempel en forflytning i en bestemt vinkel. I Matematikk R1 beskrives vektorer med to koordinater som angir horisontal og vertikal bevegelse.

Hva er den motsatte vektoren?

Den motsatte vektoren har samme lengde som den originale, men peker i stikk motsatt retning. Koordinatene byttes ved å sette negativt fortegn foran begge tallene: har vektoren koordinater [3, 4], er den motsatte [-3, -4]. Den skrives gjerne med et minustegn foran vektorsymbolet.

Hva brukes posisjonsvektoren til?

Posisjonsvektoren til et punkt P starter alltid i origo og peker til P, slik at koordinatene til vektoren er identiske med koordinatene til punktet. Den gjør det enkelt å beskrive posisjoner algebraisk og er nyttig i geometriske beregninger med vektorer.

Hvordan finner jeg koordinatene til vektoren fra punkt A til punkt B?

Trekk koordinatene til startpunktet fra koordinatene til sluttpunktet. Har A koordinater (x₁, y₁) og B koordinater (x₂, y₂), er vektoren fra A til B lik [x₂ − x₁, y₂ − y₁]. Rekkefølgen er viktig: startpunktets koordinater trekkes fra sluttpunktets.

Fortsett i Matematikk R1

Her får du den korte forklaringen. I appen fortsetter du med videoer, oppgaver og eksamensrettet trening — hva er en vektor? forklart.

Kom i gang med kurset