Formel · Matematikk R1

Noen derivasjonsregler

Hva er de grunnleggende derivasjonsreglene i R1?

De fire grunnleggende derivasjonsreglene i R1 er konstantregelen ( $k' = 0$ ), potensregelen ( $(x^n)' = n \cdot x^{n-1}$ ), konstantfaktorregelen ( $(k \cdot u)' = k \cdot u'$ ) og sumregelen ( $(u + v)' = u' + v'$ ). De dekker alle polynomer og mange enkle rot- og brøkuttrykk.

Sist oppdatert 2. september 2026 · Realfagsportalen

Prøv kurset gratis Les om Matematikk R1

Forklaring

Slik henger det sammen

Potensregelen kan begrunnes med definisjonen av den deriverte. I selve regelen flyttes eksponenten ned som faktor og reduseres med én. Konstantregelen sier at en konstant funksjon har stigning 0. Konstantfaktorregelen og sumregelen lar deg derivere ledd for ledd. Deriverer du $3x^4-2x+7$ , får du derfor $12x^3-2$ . Konstantleddet forsvinner.

Røtter og brøker blir ofte enklere når du skriver dem på potensform: $\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}$ og $\frac{1}{x} = x^{-1}$ . Potensregelen gjelder der funksjonen er definert og deriverbar. Du bruker også regelen $(\ln x)' = \frac{1}{x}$ når du arbeider med logaritmer.

Kjerneregelen, produktregelen og brøkregelen bygger videre på disse reglene. Før du velger regel, bør du derfor se på strukturen i uttrykket: sum, konstant faktor, potens eller en funksjon inni en annen. Kontroller fortegnene til slutt.

Fremgangsmåte

Slik løser du det

Skriv alle ledd på potensform: gjør om $\sqrt{x}$ til $x^{\frac{1}{2}}$ , $\frac{1}{x^n}$ til $x^{-n}$ og liknende.
Bruk sumregelen: deriver hvert ledd i summen (eller differansen) separat.
For hvert ledd med en konstant foran brukes konstantfaktorregelen: behold konstanten og deriver potensuttrykket.
Bruk potensregelen: flytt eksponenten ned som faktor og reduser eksponenten med 1.
Husk konstantregelen: deriverte av et ledd uten $x$ er alltid $0$ .
Forenkle svaret — skriv eventuelt negative eksponenter tilbake til brøkform, for eksempel $x^{-2} = \frac{1}{x^2}$ .

Eksempel

Et gjennomregnet eksempel

Regneeksempel

La $g(x) = 8\sqrt{x} + \frac{1}{x}$ . Finn $g'(x)$ .

Vi skriver begge leddene om til potensform: $\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}$ og $\frac{1}{x} = x^{-1}$ , slik at

$g(x) = 8 \cdot x^{\frac{1}{2}} + x^{-1}$

Nå bruker vi potensregelen på hvert ledd. For $8 \cdot x^{\frac{1}{2}}$ (konstantfaktorregelen + potensregelen):

$(8 \cdot x^{\frac{1}{2}})' = 8 \cdot \frac{1}{2} \cdot x^{-\frac{1}{2}} = 4x^{-\frac{1}{2}}$

For $x^{-1}$ (potensregelen med eksponent $-1$ ):

$(x^{-1})' = -1 \cdot x^{-2} = -x^{-2}$

Vi setter sammen med sumregelen og skriver om til brøkform:

$g'(x) = \frac{4}{\sqrt{x}} - \frac{1}{x^2}$

Vanlige feil

Dette bør du passe på

Glemmer å skrive om $\sqrt{x}$ og $\frac{1}{x}$ til potensform før derivering — potensregelen $(x^n)' = n \cdot x^{n-1}$ krever potensform.
Glemmer at $(x^1)' = 1$ , ikke $0$ — for eksempel er $(5x)' = 5 \cdot 1 \cdot x^0 = 5$ , ikke $0$ .
Glemmer negativt fortegn ved derivasjon av negative eksponenter: $(x^{-1})' = -x^{-2} = -\frac{1}{x^2}$ , ikke $+\frac{1}{x^2}$ .
Deriverer en konstant til noe annet enn $0$ — for eksempel $(7)' = 7$ i stedet for $(7)' = 0$ .

Neste steg

Gå videre i Matematikk R1

Pensum i Matematikk R1

Se pensum →

Eksamensoppgaver i R1

Se oppgavene →

Flere forklaringer i Matematikk R1

Vanlige spørsmål

Hva er potensregelen?

Potensregelen sier at deriverte av x^n er n ganger x^(n-1): eksponenten flyttes ned som faktor og reduseres med 1. Den gjelder for alle reelle eksponenter, også negative og brøkeksponenter. For eksempel er deriverte av x^3 lik 3x^2, og deriverte av x^(1/2) er (1/2)x^(-1/2).

Kan jeg bruke disse fire reglene på alle funksjoner?

Disse fire reglene er tilstrekkelige for polynomer og funksjoner som kan skrives som en sum av potenser, inkludert røtter og enkle brøker skrevet om til potensform. For sammensatte funksjoner, som (3x+1)^5, trenger du kjerneregelen, og for produkter av to funksjoner bruker du produktregelen.

Hvordan finner jeg likningen til tangenten ved hjelp av derivasjonsreglene?

Deriver funksjonen og sett inn x₀ for å finne stigningstallet f′(x₀). Beregn deretter y₀ = f(x₀). Sett inn i tangentformelen y = f′(x₀)(x − x₀) + y₀ for å få likningen. For eksempel gir g(x) = 3√x i punktet x₀ = 9 stigningstallet 1/2 og tangenten y = (1/2)x + 9/2.

Er disse derivasjonsreglene eksamensrelevante i R1?

Ja, disse reglene brukes i nesten alle derivasjonsoppgaver på R1-eksamen, enten direkte eller som grunnlag for kjerneregelen og produktregelen. Du trenger dem for å finne tangentlikninger, ekstrempunkter og vekstfart, og uten solid kontroll på dem blir de mer avanserte reglene vanskeligere å mestre.

Fortsett i Matematikk R1

Her får du den korte forklaringen. I appen fortsetter du med videoer, oppgaver og eksamensrettet trening — derivasjonsregler for polynomuttrykk.

Kom i gang med kurset